大一经济数学基础微积分(课堂PPT)

1、1,1.1 实 数 (R),1. 实数的分类,实数,无理数：,有理数(Q)：,无限不循环小数,正数,负数,正整数,分数,2. 实数的性质,1).实数关于加、减、乘、除四种运算封闭.,考虑自然数N、整数Z、无理数、有理数Q是否关于上述四种运算封闭?,不是无理数，而是有理数.,只有有理数关于此四种运算封闭.,零,正分数,负整数,负分数,2,可以把数轴看成是实数的直观图形(几何模型),即一个实数可以理解为数轴上的一个点。,4).实数与数轴的上的点一一对应。,2).实数是有序的,即任意两个实数a,b必满足下述三个关 系 之一：ab,ab,a=b.,实数的三歧性,3).实数具有稠密性.而实数不仅具有稠密

2、性,而且具有连续性 (实数间无“空隙”) 。,例.设a为有理数，x为无理数，证明： (1)a+x是无理数 (2)当a0时，ax是无理数.,证：反证法,3,3. 实数的绝对值,1).定义,2).几何意义,3).性质,4,思考：两个等号何时成立？,5,6,4. 常用的实数集-区间和邻域,设a, b都是实数, 且ab,有下面形式的区间,a,b,a,b,a,b,a,闭区间,半开半闭区间,无穷区间,区间,7,a,a,a,无穷区间,8,邻域,定义1 以x0为中心, 以 为半径, 长为2 的开区间.即,称为点 x0 的 邻域 , 记为U(x0 , ).,例1 U(2 , 1),U(- , ),=x|x-2|

3、1=(1,3).,= x|x + | =(-1,0).,9,定义2 点 x0 的去心邻域.即,定义3 点 x0的左邻域,即,点 x0的右邻域,即,10,注：所有的邻域都是开区间；,邻域是考虑某点附近点的集合，故一般不会很大;,邻域的中心: x 0 ;邻域的半径: 0,11,1.2 函数的概念,一、 函数的定义,定义 设D为一个非空实数集,若对D中每一个值 x,按照一定的对应法则 ,总有确定的数值y和它对应,则称 f是定义在D上的一个函数,记作 y=(x). 称 x 为自变量, y 为因变量; D 为 f 的定义域;,注：1. 要求定义域D为非空集合.,当 时,称 为函数在 的函数值.,函数值全

4、体组成的数集 Z =y|y=f(x), xD为 f 的值域.,12,4. 定义域D和对应法则f 是确定函数的两要素.,3. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。所以一般情况下，函数的定义域都省略不写.,在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有相同的定义域及对应法则.,2. 由f 确定的y 值，必须是唯一的.,这类函数成为单值函数, 还有一类函数为多值函数.,13,14,由于有些函数的对应法则虽然形式上不同，但却表示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法.,15,但要注意的是,函数的定义域及值域相同仅是两个函数相同的必要条件而非充分条件.即一般用它

5、来判断两个函数不相同.,5.同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变而发生改变.,16,二、函数的表示法:列举法、描述法、列表法、图象法.,三、分段函数,问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？,有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个或两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分段函数.,17,例：绝对值函数,y,x,o,y=|x|,例 符号函数,1,1,o,x,y,18,例 狄立克莱函数,例 取整函数(阶梯曲线) y = x 为不超过 x 的最大整数部分.,实际上是取左端点.,o,x,y,1,2,1,1,2,0.3=,0,2.8=,2,-0.3=,-1,-2.6=,-3,19,注：分段

6、函数虽然有几个式子，但它们合起来是一个函数，而不是几个函数.,20,四、函数定义域的求法,1.实际问题中的函数定义域,例 边长为a的正方形铁皮，在四个角裁掉边长为x的四个小正方形后，所得铁皮折为一个无顶的立方体，问x多大时，可使容积最大？,集合表示法,区间表示法,21,2.一般函数的定义域,例 求函数 的定义域.,解：,要使 有意义，必须有,从而，函数的定义域为,如未特别指明,函数定义域Df 为使函数有意义的自变量的全体.,22,例 求函数 的定义域.,解：,要使 有意义，必须有,23,从而，函数的定义域为,24,3.分段函数的定义域,分段函数的定义域为各分段子定义域的并集.,例 求函数 的定

7、义域.,解：可以看出，函数的定义域为,25,例,解,故f(x+3)的定义域为：-3,-1,26,确定分段函数的定义域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).,解,27,习题,28,1.3 函数的基本性质,一、 单调性,单调性、有界性、奇偶性和周期性,则称(x)在区间 I 上严格单调或单调,设(x)为定义在区间 I 上的函数,若x1, x2D,当x1 x2 时,恒有 或,29,30,结论:同一定义域上两个单调性相同的函数之和与这两个函数具有相同的单调性.,31,设函数 f (x)在D上有定义.如果M,使得对xD,都有f (x) M 成立,则称f (x)在D上有上界.,y=M,

8、x,o,y,y= (x),设函数 f (x)在D上有定义.如果M,使得对xD,都有f (x) M 成立,则称f (x)在D上有下界.,y=M,x,o,y,y= (x),二、 有界性,32,设函数 f (x)在D上有定义.如果M0,使得对xD,都有| f (x)| M 成立,则称f (x)在D上有界.,o,y=M,y=M,x,y,y= (x),函数在区域D上有界的充要条件是在该区域上既有上界又有下界.,33,例：说明函数 y=sin(x)在（，）上有界.,所以函数 y=sin(x)在（，）上有界.,o,x,y,有界性必须指明区间,函数的界不唯一,34,设函数 f (x)在D上有定义.如果M,使得对xD,都有f (x) M 成立,则称f (x)在D上有上界.,设函数 f (x)在D上有定义.如果M,使得对xD,都有f (x) M 成立,则称f (x)在D上有下界.,设函数 f (x)在D上有定义.如果M0,使得对xD,都有| f (x)| M 成立,则称f (x)在D上有界.,设函数 f (x)在D上有定义.如果 M,x0(M)D,使得 f (x0) M ,则称f (x)在D上无上界.,设函数 f (x)在D上有定义.如果 M,x0 (M) D,使得f (x0) M 成立