万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

1、第五讲万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 一.开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）:所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处 在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间 内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次 方的比值都相等，表达式： 其中k值与太阳有关，与行星无关 （4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转， 也适用于卫星绕地 球运转。当卫星绕行星旋转时，k值不同，k与行星有关，与卫星无关。 (5) 中学阶段对天体运动的处理办法： 把椭圆近似为园，太阳在圆

2、心；认为V与3不变，行星或卫星做匀速圆周运动; ,R轨道半径。 推导决定K的物理量 Mm/ 2、 据：G百=mr （亍） 得：K=MG/4n 可见，K的大小由中心天体质量决定。 11 关于开普勒第三定律，正确的理解是 公式R =k , K是一个与行星无关的常量 若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a,周期为Ti,月球绕地球运转轨道的 半长轴为b,周期为T2,则尊卫 2 t2 公式.K中的T表示行星运动的自转周期 公式R2 = k中的T表示行星运动的公转周期 A. B . C . D . 二.万有引力定律(牛顿发现) (1) 内容：万有引力F与mm乘积成正比，与r2成反比。 (2) 公式：F =Gm!

3、P2 , G 叫万有引力常量，G = 6.67 101N m2/kg2。 r 77 (3) 应用计算适用条件：严格条件为两个质点；两个质量分布均匀的球体， r指两球心间的距离；一个均匀球体和球外一个质点，r指质点到球心间的距离 练！.发现万有引力定律的科学家是 A.开普勒 B 牛顿 C.卡文迪许 D .爱因斯坦 2. 对于万有引力定律的表述式 F=Gmm2，下面说法中不正确的是 r 7 A. 公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B. 当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大 C. m与m受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对作用力与反作用 力 D. m与m受到的引力总是大小相

4、等的，而与m、m是否相等无关 1. 万有引力与重力的系关 (1)万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg另一 小Mm mg =G 云 R 个是物体随地球自转所需的向心力 在赤道上，F引=f向+mg即 在两极F引=mg即G罟=mg； g 善 因地球赤道略鼓，两极稍扁，故纬度越大，R越小，重力加速度越大。赤道g最小 注：地面上随地球自转的物体 F 引 mgF向 如：赤道的g=9.7m/s2 （最小） 而赤道上物体的向心加速度（最大）a=0.0337 m/s2 可见mgma 2. 求重力加速度问题： 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。 在地面上，6啤呦6二卑从赤道往两极，g

5、逐渐变大。 RR 在地球表面高度为 h处: Mm (R h)2 二 mgh= gh GM (R h)2 所以随高度的增加，重力加速度减小。 离开地球，某星体表面及某高度处的重力加速度 注意：M为星球的质量，R指星球半径。 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则 Mm G-2mg=g GM 距星球表面某高度h处的重力加速度: 结论： -MmGM G 2 mg= g2 rr G Mm (R h)2 二mg gh GM (R h)2 M为中心天体的质量，r为所求位置与中心天体球心间的距离。 练1.地球表面处的重力加速度为g,则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度 为（）

6、 A. gB. g/2C. g/4 练：人造卫星离地球表面距离等于地球半径 地面上的重力加速度为9，则（） A. v = . 4gR B. v= ：2gR C. v 二 gR D. 2.火星与地球的质量之比为P,半径之比为 面的重力加速度之比为（） A. ； B C. 丫 D. D. 2g R,卫星以速度v沿圆轨道运动，设 v = gR 2 q，则火星表面的重力加速度和地球表 1 1 练：（08江苏卷）火星的质量和半径分别约为地球的 后和,地球表面的重力加速度 为g,则火星表面的重力加速度约为 A. 0.2gB. 0.4g C. 2.5gD. 5g 3. 万有引力定律的应用一一求天体质量及密度

7、 .T、r 法: GM=mr（臂2 二 ，再根据 v %p_M 二 p_ 3於， r2r GT2 73亦 1 v r 1 gt2r3 7 当r=R时，（m在 M表面运行） v、r法: 2 2 Mmv rv G 2m： M = rrG r 法: Mm2 =mrco r v、T法：相当于知道了 r（r=vT/2 n ） 23 Mm G-V r v 亠七 Mm2二 2v3T =m-或者 Gmr () = M rr2T2 G g、R法: G啤TM匣（黄金代换），再根据v仝R3,7乩 R2G3V4GR （g是中心天体表面的重力加速度，R是中心天体本身的半径） 例 1：下列几组数据中能算出地球质量的是（万

8、有引力常量G 是已知的） A. 地球绕太阳运行的周期 T和地球中心离太阳中心的距离 r B. 月球绕地球运行的周期 T和地球的半径 R C. 月球绕地球运动的线速度 v和周期T D. 月球绕地球运动的周期 T和轨道半径r 2. 一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星 表面飞行,要测定该行星的密度 , 仅仅 需要测定 A.运行周期T B .环绕半径r C.行星的体积 V D .运行速度v 3. 宇航员测得某星球的半径为 R ，该星球的近地卫星的周期为 T 。下列 四个量中哪几个量可以求得？（万有引力恒量为G ） A. 该星球的质量 B .该星球表面的重力加速度 C.该星球的平均密度 D .该星球同步卫星

9、的离地高度 3.继神秘的火星之后，今年土星也成了世界关注的焦点.经过近7年时间， 2亿千米在太空中风尘仆仆的穿行后，美航天局和欧航天局合作研究出“卡 西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达 预定轨道，开始“拜访土星及其卫星家族这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测若“卡西尼”号土星探测器进入土星飞行的轨 道，在半径为 R的土星上空离土星表面高 h的圆形轨道上绕土星飞行，环 绕n周飞行时间为t.求土星的质量和平均密度 4. 天体或卫星的运动参数 力由万有引力提供, 我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心 G啤訓V2=m

10、r _mr（U），就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关 rrT 参数: 线速度: 2 Mmv G 2m v 二 rr GM v 角速度：畔=mj=厝 斤 周期：GMM=m r（莘）2 =T =2“爲 r Ti GM T 二 r3 向心加速度: Mm 一 GM G 2 ma n = an2 rr 规律：中心天体相同时，圆周运动的快慢与轨道对应。即：轨道定了，运行快慢就 定了，与在轨道上运行的卫星质量无关。 当r变大时，“三小”（v变小，3变小,an变小）“一大”（T变大）。 例.甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比 乙小，则（） A.甲距地面的高度比乙小B 甲的加

11、速度一定比乙小 C.甲的加速度一定比乙大D 甲的速度一定比乙大 1. 两颗人造卫星A B绕地球做圆周运动，周期之比为Ta：Tb=1:8，则轨道半径 之比和运动速率之比分别为 A.Ra：Rb=4:1 ,Va：Vb=1:2B.Ra：Rb=4:1 ,Va：Vb=2:1 CRa：Rb=1：4 ,Va：Vb=2:1DRa：Rb=1：4 ,Va 8=1:2 2. 假如作圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍后仍作圆周运 动，则 A. 根据公式v= w r可知，卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 B. 根据公式F=mv可知，卫星所需的向心力将减小到原来的2 r12 C. 根据公式一呼可知，地球提供的向

12、心力将减小到原来的1 r4 D. 根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运动的线速度将减小到原来的 3. 两颗人造地球卫星，它们质量的比m:m2=1:2，它们运行的线速度的比是 Vi： V2=1:2，那么 A. 它们运行的周期比为1: 8 B. 它们运行的轨道半径之比为4:1 C它们所受向心力的比为 1:32 D.它们运动的向心加速度的比为1:16 4. 某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如它的轨道半径增加到原来 的n倍后，仍能够绕地球做匀速圆周运动，贝U： A. 根据v，可知卫星运动的线速度将增大到原来的n倍。 2 B根据F=哼，可知卫星受到的向心力将减小到原来的1倍。 rn C根据F匚彎

13、，可知地球给卫星提供的向心力将减小到原来的-4倍 r丿n D. 根据 GMm 2 r 可知卫星运动的线速度将减小到原来的 a、b、c某时刻在同一直 5.如图所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星 线上，则（） A. 经过一段时间，它们将同时第一次回到原位置 B. 卫星a的角速度最大 C. 卫星c受到的向心力最小 D. 卫星b的周期比c小 6.地球公转的轨道半径是 R，周期是Ti，月球绕地球运转的轨道半径是 R，周期是 T2，则太阳质量与地球质量之比是（） A 戌呼 bRi3t22cRi2T22dRi2Ti3 r3t22r2T12r|t/r；t23 7、（07重庆理）土卫十和土卫十

14、一是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕 土星运动，其参数如表: 卫星半径（m） 卫星质量（kg） 轨道半径（m） 土卫十 8.90 X 104 2.01 X 1018 1.51 X 1018 土卫一 5.70 X 104 5.60 X 1017 1.51 X 103 两卫星相比，土卫十（） A.受土星的万有引力较大 B. 绕土星做圆周运动的周期较大 C. 绕土星做圆周运动的向心加速度较大 D动能较大 D. 根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运动的线速度将减小到原来的乎 8. 土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量 环中各层的线速度v与该土层到土星中心的距离

15、R之间的关系来判断：（） A. 若vx R,则该层是土星的一部分； B. 若v2x R,则该层是土星的卫星群 C. 若vxi/ R,则该层是土星的一部分 D. 若v2xi/R,该层是土星的卫星群 三. 地球同步卫星 对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下 “七个一定”。 轨道平面一定：与赤道共面。 周期一定：T=24h,与地球自转周期相同。 角速度一定：与地球自转角速度相同。 绕行方向一定：与地球自转方向一致。 高度一定：由 2 1 2 2 线速度大小一定: G(RMm-m(RVh2,GM 廊2二咽鸽珂畀 mwEs。 向心加速度一定: 2 Mmf 2GMgR 小“

16、2 G2 man,GM 二gR an22 二0.23m/s (R h)2 nn (R h)2 (R -h)2 曲译，即你已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为g,地球自转的周期为 T, 试求地球同步卫星的向心加速度大小。 关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是 g：T 心6 107 ：6R2。 注：唯有同步卫星本身质量，以及该质量不同引起的向心力和万有引力可以不同。 例1.关于同步地球卫星，下列说法中正确的是 A. 同步地球卫星一定在地球的赤道平面内B .同步地球卫星到地心的距 离为定值 C.同步地球卫星的周期等于地球的自转周期D .同步地球卫星的线速度 不变 A. 已知它的质

17、量是1.24 t，若将它的质量增为2.84 t，其同步轨道半径变 为原来的2倍 B. 它的运行速度为7.9 km/s C. 它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播 D. 它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方 地面上物体的重力加速度的丄 36 5. 如图5所示，甲是地球赤道上的一个物体、乙是“神舟”六号宇宙飞船 （周期约90分钟）、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图， 它们都绕地心作匀速圆周运动.下列有关说法中正确的是 A. 它们运动的向心加速度大小关系是a乙a丙a甲 B. 它们运动的线速度大小关系是v乙v v丙v v甲 C. 已知甲运动的周期

18、 T甲=24h，可计算出地球的密度 宀3 GT甲 D. 已知乙运动的周期 T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量 心 GT乙 6. 同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为vi,加速度大小为ai，地球 赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为V2,地 球半径为R则 A. ai：a2=r:RB. ai：比二氏：r2C.Vi： V2= R: r D.-r： r 7如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是（） 卫星可能的轨道为a、b、c卫星可能的轨道为a、c a、c同步卫星可能的轨道为 .是对的 .是对的 同步卫星可能的轨道为 A.是对的 B C.是对的 D 四. 宇宙速度 1、

19、对三种宇宙速度的认识： 第一宇宙速度人造卫星近地环绕速度 大小 Vi=7.9km/s。 第一宇宙速度的算法: 法一：由GM_mv；v_GM , r=R+h,而近地卫星h=0, r=R,则竺启一GM，代入数据可 rrR 第二宇宙速度逃逸速度。 大小V2=11.2km/s，是使物体脱离 地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速 度。 第三宇宙速度一一脱离速度。 大小V3=16.7km/s，是使物体脱离太阳引力束缚，飞到太阳系以外，所需的最小发射 速度。 2、环绕（运行）速度与发射速度的区别： R R 算得：vi=7.9km/s。 法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则mgA_v=gr，同

20、理r=R + h,而近 r飞 地卫星h=0，r=R，mg显2=v = gR，代入数据可算得：Vi=7.9km/s。 R 扩展：在中心天体表面运行的天体或卫星的线速度即是中心天体的第一宇宙速 度。 三种宇宙速度都是发射速度，运行速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线 速度大小；轨道越高，运行速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度是 最大运行线速度，最小发射速度。 练.关于第一宇宙速度，下列说法不正确的是（） A. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B. 它等于人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度 C. 它是能使卫星在近地轨道运动的最小发射速度 D. 它是卫星在椭圆轨道上运动时的近地

21、点速度 五. 卫星变轨问题 B 图所示，我们从以下几个 大）顺着地球自转方向发 人造卫星发射过程要经过多次变轨，如 方面讨论： 1. 变轨原理及过程 为了节约能量，卫星在 赤道上（线速度最 射卫星到圆形轨道1上 在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心 力，卫星做离心运动进入轨道 2。 在B点（远地点）再次点火进入轨道 3。 2. 些物理量的定性分析 1、速度：设卫星在园轨道1和3运行时速率为vi、V3,在A点、B点速率为Va、Vb。 在A点加速，则Va Vi,在B点加速，则V3 VB,又因Vi V3，故有Va Vi V3 Vb。 2、加速度：因为在 A点，卫星只

22、受到万有引力作用，故不论从轨道 1经过A点, 还是轨道2经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B点加速度也相同。 3、 周期：设卫星在1、2、3轨道上运行周期分别为 、T2、T3。轨道半径分别为 ri、r2 （半长轴）、3,由开普勒第三定律；：=k可知，T1M,用我 图4 们所学的知识可以断定这两颗星 A. M对M引力比M对M的引力大 B. Mi运动周期比M运动周期长 C. Mi运动半径比M运动半径小 D. Mi运动速率比 M运动速率大 补充一些需要用到的知识: 1、卫星的分类： 卫星根据轨道平面分类可分为：赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）：极地轨 道（卫星运行时每圈都经过南北两极）；一般

23、轨道 注：所有轨道平面的圆心都是 地心。 2、人造卫星的机械能：E=E+B （机械能为动能和引力势能之和），动能EK=*mv2，由 运行速度决定；引力势能由轨道半径（离地高度）决定， r增大，动能减小，引力 势能增大，但伍-也，所以卫星的机械能随着轨道半径的增大而增大。 3、人造卫星的两个速度：发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行 所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之 和，即机械能，所以r增大，发射速度增大； 环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度， G啤事；v=GM，r增大时，环绕速度减小。 R2 R _R 注意：卫星绕星

24、球做匀速圆周运动，此时的向心加速度”g_ GM 2，即向心加速度与 （R+h）2 重力加速度相等。 4、推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值 ： 近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0, r=R。 运行速度：GMm=mVG g=7 9km/s，它是所有卫星的最大运行速度（因为h = 0,无需 R R R 增大引力势能，故发射速度等于运行速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射 速度）； 角速度：6豊訥2=, gm，r=R，, GM，r最小，它的角速度在所有卫星中最大。（无 r、r R 需记数值） 周期：g： =mr（*：）2_T =2： Gm， r=R， y

25、R3 =85min=5100S,最小，它的周期在所有卫星中最小。 Vgm 向心加速度：GM仁mauanM，=R，an = GM =g“8m/s?，最小，它的向心加速度在所有 rrR 卫星中最大。 5、卫星的追击问题： 由GMjr（；*T=2：G： 知,同一轨道上的两颗卫星，快慢相同，后面的不可能追上前面的。 卫星绕中心天体的半径越大，T越大。 同一运行方向不同轨道的两颗卫星（设周期分别为Ti、T2，且Ti T2）再次相遇的 时间满足t _t =1，或7-加=2:。 Tb Ta 6、估算问题的思维与解答方法： 估算问题首先要找到依据的物理概念或物理规律（这是关键）：运用物理方法 或近似计算方法，

26、对物理量的数值或取值范围进行大致的推算；估算题常常要利 用一些隐含条件或生活中的常识。如：在地球表面受到的万有引力等于重力；地球 表面附近的重力加速度g=9.8m/s2;地球自转周期T=24h,公转周期To=365天；月 球绕地球公转周期约为27天；近地卫星周期为85分钟；日地距离约1.5亿千米; 月地距离约38亿千米；同步卫星、近地卫星的数据等。 练习题 2、 下述实验中，可在运行的太空舱里进行的是（） A.用弹簧秤测物体受的重力 B 用天平测物体质量 C.用测力计测力 D.用温度计测舱内温度 3. 关于人造地球卫星及其中物体的超重和失重问题，下列说法正确的是 （ ） 在发射过程中向上加速时

27、产生超重现象 在降落过程中向下减速时产生失重现象 进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象 失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的 A. B. C. D. 4、某天体的质量约为地球的 9 倍，半径约为地球的一半，若从地球上高 h 处平抛 一物体，射程为L,则在该天体上，从同样高处以同样速度平抛同一物体，其射程 为：（） AL/6 B L/4 C 3L/2D6L 6. 航天飞机中的物体处于失重状态，是指这个物体 A. 不受地球的吸引力 B. 受到地球吸引力和向心力的作用而处于平衡状态 C. 受到向心力和离心力的作用而处于平衡状态 D. 对支持它的物体的压力为零 7. 据报道，“神舟 6 号”的发射成功，可以预见，随着航天员在轨道舱内 停留时间的增加，体育锻炼成了一个必不可少的环节，下列器材适宜航天 员在轨道舱中进行锻炼的是 A. 哑铃 B. 弹簧拉力器 C. 单杠 D. 跑步机 8通过阅读课本，几个同学交流对一些生活中常见的离心现象的认识。甲 说：“洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动。 乙说：“铁轨在弯道处内侧铺得比外侧高，原来就是要防止火车做离心运 动。”丙说：“我们坐公共汽车在急速转弯时，如果受到的向心力不够也会 挤压车厢。” 丁说，“我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越远，