数值分析课件2015xin王兵团-数值分析复习题

1、第一章绪论习题一1. 设xO,x*的相对误差为3,求f（x）=ln x 的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f（x）=lnx的误差限，由公式（124）有*) T-閒 I名 y I )1 世5 1，而已知x*的相对误差-满足k-x*畫，故即；2. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有 效数字，并给出其误差限与相对误差限。云=L102Vr：= 0.031X- 560.40解：直接根据定义和式（122）（123）则得匚有5位有效数字，其误差限，相对误差限有 2 位有效数字，- 1-亠八”、，丄宀（x；）-xlO-2p（x；）W有5位有效数字，3. 下列公式如何才比较准确？严11

2、(1)L市必心（2）/ -：解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公 式。(1)占丘咙応（N + 1）说ctanNR-（2）4. 近似数x*=0.0310,是 位有数数字。5. 计算- 二取- -，利用：式计算误差最小。行,（3 - 2更冗一,99 - 70忑四个选项：第二、三章插值与函数逼近 习题二、三1.给定-丁的数值表呂0.40.50 60.7Lnx-0.916291-0.633147-0.510826-0.355675用线性插值与二次插值计算In0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误差估计（5.8 ）

3、。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值In 0.54 超-0 693147 4 勺0吕十 0 63147(。冈- 为=-0 6202190.6-01.5误差限區同专城因他=lnx, F1（或=二必 必的= 4 览1兀丨，故4x0.04x0.06 = 0.0048二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次 Newton插值血 0.54 対-0.620219 + /0 5Q60 7 (0.54 - 05)(0.54-0.6) = -0.620219 + (-1 40850) x0.04x (-0.06) = -0.616839|/?a|l|(x-0.5)(x-0 6)(x-0

4、.7)|,误差限22= =017 -=16x兀，故|虬(无)| xl6x0,04x0 06x0 16 0,0010242. 在-4Wx4上给出 冷勺等距节点函数表，若用二次插值法 求的近似值，要使误差不超过 一，函数表的步长h应取多少？ 解：用误差估计式（5.8 ）,艸=2（动=汽广3 =，（对 -三覺凶 了 J）忙Xjt.* |（x-忑i）（孟 zr+l）|令?.卜h . ： - _ - | - I | r. | ： _ O 1彩xuK珀_丿仏-遍）0-码+】）|=卡7屛io因、，/曰方0.0066得 二3. 若-，求 - -：和:： - 一.力环,心凡-丄了解：由均差与导数关系/W =/

5、+/+3z +1./7） X） = 7L/ejW = 0工曰了2=丄幻!=1/2,2】,用“ 于是J4. 若了仗）=（兀心）（兀可）（兀耳）心。=0丄/）互异，求 ：7-: 二-的值，这里 p0=AyB - Ay0已知，;1-的函数表00.200.300.50工Xj)00.201340.304520.52110求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差 的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表Kif (kJ一阶均差差三阶均差000. 200.201341.00670.300.304521,03180.083670. 500.621121.08300.170

6、670.17400由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得肉(0右)|匸川心內內届o罚叫(0羽由于1岡(0.23)1 0.033133x0.23x0 03 x0.07x 0.27 4.32x1 尸7.给定f(x)=cosx 的函数表00 10.20.3040.50.61.000000.595000.580070.955340 9210G0.877580.82534用Newton等距插值公式计算

7、cos 0.048及cos 0.566的近似值并估 计误差解：先构造差分表f (i)4W)旳W7)MW门1.00000-0.005000,99500-0.00993-0.014930.000130.90007p. 009300. 00012-Q.024730.00025-0,000020.95634-0.009550.00010-0.034280.00035-0,000016 92106P 009200.00009-0,04348OOQQ44P 00876-CLO52240.S5234计算一亍-现用n=4得Newton前插公式N(心二丛)=& + 爼 + 警垃一 1) + 孕心1)(； 一 2

8、) + 学C -1)( 2)( 一 3)= 1.00000 + 0.48-0 00500-0.522212-2.52x2624误差估计由公式(5.17 )得|K4 (0.048) | 智 |血-1)( - 2)(； - 3)(i - 4)附茎 1.5345 xlO-7 甘中 = |sin 0 6 = 0.565计算:二兀时用Newton后插公式“ 0.566t= 0.6, = - = -0 34(5.18)V2 fA3/t(f +1)( + 2) +级 +1)(/ 4- 2)(/ + 3)cosO.566 比g + th)二人 + 叹f + 兮妝 +1) + 晋= 0.32534-0.34 x

9、0.05224 + 0 66 x(-0.00876 、2十2忿聖啤24)= 0.84405误差估计由公式(5.19 )得|A4(0.566)1 乞眷|s(f 十l)(r + 2)(/ + 3)(1 + 4)片 1 7064 x 107这里二仍为0.5658求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足p(W(O)-UpCW(llJ?rl解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造 二使它满足门二二、：山二厂；：=1，显然再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=，于是尹二2 x+扌(耳一 1)，二扌;？O卯9.令:称为第二类Chebyshev多项式，试

10、求的表达式，并证明是-1,1 上带权厂二的正交多项式序 列。解解因匚上一：- 匕上也2丄打二血(洋学-祚+】J1-F令兀=cos 8耳(H)S.(尢)J1 一 卡 d監二sin( +15 sin( m +1) diJ1JO0,阳h片曲的经验公式，使它拟合下列L210. 用最小二乘法求一个形如 数据，并计算均方误差.Xi192531384419.032.349卫73.357.8解：本题给出拟合曲线?,即八,故法方程系数4C 伽,啊)1J_. Oq (亟)=士44(弘 阳)=另於=为27用)=刀讨2776磐7)=271-4-ft-)= Si =369321.5i-ow法方程为5a+ 5327h=

11、271.45327 +727769站=369321.5解得;-：- :- 11-最小二乘拟合曲线为 - _ 1 - - 均方程为间仁吨 (% -) = 0.0150321|同|厂。122611. 填空题(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().(2) 聖7心，则 f 1,2,3,4 =() , f : 123,4,5 =( ).(3) 设二亠儿为互异节点，厂为对应的四次插值基函数,44工#A (0)工(彳 + 2”j (Q则-=(),=().(4) 设： 是区间0,1 上权函数为| p (x)=x的最高项 系数为1的正交多项式序列，其中C-,-1 ,则I、=(),答：(1)(2)(3)=(

12、)1 a/1Z3,4 = 2,/1Z3A5 = OS曲0)=吐X +纠何=宀zid?-0护眺0)必=j 2UOHO(4)第4章数值积分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式及复合 Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式(6.11 )及复合Simpson公式(6.13 )直接计算即可。-.，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11 ）求出1厂m,按式（6.13 ）求得宀”m，积分jl x1= - = 0.111571782. 用Simpson公式求积分，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7 ）得flik-（1 + 2 4-e-1） = 0.63

13、233由（6.8 ）式估计误差，因一，故民= + j4j_ 二AC-h + A1 = |(2A)3 f 导p4严卫严2兄4 = 一心畑=a解出_得3次代数精确度。心加諾釈一硏+眉二0 而对 厂不准确成立，故求积公式具有（3）令*代入公式精确成立，得月+0 = 7宅-hA+ Eq 二 09 护4十阳二評1、“ 九 ”1 ,解得 一，得求积公式匚孑（还疋/（+ 3/（?）对:二 _ ”0=严吟（-疔+3（新“討故求积公式具有2次代数精确度。需4. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过-xlO_i0T-2，问区间2要分为多少等分？若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分？解

14、：由Simpson公式余项及:二-一二二得= L（）4（1）1x10-5360 4 J 2即- 、，取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过-xl0_i2 对梯形公式同样1乩“匚儿圧,由余项公式得塔（却珂xloY即-_ x 1Q-5 -取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5. 用Romberg求积算法求积分： ，取.K=解：本题只要对积分”必使用Romberg算法（6.20 ）,计算到3,结果如下表所示4矿00. 03394010.6452350.03233320. S3541O0.6321360.69212230. 6329430.6321210.6321200, 532120口十八-

15、I-0.713271 十八亠亠于是积分，积分准确值为0.7132726. 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.J：”必解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为,所以先做变换代仏二1 + 1)JoJ-l g于是l0.555556x (1 7745972e0W3SS+(l-0.774597)a严137M）+08關总9严0 718252本题精确值f - - L:-1=7. 用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解：本题直接用 Gauss-Chebyshev求积公式计算I F r 1 dx = L 1 1 dxt打;F7打乔了 7u7/X）=左即 ：T于是

16、+二 ，因n=2,即为三点公式，于是= 2.6304118. 试确定常数A, B, C,及a,使求积公式fjM -+型（0）十労有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多 少.它是否为Gauss型的求积公式？解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令 几 W.户对公式精确成立，得到-必 + aC = J xdx = 0由（2）（4）得A=C这两个方程不独立。故可令二/，得：（j = +. J .4 = C* =B 由（3）（5）解得 ：，代入（1）得.则有求积公式令厂公式精确成立，故求积公式具有 5次代数精确度。三点求 积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的

17、。第五章解线性方程组的直接法 习题五1. 用Gauss消去法求解下列方程组.1114 16 工111o兀才乃十弓也=g11 + 2x3 - 8解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回 代公式直接计算即可。1 11G4 1 561 1 ._ &甌二 Y60 345 313 宀 一兀二-15415 3也=-154x153 = -177.69花=-60(-4 十若花)二 476.92码=4(9 - 二-爲22W故_-15并求出系数矩2.用列主元消去法求解方程组1可十乃十 阵A的行列式detA的值解：先选列主元1-183-1-15112- 3孑151116 消元1呂3-1-150

18、-1 -35八717316 183行与2行交换 回代得解= 3 Xj = 2, X)= 1行列式得-183-1-15-183-1-150717310717316136186750722660-13消兀692行与1行交换得det= -18 - - -666 7111。x. + x,+ =9415365111o3 14彳53的解.4A=LU= 一 132-361 4151601614513153.用Doolittle分解法求 解：由矩阵乘法得再由二一求得严(9Y-1珊由一解得x = (-227.0E,476.9i-177.69)r4.下述矩阵能否作 Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯1

19、231119126A =241占=2212 =251546733161546解：A中I ，若A能分解，一步分解后,1 - 11 ，相互矛盾，故 A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B,显然，但它仍可分解为11115 =2 100-1_3切1_00 H2 _ 2_分解不唯一，：为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯卩 1 2 6 10=2 1136 3 1_1 _5.用追赶法解三对角方程组 Ax二b,其中P-i000T2-100UP-12_100b0-12-10001203.1.2解：用解对三角方程组的追赶法公式 励=一炖=_寻炖=_扌，灿=_ .3456衍=N 衍= -P =

20、-Z1 1 1 1 rr z5 2 1 1 kr-X =(2j3t4t5,6)rX=(Sr3r23和(3.1.3 )计算得6. 用平方根法解方程组 解：用分解直接算得4_L= 1 22-33由J及=八求得 ，=(-126)/ =(-扌4习7. 设二”，证明 解：胡16439 -448-5-4-422B=310 6IHL1 ML 皿 WL 时兰兀：+ X；即-，另一方面 怵r ；十* +兀 g鴛忖卜啡|： 故皿*临闻解：JA =A =设国L0.37 0 330.33 0 34060.5计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数 114 = 0 8j|X|F = 751 = 0 84() = 0.6

21、8534故 | - -4 -9. 设匸为上任一种范数，卜是非奇异的，定义H7H,证明IK 旳I证明：根据矩阵算子定义和定义，得nus-f亠 Pxll.240-179-319240,40-179 5-319.52401卜1JfJ 勺，即u十迹2）解：记240-179-319240t54 =0-0 5-0.50IHL H令一“，因P非奇异，故x与y为一对一，于是 |刚严bio.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计 .则加二占的解兀= （4,3/，而（ +胡X忑+釦矗的解（x + ）= （8,6）丁 故b L 而,C（ = p-L|LK =626.2240319499179240IK = 0

22、5JLML = 056012 由（3.12 ）的误差估计得1111圖M 0 56012W =兰 1 274x40-43988% 1-Cond 卅InL圖L刑忖Li表明估计“ 一略大，是符合实际的。ii. 是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中X =（A1?XH）r E 用2=） E 去碎（1）若A对称正定，一则虞1 皿宀是”上的一种向量范数 （）（2） 定义-是一种范数矩阵（）（3） 定义冷y是一种范数矩阵（）（4）只要:-d，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5） 只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解 （）（6）若A对称正定,则A可分解为匸，其中

23、L为对角元素为正的下三角阵（）()()(+ )（7）对任何一 f都有削(4)(8)（8）若A为正交矩阵，则厂小答案：（1）（ + ） （2）（）（3）（ + ）（5）（ + ） （6） （ + ） （7）（）第六章 解线性方程组的迭代法 习题六t A, A2 丄才-21314!1.证明对于任意的矩阵A,序列一宀 -收敛于零矩阵解：由于卩I;而 I - 故二2. 方程组+ 2可+只工三-12-+4x2 + 2 也=202zj - 3x2 + 10x3 = 3（1）考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.1 1为止（2）写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以 - ;.ri :计算到2

24、142-3105A =解：因为具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。 （2） J法得迭代公式是-12x严=-l（12 + 2xJ 十習）雋刚=*20 +申-羽0 屮冷（3-外+璋）乖=卽, 取-，迭代到18次有= (-3.999996,2.999974,1 99999)r|xm-ls）|L /L 150I I 100 m；八得GS法收敛得充要条件是1 T6.用SOF方法解方程组（分别取3 =1.03, 3 =1, 3 =1.1） 4 无-= 1彳一兀+ 4x2 -3=4-帀+ 4起=-3L=/ f丄 | 2）丁精确解，要求当每一个3值确定迭代次数 解：用SOF方法解此方程组的迭代公式为*3|

25、L 6时迭代终止，并对严二（1_血妒+专（1 +堺）* 护=（1-+ 扌（4 + X严 + 炉）严 =（1-妙習）+专（J + 护丄k = 01 取,当-门时，迭代5次达到要求沪=（0.5000043,1 0000002-0.4999995）7若取小-丨，迭代6次得兀=（0.5000035,0.9999989-0.5000003）r7.对上题求出SOF迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并L*-rll 5X10求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使 那么J1004-0414,det(2/ - B)=10 -041B =0法GS法和SOR法各需迭代多少次？ 解：J法的迭代矩阵为人二宀二土护，故八吩

26、护，因A为对称正定三对角阵, 最优松弛因子2 一 =1 033371 + *J法收敛速度R(B)= -In p(B) = -lnJ = 1.03972由于T,故R (-血 15.425 . d _t , k 対= 14.85对于J法，取K= 15-In 15 425巧r十、丄上宙=三7.4 卄对于GS法F匸，取K= 8灯士空43 4001,取 K= 5对于SOR法8.填空题A=102要使1 2(2)已知方程组I-0 32 1迭代法是否收敛()它的渐近收敛速度2 _1 其J法的迭代矩阵是(1)0应满足:嶠().则解此方程组的JacobiR(B)=().A=(3)设方程组Ax=b,其中0 .GS法

27、的迭代矩阵是().X= 42晒+可二-3：其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足().1 門卜卜(5)给定方程组卜。M,a为实数当a满足(),且Ovsv 2时SOF迭代法收敛.(2) J 法是收敛的,_：-丄-11 - 1 10r0 -B =2G =2_01(3)J法迭代矩阵是,GS法迭代矩阵3(4厂满足-：(5厂满足-、I第七章非线性方程求根习题七1. 用二分法求方程-|的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间匸。本题f(x)=x2-x-仁0,因f(1)=-1,f(2)=1, 故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。NF(鬲)

28、符号0121.511.521.75+21.51.751.625+31.51.15251.5625斗1,56251序251.5P375-其误差厂：:.将方程改写成下2. 求方程八-T门在=1.5附近的一个根,列等价形式，并建立相应迭代公式.=1+4-兀如十万(1) ,迭代公式 .i(2) ,迭代公式讪 .t I兀 2 = k+l / 二(3) - 1，迭代公式八；.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具 有4位有效数字的近似根解:( 1)取区间丨一丄叮且c，在I： 且厂 ，在I： 中=一： ，贝S L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。(2)秋为二辿+ ”，在13U4 中卩 G)e131.6, 且0(山孑(12)在 W中有g)妙心，故迭代收 敛。真052-尹-1)在春=1呼附近|0(恥1,故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故