结构动力学课件

1、1,结构动力学,2009-3-18,dynamics of structures,15.1 动力计算概述,15.2 单自由度体系的自由振动,15.3 单自由度体系的受迫振动,15.4 两个自由度体系的自由振动,15.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动,*15.6 一般多自由度体系的自由振动,*15.7 多自由度体系在任意荷载下的受迫振动,*15.8 无限自由度体系的自由振动,15.9 计算频率的近似法,*15.10 矩阵位移法求刚架的自振频率,结构 动 力学 15.1 动力计算概述 15.2 单自由度体系的自由振动 15.3 单自由度体系的受迫振动 15.4 两个自由度体系的自由振动 1

2、5.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 *15.6 一般多自由度体系的自由振动 *15.7 多自由度体系在任意荷载下的受迫振动 *15.8 无限自由度体系的自由振动 15.9 计算频率的近似法 *15.10 矩阵位移法求刚架的自振频率,2009-3-18,dynamics of structures,page-2,15.1 动力计算概述 15.1.1 动力计算的特点 15.1.2 动力荷载的分类 15.1.3 动力计算的自由度,2009-3-18,dynamics of structures,page-3,15.1.1 动力计算特点 结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应 以地震

3、荷载为例,（1）地震现场录像,（2）地震振动台实验录像,2009-3-18,dynamics of structures,page-4,以风荷载为例,（1）tacoma大桥风毁录像,（2）南浦大桥风洞实验录像,动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变， 而且变得很快,2009-3-18,dynamics of structures,page-5,动力计算与静力计算的区别： 加速度： 可否忽略，如何考虑？,1）牛顿运动定律,2）惯性力 （达朗伯原理）,“动静法”,特点：考虑惯性力，形式上、瞬间的动平衡！ 建立微分方程，y, y, y 动力计算的内容： 1.结构本身的动力特性：自振频率、阻尼

4、、振型 （自由振动） 2.荷载的变化规律及其动力反应。 （受迫振动）,2009-3-18,dynamics of structures,page-6,t,15.1.2 动力荷载的分类 1）周期荷载,p(t ),简谐荷载,t,p,一般周期荷载,t,2）冲击荷载,p(t) p,tr,爆炸荷载1,t,p(t) p,爆炸荷载2 tr,t,p(t) p,突加荷载,t,p(t),3）随机荷载 风、地震等,地震波,2009-3-18,dynamics of structures,page-7,结构动力学的研究内容和任务 当前结构动力学的研究内容可用下图表示 第一类问题：反应分析（结构动力计算）,输入 （动力

5、荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,第二类问题：参数（或称系统）识别,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,2009-3-18,dynamics of structures,page-8,第三类问题：荷载识别,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,第四类问题：控制问题,输入 （动力荷载）,结构 （系统） 控制系统 （装置、能量）,输出 （动力反应）,2009-3-18,dynamics of structures,page-9,本课程主要介绍结构的反应分析,其主要任务是： 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。寻 找结构固有动力特性、动力荷载和结构

6、反应三者间 的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规 律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供 依据。 安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最 大内力，作为强度设计的依据； 舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不 超过规范的许可值。),2009-3-18,dynamics of structures,page-10,y,15.1.3 动力计算的自由度 动力自由度：确定全部质量位置所需独立几何参数的个数 惯性力取决于质量分布及其运动方向 以一简支梁为例：,m,m e、a、i、 r,m,体系振动自由度为？无限自由度,(忽略 m ),三个自由度,(忽略轴向变形) (忽略转动惯量),

7、自由度为？单自由度 m 0, ea , r 0,2009-3-18,dynamics of structures,page-11,集中质量法 将分布质量集中到某些位置 无限有限,y,y2 y1,ei (a)单自由度,ei,2ei,v(t) (t),u(t),x,(b)两个自由度 m( x) y( x, t ),(c)三个自由度,(d)无限自由度,2009-3-18,dynamics of structures,page-12,x,集中质量法几点注意： （1）体系动力自由度数不一定等于质量数 x x,y m1,m2,两个质点,一个质点 两个dof,两个质点 一个dof,三个dof 复杂体系可通过

8、附加链,杆法确定体系的自由度 （2）体系动力自由度与其超静定次数无关 （3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度 转化,2009-3-18,dynamics of structures,page-13,15.2 单自由度体系的自由振动 15.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立 15.2.2 自由振动微分方程的解答 15.2.3 结构的自振周期和自振频率 15.2.4 阻尼对自由振动的影响,2009-3-18,dynamics of structures,page-14,m,15.2.1 自由振动微分方程的建立 重要性： 1）初步估算； 2）多自由度分析的基础,以一悬臂柱为对象： y

9、m my 等效 k,k 模型2,初始位移 自由振动 初始速度 同时作用 y(t) 理解 两模 y 型中,“弹簧小车”,ky,m,“k” 含义,模型1,my 隔离体,2009-3-18,dynamics of structures,page-15,建立自由振动的微分方程 两种方法： 1）刚度法 力的平衡 2）柔度法 位移协调,刚度系数 k 柔度系数 概念理解,建立方程（依据定义） 1）刚度法：,1,k k =,1 ,p = 1,以模型2为对象 my + ky = 0 2）柔度法： 以模型1为对象 y(t ) = my(t ),一 致,2009-3-18,dynamics of structure

10、s,page-16,k2 k,v0,v0,y,y,v0,15.2.2 自由振动微分方程的解答 原方程： my + ky = 0 y + m y = 0 (令： = m ) 通解为： (t ) = c1 sin t + c2 cos t（初始条件） y(0) = y0 c2 = y0 y(0) = v0 c1 = 解为： (t ) = y0 cos t + sin t,y(t) y0,t,y(t) v0 ,t,0 -y0 t/4 t/4 t/4 t/4,t 0,t/4 t/4 t/4,t/4,t,2009-3-18,dynamics of structures,page-17,v0,y,v0,2

11、,2,1,t,化成单项三角函数的形式,解又可表达为： (t ) = a sin(t + ),y(t ) = y0 cos t +,sin t,将其展开： y(t ) = a sin cos t + a cos sin t,相比较得：,y0 = a sin ,= a cos ,则：振幅：a = y0 +,v0 2 ,初始相位角： = tan,y0 v0,y(t),t,自由振动总位移：,a y0 0 a,2009-3-18,dynamics of structures,page-18,故,1 ,m,w st,k 1 g, st,g,15.2.3 结构的自由周期和自振频率,由式 y(t ) = a

12、sin(t + ) 可知,思考？t , 重要特性,2 t 经 t = 后，质体完成了一个振动周期， t 为周期 周期函数的条件: y(t+t )=y(t ),f = = t 2,工程频率,表示每秒钟内的振动次数,2 秒内的振动次数为 ，称其为圆频率频率（习惯）,1)自振周期计算公式： t = 2 = 2 m k = 2 = 2 g g,2)自振频率计算公式： = = = = m m w ,2009-3-18,dynamics of structures,page-19,1,l 3,例题分析 例15.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率,m 0,m,ei,解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（

13、图乘法）,l/2,l/2 p = 1, =,l 3 48ei, =,48ei m,l/4,t = 2 m = 2,ml 3 48ei,思考 比较图示结构的自振频率 m m,(a)(b)(c) m,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,(a),(b),(c),2009-3-18,dynamics of structures,page-20,w, =,例15.2 图示机器与基础总重量w=60kn，基础下土壤的抗压刚 度系数为cz=0.6n/cm3，基础底面积a=20m2。试求机器连 同基础作竖向振动时振频率 解: 让振动质量向下单位位移 需施加的力为： k = cz a= 0.61032

14、0 =12103 kn/m,自振频率为：,k m,=,kg w,=,12 103 9.8 60,= 44.27s 1,2009-3-18,dynamics of structures,page-21,g,v0 2,振幅：a = y0 + 2,2,y,y ,初始相位角： = tan 1 0,y0 = yst,y0 = 2 gh,例15.3 如图所示简支梁，先将一重为w的物体从高h处自由 释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律,yst y,m 0,w,h,设： y = a sin(t + ) 其中： = yst,因物体接触到梁体才 开始振动 解: 自由落体后，以一定的初 初始条件 v0 速度上下

15、作自由振动，其 振动平衡位置为yst,2009-3-18,dynamics of structures,page-22, ,2,具体例子比较 例如，设 yst = 0.4cm, h = 10cm 则, =,g yst,=,980 0.4,= 49.5rad / s,a = 0.42 + 2 10 0.4 = 2.86cm, = arctg (,0.4 2 10,) = arctg 0.141 = 8.05 = 0.14rad,则振动规律为：y = 2.86sin(49.5t 0.14) 讨论： 如果 h0，即将物体无初速地放置在梁中点 a = yst = 0.4cm = arctg () =

16、y = 0.4sin(49.5t ) 2 比较结果可知，h10cm，时的振幅位移是h0的 七倍。,2009-3-18,dynamics of structures,page-23,y(t),a,15.2.4 阻尼对自由振动的影响,m,y,m,y=0,阻尼是客观存在的 （1）产生阻尼的原因 1)结构与支承之间的外摩擦 2)材料之间的内摩擦,k,k,c,3)周围介质的阻力,（2）阻尼力的确定,1) c不存在,2) c存在,1)与质点速度成正比 2)与质点速度平方成正比 3)与质点速度无关,0 a,振幅随时间减小，这表明在振动过 t 程中要产生能量的损耗，称为阻尼。,粘滞阻尼 r(t ) = cy,

17、2009-3-18,dynamics of structures,page-24,y,y,ky,k c,2m,考虑阻尼的振动模型,k,c,m,y(t), 称为阻尼比 二阶常微分方程可变为： y + 2 y + 2 y = 0,设特解为： = cet,有阻尼模型 m cy 建立动平衡方程 my my + cy + ky = 0 c k 标准化，得 y + m y + m y = 0 其中， = , = m,特征方程为： 2 + 2 + 2 = 0 解为： = ( 2 1) 讨论？ 分 1 三种情况 （1） 1 （低阻尼） 令：r = 1 2 则代数方程解： = ir,2009-3-18,dyna

18、mics of structures,page-25,t, tg =,y +,0,a,r, = 1 2 r,低阻尼的情况实际振动,实部,虚部,则微分方程通解为：,y = et (c1 cos r t + c2 sin r t ),y = e,t, y0 cos r t +,0 + y0 r,sin r t ,初始条件,也可 y = e y 低 阻 尼 自 由 振 动,a sin(r t + )， = y = aet yk yk+1 tk t,2 (v0 + y0 )2 y0r 2 v0 + y0 讨论？ 1)是一种衰减振动 2)对自振频率的影响 t 当0.2,则0.96r/1 在工程结构问题中

19、0.010.1 此时，阻尼的影响可以忽略。,2009-3-18,dynamics of structures,page-26,y0,yk +1 ae (tk +t ),y,1 r y 1 y,2,r,1 y,t,3)对振幅的影响 振幅为 aet 随时间衰减 （2） = 1 （临界阻尼） 相邻两个振幅的比(一个t ) 解为： = （重根） = = et = 常数 则微分方程通解为： yk aetk y = (c1 + c2t ) et,4)阻尼比的测定 对数递减率 ln k = t = yk +1 当 0.2，则 1 r ln k ln k 2 yk +1 2 yk +1 设yk 和 yk+n

20、相隔n个周期，则 ln k 工程上常用 2 n yk + n,再由初始条件得： y = y0 (1 + t ) + 0t et y tg0 = 0 0 这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。,2009-3-18,dynamics of structures,page-27,cr,c,1 y 1 0.5,2 2 p 9.8 103,2,2m 2k,=,2 0.0355 196 104,ei=,m,c, = 1 临界阻尼常数为： r = 2m 临界阻尼比为： = （3） 1 （超阻尼） 体系不出现振动，很少遇到，不予讨论。 例15.4图示屋盖系统加一水平力p=9.8kn，测得侧移a0=0.5cm

21、， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期t=1.5s 及一个周 期后的侧移a1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。 解： = ln k = ln = 0.0335 9.8kn 2 yk +1 2 0.4 = = = 4.189s 1 k = = = 196 104 n / m t 1.5 a0 0.005 c = 2m = = = = 33220 n s / m = 332.2 n s / cm 4.189,2009-3-18,dynamics of structures,page-28,15.3 单自由度体系的受迫振动 15.3.1 单自由度体系受迫振动微分方程的建立 15.

22、3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应 15.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 15.3.4 阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响 15.3.5 有阻尼时的杜哈梅积分,2009-3-18,dynamics of structures,page-29,2,p(t ),m,15.3.1 受迫振动微分方程的建立 强迫振动 结构在动力荷载作用下的振动,以一悬臂柱为对象： y p(t ) m my 等效,k,m,y(t) p(t ),k,“弹簧小车” 如何建立方程？,模型2,ky,m,y p(t ),模型1,y + y = 1）柔度法：,隔离体 2）刚度法：,my,以模型1为对象 y(t ) = my(t

23、) + p(t ),以模型2为对象 my(t ) + ky(t ) = p(t ),2009-3-18,dynamics of structures,page-30,f,2,f ,2,2,2,2,2,2,f,m( ),f f f f,方程全解,y =,2 c1 = sin t + 2 2 2，c2 sinsin t,2,2, ( (,15.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应,简谐荷载 p(t ) = f sin t 解的形式 y = y + y,运动方程 y + y = sin t m 二阶常系数非齐次微分方程,齐次解：y = c1 sin t + c2 cos t,特解：y = a sin

24、 t,( + ) a sin t = sin t ya = m,f m( + ),sin t,方程通解 y = c1 sin t + c2 cos t + 2 2 sin t 初始条件：y(0) = 0, y(0) = 0 m ( ) m( mm ) ) ),过渡阶段,平稳阶段,2009-3-18,dynamics of structures,page-31,k 1,2,f,f,m,1,2,m 2,f,1,st, =,=,y st 2, t ) t yst,”,简谐荷载的动力系数,平稳阶段： = = m m,y(t ) = sin t = m( 2 2 ) 2 = f = yst,(1 ),2

25、 sin t 最大静位移,y( y (=)m ax = y2 sin1 t2 (1 2 )1 2 动力系数 y (t )max 1 1 2 思考？“ 的重要特性 2009-3-18 dynamics of structures page-32, y (t )max 3 2 1 0,最大动位移 共振 1) 1 2)0 1 5) 1 1 2 3,psint, =,= 41.89s 1,=,p,60 60,1 1,q, = = = 4.23,2.5m 2.5m 2 2,1 ,1 , 2 47.93 , =,=,=,ql pl l,= 47.93s,405.03,=,+ p)=1,.74,例题分析 例

26、15.5 如图所示刚梁，截面为i32b工字钢，i=11626cm4， i=726.7cm3，e2.1108kpa。在跨中有电动机，重量q=40kn， 转速n400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力p=20kn， 其竖向分量为 p sin t ，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载 的动力系数和最大正应力。 2)荷载频率： 2 n 2 400 t ei 3)动力系数： 41.89 解: 1)自振频率： g g g 48 ei 4)跨中截面最大正应力： st w ql 3 9.8482.1108 11626108 = (40 +4.23 20) + 5.0 = (q = 21.43 104

27、kpa 4w 7264w106 4w,2009-3-18,dynamics of structures,page-33,41.89,=,w 1 1,=, 41.89 ,1 , 2,1 ,= 9.59,w p 60 20,例15.6 前提同例15.2 当机器运转产生p0sint，p0=20kn，转速为400r/min， 求振幅及地基最大压力。,= 0.946 44.27 在共振区,p0sint,解: 由例15.2已求出 = 44.27s 1 k = 12103 kn/m,1)荷载频率: =,2 n 2 400 60 60,= 41.89s 1,2)动力系数： = 2 2 44.27 20 3)竖

28、向振动振幅: y(t )max = yst = 9.56 12 103 = 0.0159m 4)地基最大压力： pmax = = 9.56 = 12.56kpa a a 20 20,2009-3-18,dynamics of structures,page-34,=,s,t,15.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 基本思路：视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和 p(t ) y(t ) s = pt,p,瞬时冲量,t,t,0 y(t ),t,t t 0 m 0 = s = pt,0 =,s pt m m,t y(t ) = y0 cos t + 0 sin t y(t ) = sin t

29、m,y(t ) =,s m,sin t =,s m,sin (t ),(t 0) (t = ),2009-3-18,dynamics of structures,page-35,p(t),p( )d,1 t,y(t ) =,t,v0,11 t t,( )sin ( ) )d,0 0 ( t,一般动荷载的动力反应 时刻的微分冲量对t 瞬时 (t)引起的动力反应,m,dy = sin (t ) m 0 p( )sin (t )d,ds = p( )d 微分冲量 t,d,杜哈梅积分 (duhamel 积分) 若：初始位移 y0 和初始速度 v0 不为零,y(t ) = y0 cos t + sin

30、t +,mm pp )sin t( d ,2009-3-18,dynamics of structures,page-36,po,yst,1 t,1 t,0,p,m,t,几种动荷载的动力反应,（1）突加荷载 p(t),0 p(t ) = p0,当t 0,y (t ) =,m 0 p( )sin (t )d,y(t ) =,m 0 p sin (t )d,= 0 2 (1 cos t ) = yst (1 cos t ),0,2,3,t,举例说明,yst,y(t),质点围绕静力平衡 位置作简谐振动, =, y(t )max yst,= 2,yst,2009-3-18,dynamics of st

31、ructures,page-37,po,u,t,y(t ) =,u u,t,( 0,y(t ) = y0 cos ,y( = yst sin = yst cos u),（2）短时荷载,p(t),0 t u,解决途径？,（1）方法一：直接采用 duhamel 积分 1 u u u m 0 p ) sin (t )d = yst 2sin 2 sin (t 2 ) （2）方法二： 利用突加荷载结论，分段讨论 t + v0 sin t y(u )1）阶段(0u)：体系以 y(u ), y(u) 作自由振动 y(t ) = yst cos (t u) cos t = yst 2sin sin (t )

32、 2 2 2009-3-18 dynamics of structures page-38,p,p,p,p(t),t,u,（3）方法三： 还是利用突加荷载结论 思路 由两个突加荷载叠加而成 1)当0 u,y(t ) = yst (1 cos t ) 2)当 u,p(t),u,t,y(t ) = yst (1 cos t ) yst 1 cos (t u) = yst (cos (t u ) cos t ),y(t ) = yst (1 cos t ) p(t),= yst 2sin,u 2,sin (t ) 2,y(t ) = yst 1 cos (t u) t u,2009-3-18,dyn

33、amics of structures,page-39,yst,u u,u, y(t )max u, u u 1,t t 2, 2,u 1,u,1/6,最大动反应的求解,讨论 主要针对u展开,0,2,3,t,1）当u t/2，最大动 位移发生在阶段, =, y(t )max yst,= 2,y(t),t/2,2）当0u t/2，最大动 位移发生在阶段 y(t ) = yst 2sin sin (t ) 2 2 2 y(t )max = yst 2sin 1 2 = = 2sin yst 2,动力系数反应谱(t,) 2sin 当 t 2 1/2 t,2009-3-18,dynamics of s

34、tructures,page-40,t, 0,1.8,当t tr, tr,t,r,1.2,tr,0 1.0 2.0 3.0,page-41,4.0 t, ,tr,（3）线性渐增荷载,p0,p(t),tr 2.0, p0t p(t ) = tr p,当 0 t tr 当t tr,动力系数反应谱(t,tr ) yst sin t 1.6 tr (t ) y(t ) = 1.4 yst 1 1 sin t sin (t tr ) 当t t 讨论：与r的关系 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr 的长短有很大的关系。 1.0 2009-3-18 dynamics of structures,

35、f,2,y,ky m 1,2, 2 2 2 ,列平衡方程 a 2 1,22 2,(1 2,r,y,15.3.4 阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响,计算简图 c,y(t),简谐荷载 p(t ) = f sin t y + 2 y + y = sin t m,k,m,p(t ),方程的解,齐次解（）特解（ ） 设特解 y = a sin( t ) p(t ) 振幅：a = yst cy (1 2 ) + 4 2 my 动力系数： = my + cy + ky = p(t ) 相位角： st= tan 2 (1 2 ) + 4 2 2 2009-3-18 dynamics of structures

36、page-42,a,2, 2 2 2 ,4.0,讨论 与 和 的关系, = yst 1）当,1 (1 2 ) + 4 2 1 或 1 时，可,动力系数反应谱 ( , ) =0,以不考虑阻尼的影响 静荷载 1 0 位移为0,3.0,=0.2,2）当 1 时，阻尼作用明显 2.0,=0.3,1 共振 =1 2 =1 max (求导) 0.75 1.3 称“共振区” 1.0 3）位移与动荷载相位差 关系,=1.0,=0.5,分三种情况 = 0, = 90 , = 180 2009-3-18 dynamics of structures page-43,0,1.0,2.0,3.0, ,41.89,2

37、n 2 400,2,2, 2 , ,2,1 ,2,2,3,w,60,20,p0,a,例15.7 当机器运转产生p0sint，p0=20kn，转速为400r/min， 考虑阻尼的影响， = 0.15 ，求振幅及地基最大压力。,= 0.946 44.27 在共振区,p0sint = 0.15,1)荷载频率: = = = 41.89s 1 2)动力系数：,60 60,解: 由例15.2已求出 = 44.27s 1,w, =,1 2 1 2 + 4 2,=, 41.89 2 44.27 ,1 + 4 0.152 ,41.89 44.272,= 3.31,3)竖向振动振幅:, y(t )max = ys

38、t = 3.31,20 12 10,= 5.5mm 15.9mm,4)地基最大压力： pmax = a 2009-3-18 dynamics of structures page-44,= 3.31 20,= 6.31kpa 20 12.56kpa,0,0 + y0,t,t,r,r,s,t,mr,sin r t,0,e,y = ,t p( )d,mr,d,有阻尼杜哈梅积分,15.3.5 有阻尼时的杜哈梅积分 有阻尼的瞬时振动（自由振动） 初位移：y0 = 0 y = e y0 cos r t + sin r t y = e 初速度：0 0 由冲量 s = m 引起的振动位移： y = e si

39、n r t 时刻的微分冲量对t 瞬时(t)引起的动力反应：,p(t),dy =,p( )d ( t ) mr,sin r (t ),ds = p( )d 微分冲量 ,有阻尼的平稳振动 t 0 e ( t ) sin r (t ) 地震作用,2009-3-18,t dynamics of structures,page-45,有阻尼杜哈梅积分,15.4 两个自由度体系的自由振动 15.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立 15.4.2 频率方程和自振频率 15.4.3 主振型及主振型正交性 15.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解,2009-3-18,dynamics of st

40、ructures,page-46,15.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立 （1）因结构特征必须简化为多自由度体系,多层房屋,不等高排架,（2）为满足计算精度的要求,烟囱 基本方法 刚度法 柔度法,高耸建筑物 按位移协调条件建立运动方程 按质体平衡条件建立运动方程,2009-3-18,dynamics of structures,page-47,2 =,p,柔,度,系,数,（1）柔度法,惯性力作用,柔度系数,注意 ij 物理意义,m2,y2,（,m2 y2,2, 21,2,p 22 1,m1,y1,m1 y1,1,11 = 1,1,12,怎 样 求,建立方程,y1 (t ) = 11

41、m1 y1 (t ) + 12 m2 y2 (t ) y2 (t ) = 21m1 y1 (t ) + 22 m2 y2 (t ),2009-3-18,dynamics of structures,page-48,k,y1,（2）刚度法,惯性力作用,质量隔离体,结构弹性力,m2,y2,（,m2 y2,2,2,2,= ,+, ,+, ,1,2,2,齐次线性方程组,(k11 2 m1 )y1 + k12y2 = 0 k21y1 + (k22 m2 )y2 = 0,非零解,频率方程 自振频率,d =,k11 2 m1 k21,k12 k22 m2,= 0,思考 的两 根均为正实根,2 1 k11 k

42、22 k11 k22 4(k11k22 k12 k21 ) 2 m1 m2 m1 m2 m1m2 较小的 1 第一频率（基频）， 2 为第二频率,2009-3-18,dynamics of structures,page-53,1 ,1,(1),y1(2),y2,1,m212, 2,y1,1,y2 m1 21,2,(1),二,15.4.3 主振型及主振型的正交性,（1）主振型 (m111 2 )y1 + m212y2 = 0 m1 21y1 + (m2 22 2 )y2 = 0 1)当 = 1时 (2) = 2)当 = 2时,1)用柔度系数表示 m2 22 = = m111 2 m212 1

43、第一主振型 m111 2 1,12 m1y1(1),m1,12 m2y2(1) m2, 22 m1y1( 2 ) m1,y2(2) m2,y1(1),y2(1),y1(2), 22 m2 y2( 2 ),2009-3-18,dynamics of structures,page-54,2,2,2,2)用刚度系数表示 平衡方程,(k11 2 m1 )y1 + k12y2 = 0 k21y1 + (k22 m2 )y2 = 0,y1 y2,=,k12 k11 m1,=,k22 2 m2 k21,则，用刚度系数表示的主振型为,y1(1) (1) y2,=,k12 k11 12 m1,y1(2) (2

44、 ) y2,=,k12 k11 2 m1,两种方法是等价的,2009-3-18,dynamics of structures,page-55,(2),y (1),2,(2),2,2,(1),2,m1y1 y1 + m2y2 y2 = 0,(1) 1y y,（2）主振型的正交性 以两个自由度为例，按功的互等定理来证明,12 m1y1(1),m1,12 m2y2(1) m2, 22 m1y1( 2 ) m1,y2(2) m2,第一主振型,y1(1),y2(1),第二主振型,y1(2), 22 m2 y2( 2 ),功的互等定理 (12 m1y1(1) )y1(2) + (12m2y2(1) )y2

45、2(2) = (2 m1y1(2) )y1(1) + (2 m2y2(1) )y22(1),虚功1,虚功2,整理得,(12 2 )(m(2)1(1)y1(2) +(1)m2(2)(1)y2(2) ) = 0 1 2,第一正交关系,2009-3-18,dynamics of structures,page-56,2,2,2,2,2,如何解释正交性,利用第一正交关系,m1y1(1)y1(2) + m2y2(1)y2(2) = 0,1)同乘 1 2)同乘 ,(m112y1(1) )y1(2) + (m212y2(1) )y2(2) = 0 虚功10 (m12 y1(2) )y1(1) + (m22

46、y2(2) )y2(1) = 0,虚功20 这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会 转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振 动。因此，各主振型能单独存在而不相互干扰。 物理解释 数学解释？,2009-3-18,dynamics of structures,page-57,4l,m,1,2,3,2,2,3,3,2,1,m 2,( + m ) 4( + m ) (1 2 11 22 121,例题分析 例15.8 求简支梁的自振频率和主振型，并验证主振,型的正交性 解：1）求柔度系数 3 11 = 22 = 243ei,l/3,ei m l/3 p=1,l/3,12 = 21 =,7l 3

47、 486 ei,2 l 3,p=1,m 1,2）将柔度系数代入方程 2 l = =11m11m22+ 12 m 11m1 222 =2 11m 12 m 21 )m1m2 2 3）自振频率 = 1 = 5.69 ei = 1 = 22 ei 1 ml 2 ml 2009-3-18 dynamics of structures page-58,=,=,(1),=,?,4）主振型,m,m,第一主振型 y1(1) 12 m2 1 y2 11m1 1 1,第二主振型,l/3,l/3,l/3,y1(2) (2) y2,=,12 m2 1 11m1 2 1,5）验证主振型的正交性 m 1 y 1 (1 )

48、 y 1 ( 2 ) + m 2 y 2( 1 ) y 2( 2 ) 0 即 ： m 1y1(1) y1( 2 ) + m 2 y 2(1) y 2( 2 ) m 1 (1) + m 1 ( 1) = 0 故满足正交性条件,2009-3-18,dynamics of structures,page-59,5l 3,1,1 = = 5.69,利用对称性另解 简化原则 若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不 是对称就是反对称。故可取半边结构计算。 1,m,ei,m,对称,l/3,1,l/3,2,l/3,反对称,l/3,1,解：1）简化 2）图乘 11 = 162 ei 3）自振频率 其它步骤相

49、同 m11, 22 = ei ml 3,l 3 486 ei 2 =,1 m 22,l/9 = 22,ei ml 3,2009-3-18,dynamics of structures,page-60,2,2,例15.9 求图示刚架的自振频率和主振型，并验证主,振型的正交性,k21,1,k22,m2,m1,k2,1,k11,k12,k1,解：1）求刚度系数,2）频率方程,k11=k1+k2 , k21= -k2 d = k11 m1 k22=k2 , k12= -k2 k21,k12 k22 m2,= 0,2009-3-18,dynamics of structures,page-61, =,3

50、 5 k,2, =,3 + 5 k,2,m,m,k,k,=,2,=,2,3)代值,若：m1=m2=m，k1=k2=k,y2(1)=1.618,(2k 2 m )(k 2 m ) k 2 = 0,1 ，10.618 2 m 2 ，21.618 2 m 4)主振型,y1(1)=1 第一主振型 y2(2)=0.618,y1(1) (1) y2 y1(2) (2) y2,= =,k12 1 k11 1 m1 1.618 k12 1 k11 2 m1 0.618,第二主振型,y1(1)=1,2009-3-18,dynamics of structures,page-62,2,k1 2 2 2 2 1 )

51、( 2 2 2 2 2 2 2,1 1,2,n,2,+ 2 ,k21 1 1 10,2,y2(2) k21 1 9,1,2 : = = n + =,2,讨论 若：m1=nm2，k1=nk2,1）频率方程,(n + 1)k mnmk2(k m2 )m k)2=k0 = 0,1 = (2 + ) 2 2）主振型,4 1 k2 n n m2,当上部质量和刚度很 小时，顶部位移很大 “鞭梢效应”,1 :,y2(1) (1) y1,=,= + n + = k22 1 m2 2 4 1,取 n=90,y1(2) k22 2 m2 2 4 1 3）验证主振型的正交性,如：屋顶消防水池、 屋面楼电梯间， 女儿

52、墙、等。,m 1y1(1) y1( 2 ) + m 2 y 2(1) y 2( 2 ) 90m 2 1 (1) + m 2 10 ( 9) = 0 故满足正交性条件,2009-3-18,dynamics of structures,page-63,特殊形式,y1 (t ) y1,y2,初始条件,一般解,(1),(2),(1),(2),15.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解,主振型,结构位移形状保持不变的振动形式,特殊形式,设 解,y1 (t ) = y1 sin( t + ) y2 (t ) = y2 sin( t + ),= =常数 y2 (t ) y2,实际上是像一个单自由度体系

53、在振动,条 件,y1,初始位移和初始速度应与此主振型相对应 实际上，初始时刻的 y0 或 v0 通常不能完全与,某一振型相对应。 第一主振型 第二主振型 y1 (t ) = a1y1 sin(1t + 1 ) + a2y1 sin(2 t + 2 ) y2 (t ) = a1y2 sin(1t +1 ) + a2y2 sin(2 t + 2 ),2009-3-18,dynamics of structures,page-64,15.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 15.5.1 柔度法 15.5.2 刚度法,2009-3-18,dynamics of structures,page-6

54、5,1 ( 1 y1) y + y 2 ) sin1p t1 11 2 (,2 1 (211 y1) y ( + 2 2 )22 p sinp t,齐次解（ r,15.5.1 柔度法 p sin t,简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动,柔度法 刚度法 p sin t,（1）建立振动微分方程 位移方程,m1,y1,y2,m2,ym=y1m+ m112+12 m21y= 12p+ sin t ym=y1m+ m2212+22myy2= 2 +2sin t （2）动位移的解答及讨论,m1 y1 1p,p,m2 y2 2 p,方程的解 设特解 平稳振动 ）特解（ ） y1 (t ) = y1 sin t

55、y2 (t ) = y2 sin t 2009-3-18 dynamics of structures page-66,d d,0 ,2,2,2,d =,d00 =,d1 =,d2 =,( 11 ,11 ,方程的解,(m1 211 1)y1 + m2 212y2 + 1p = 0 m1 2 21y1 + (m2 2 22 1)y2 + 2 p = 0 振幅：y1 = 1 y2 = 2 d0 d0 其中： ( m 11 1) m2 12 m 2 21 ( m2 2 22 1) 1p m2 212 2 p (m2 2 22 1) (m1 211 1) 1p m1 2 21 2 p,讨论 1)当 0

56、 时 静荷载作用 d0 1，d1 1p , d2 2 p y1 1p , y2 1p 2)当 时 来不及反应 d0 4 , d1 2 , d2 2 y1 0, y2 0 3)当 = 1 或 = 2 时 d00 且 d1，d2不全为零时 y1 , y2 共振 思考：共振点的个数 与自由度数的关系,2009-3-18,dynamics of structures,page-67,位移 惯性力,2,2,（3）动内力幅值的计算 由y1 ，y2值可求得位移和惯性力,y1 = y1 sin t y2 = y2 sin t my1 = m1 2y1 sin t my2 = m2 y2 sin t ,位移、惯

57、性力和荷载同时达 到幅值，动内力也同时达到 最大。求内力时可将动荷载 和惯性力的幅值作为静荷载 作用于结构，按静力法求解,外荷载 惯性力幅值,p sin t i1 = m1 2y1 i 2 = m2 y2 ,i1 1,p,i2 2,叠加公式,m (t )max = m1 i1 + m 2 i 2 + m p 动内力有正负号，叠加要注意！,2009-3-18,dynamics of structures,page-68,p sin t,3l 3 3pl 3,7l 3 7 pl 3,ip,1,例15.10 求图示结构质点1和2点的动位移幅值和动弯矩幅值图。 已知：m1 = m2 = m, ei =

58、 c ,0.751,解：1）求柔度系数 11 = 22 = = 256 ei 1p 256 ei 12 = 21 = 2 p = 768ei 768ei,l/4,m1 1 1=1,ei l/2,m2 2,l/4,2）求频率,3pl,自振频率,1 = 6.93,ei ml 3,16,m p i2=1,荷载频率, = 5.198,ei ml 3,3l 16,m 2,2009-3-18,dynamics of structures,page-69,2,2,2,2,2,d1 pl 3,pl 3,d2,ei,0.3530pl,y1, y = = 2.150,1, m,m (t ),1, i1 = m1

59、2y1 = 0.6808,3）计算 d0、d1、d2,5）求质点1、2弯矩幅值 p,d0 =,(m1 211 1) m1 21,m2 212 (m2 22 1),= 0.4065,0.6808p,0.6051p,d1 =,1p 2 p,m2 212 (m2 22 1),= 0.01025,3 pl ei,1 2 m (t )max = m1 i1 + m 2 i 2 + m p m1 (t )max = 0.3530 pl,d2 =,(m1 11 1) 1p m1 2 21 2 p,= 0.00911,pl 3 ei,m 2 (t )max = 0.2185pl 1,4）位移、惯性力幅值 y1

60、 = = 0.0252 i1 = m1 2y1 = 0.6808p d0 ei y2 = = 0.0224 在两自由度体系中， p d0 没有统一的动力系数 2009-3-18 dynamics of structures page-70,0.2185pl m 6）质点1 y1 m1 1p y1 m1 = 1 max = 1.883 m1st,2,01,02,1 ,2 ,2,d1 =,2,d2 =,2,d0 =,1,k11 2 m1 p1,k21 p2,15.5.2 刚度法,n t t,m2 m1,y2 y1,（1）建立微分方程 m1 y1 (t ) + k12 y1 + k12 y2 = p