计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列

1、第 2 讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列高考定位 高考对本内容的考查主要有： (1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理， B 级要求 .(2)排列与组合， B 级要求 .(3)数学归纳法的简单应用， B 级要求； (4)n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差， B 级要求 .真题感悟(2017 苏卷江 )已知一个口袋有m 个白球， n 个黑球 (m， n N*，n 2)，这些球除颜色外完全相同 .现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3， ，mn 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉 (k 1， 2，3， ，mn).1 2 3m

2、 n(1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p；(2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X) 是 X 的数学n期望，证明： E(X)（ mn）（ n1）.(1)解编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率p 为：n1Cmn1pnCm nnm n.(2)证明随机变量 X 的概率分布为：X11111nn1n2kmnn1n 1n1n 1n 1PCn1CnCn1Ck 1Cn m 1nnnnnCm nCm nCm nCmnCm n随机变量 X 的期望为：mn1n 11mn1（k1）！k 1E(X) C.knnknm nCm n knk （n 1）！（ kn）！C所以 E(X)

3、1mn（k2）！n（ n 1）！（ kn）！Cm nkn1m n（k2）！n（n2）！（ k n）！（n1）Cm n k n1n 2n 2n 2n(1Cn 1 Cn Cm n 2)（n1）Cm n1n 1n 2n2n 2n(Cn 1 Cn 1Cn Cm n 2)（n1）Cm n1n 1n 2n 2n(Cn Cn Cm n2)（n1）Cm n 1nn1n2(C)（ n 1） Cm nn 1nCm n 1，n（mn）（ n 1）（n1）Cm nn即 E(X)0)，设 f (x)为 f(x)的导数， nN(1)求 2f12 f22的值；2* 2(2)证明：对任意的 nN，等式 nfn14 4fn 4

4、2 都成立.(1)解 由已知，得 fsin xcos xsin xcos x10xxx21x(x)f(x)2，于是 f (x)f(x)sin xsin x2cos x2sin x42162 x2x3，所以 f122223xx，f ， 故2f1 22f2 2 1.(2)证明由已知，得 xf(x) sin x，等式两边分别对 x求导，得 f(x)xf(x) cos000x，即 f0(x)xf1(x) cos xsin x2，类似可得2f1(x)xf2 (x) sin x sin(x )，3f2(x)xf3(x) cos xsin x32，4f34(x) sin xsin(x2(x)xf).下面用数学归纳法证明等式nfn1(x) xfn(x) sin x n2对所有的 nN* 都成立 .()当 n1 时，由上可知等式成立.()假设当 n k 时等式成立，k即 kfk 1(x)xfk(x) sin x 2 .因为 kfk1(x)k k 1 k(x)k(kk xfk 1(x)，xf (x)kf(x)fxf (x)1)f (x)xkxkk（k 1） sin cosxsin，222x2所以 (k1)fk(x)xfk 1sin x（k1）(x)2.因此当 n k1 时，等式也成立 .综合 ( )，()可知等式 nfn1(x)xfn(x) sin x n2