考点二十八等差数列

1、考点二十八等差数列知识梳理1 数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2 数列的通项公式如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成an f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式3已知数列 an 的前 n 项和 Sn，S1n 1则 an.Sn Sn 1n 24 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间递增数列an1an其中的大小关系递减数列an10 ， d0，则 Sn 存在最大值；若a10 ，则 Sn 存在最小值典例剖析题型一基本量法在等差数列中的运用例 1设 Sn 为等差数列 an

2、的前 n 项和，若 a3 3，S9 S6 27，则该数列的首项a1 等于 ()6363A 5B 5C.5D.5答案D解析a1 2d 3，a1 2d 3，由得9a1 36d 6a1 15d 27，a17d 9，解得 a1 3.故选 D.5变式训练等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a5 8，S3 6，则 S10 S7 的值是 ()A. 24B. 48C. 60D. 72答案B设等差数列 an 的公差为 d，由题意可得a5 a1 4d 8a1 0解析S3 3a13d 6，解得，则 S10d 2S7 a8a9 a103a1 24d48，选 B.解题要点在等差数列中， a1，an， d，n，

3、 Sn 这五个基本量，只要知道其中三个，就可以求出另外两个，即“知三求二” 。解题时利用的是方程的思想，即构造基本量有关的方程或方程组求解。题型二利用等差数列的性质解题例 2(1) 设数列 an ， bn 都是等差数列若 a1 b1 7，a3 b3 21，则 _.(2) 等差数列 an 中， a1a510， a4 7，则数列 an 的公差为 ()A 1B 2C 3D 4答案(1)35(2) B解析(1) an ， bn 为等差数列， an bn 为等差数列， ( a1 b1 ) (b5 a5) 2(a3 b3) 42， a5 b5 42 7 35.(2) a1a5 2a3 10， a3 5，又

4、 a4 7， d a4 a3 2，故选 B.变式训练(1)在等差数列 an 中，已知 a4 a8 16，则该数列前 11 项和 S11 等于 ()A58B88 C 143D 176(2) 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 S10 10， S2030，则 S30 _.答案(1)B(2) 60解析(1)S1111 a1a1111 a4 a8 88.22(2) S10， S20 S10， S30 S20 成等差数列，且S10 10， S20 30， S20 S10 20，S30 30 10 2 10 30，S30 60.解题要点Sn也是等差数在等差数列 an 中，数列 Sm，S2mSm

5、，S3m S2m 也成等差数列； n列等差数列的性质是解题的重要工具题型三等差数列的前 n 项和例 3设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a12 8，S9 9，则 S16 _.答案 72解析设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，a12a111d 8，a1 3，由已知，得S9 9a1 9d8 9，解得d 1.2S16 16 316 15 ( 1) 72.2变式训练在等差数列 an 中， a1 1， a3 3.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 若数列 an 的前 k 项和 Sk 35，求 k 的值解析(1)设等差数列 an 的公差为d，则 an a1 ( n 1)d.由

6、a1 1， a3 3，可得 1 2d 3，解得 d 2.从而 an 1 (n 1) (2) 3 2n.(2) 由 (1)可知 an 3 2n，所以 Sn n1 32n 2n n2.2由 Sk 35，可得 2k k2 35，即 k2 2k 35 0，解得 k 7 或 k 5.又 k N* ，故 k 7.解题要点1. 等差数列前 n 项和 Sn 公式为： Snn a1 ann n 1d.在求解前 n 项和 na122时，应根据题意选取合适的求和公式。2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法题型四等差

7、数列的前 n 项和的最值问题例 4在等差数列 an 中，已知 a1 20，前 n 项和为 Sn，且 S10 S15，求当 n 取何值时， Sn取得最大值，并求出它的最大值解析 a1 20， S10 S15， 10 2010 9d 15 2015 14d，22d5.3法一： 由 an20 (n 1)556533n 3 .得 a13 0.即当 n12 时， an0， n 14 时， an 0.当 n 12 或 13 时， Sn 取得最大值，且最大值为 S S 12 20 12 11 5 130.121323法二： Sn 20nn n 155 2125525 23 12523 6n 6 n 6 n

8、2 24 .n N* ，当 n 12 或 13 时， Sn 有最大值，且最大值为S12 S13 130.解题要点求等差数列前n 项和 Sn 最值的两种方法(1) 配方法：利用等差数列前n 项和的函数表达式Sn an2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2) 不等式组法：am 0，Sm；a10， d0 时，满足的项数 m 使得 Sn 取得最大值为am 1 0当 a10 时，满足am 0，的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.am 1 0当堂练习1 (2015 重庆理 )在等差数列 an 中，若 a2 4，a4 2，则 a6()A 1B 0C1D 6答案B解析由等差数列的性质，

9、得a6 2a4 a2 2 2 4 0，选 B.2 (2015 新课标文 )已知 an 是公差为1 的等差数列，Sn 为 an 的前 n 项和，若S8 4S4，则 a10 等于 ()1719A. 2B.2C 10D 12答案B解析公差为1，S8 8a1 8 811 8a1 28，S4 4a1 6.21S8 4S4， 8a1 28 4(4a1 6)，解得 a1 ， a10 a1 9d 1 9 19.故选 B.223. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a5 8， S3 6，则 S10 S7 的值是 ()A24B 48C60D 72答案B设等差数列 an 的公差为 d，由题意可得a5 a

10、1 4d 8，a1 0，解析解得则 S10S3 3a13d 6，d 2，S7 a8a9 a103a1 24d48.4设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a2 9， a3 a7 6，则当 Sn 取得最小值时，n()A 9B 8C 7D 6答案D解析 a3 a72a5 6， a5 3， d 2， a6 1， a7 1， S6 最小故选 D.5等差数列中，3(a3 a5) 2(a7 a10 a13) 24，则该数列前13 项的和是 ()A156B 52C26D 13答案 C解析 a3 a52a4， a7 a10 a133a10， 6(a4a10) 24，故 a4 a10 4.S1313 a

11、1 a13 13 a4 a10 26.22课后作业一、 选择题1 (2015 新课标 II 文 )设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a1 a3 a5 3，则 S5 等于 ()A 5B 7C9D11答案A解析 an 为等差数列， a1 a5 2a3， a1 a3 a5 3a3 3，得 a3 1，5 a1 a5S5 5a3 5.故选 A.2设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， S8 4a3， a7 2，则 a9 ()A 6B 4C 2D 2答案A解析由 S84a3 知： a1a8a3， a8 a3 a1 2da7 d，所以 a7 d 2.所以 a9 a72d 2 4 6.3在

12、等差数列 an 中， a2 2，a10 15，则 a18 的值为 ()A10B 5C30D 28答案D解析 an 为等差数列， a2 a18 2a10， a182a10 a2 28.4在等差数列 an 中，若 a1 a5 10， a4 7，则数列 an 的公差为 ()A 1B 2C3D 4答案B解析 a1 a510 2a3， a35.故 d a4 a3 75 2.5已知数列 an 为等差数列，其前n 项和为 Sn ，若 a3 6， S3 12，则公差d 等于 ()5A 1B. 3C 2D 3答案C解析由已知得S3 3a212，即a2 4， d a3 a2 6 4 2.6 an 中， a3a4a

13、5 a6 8，则S7 ()A 8B 21C 28D35答案C解析 an 为等差数列， a4 a6 2a5， a3 a4 a5 a6 a3 a52a48， a4 4，S7 7a428.17在等差数列 an 中，若 a2 a4 a6 a8 a10 80，则 a7 2a8 的值为 ()A 4B 6C 8D 10答案C解析 a2 a4a6 a8 a10 5a6 80， a6 16.12a7 a8a6a7 a8 8.2228已知等差数列 an 满足 a1 0,5a8 8a13，则前 n 项和 Sn 取最大值时， n 的值为 ()A20B 21C 22D 23答案B解析由 5a88a13 得 5(a1 7

14、d) 8(a1 12d)? d 3 a1，由 an a1 (n 1)d a1(n6136411) 61a10，得 n 3 213，数列 an 前 21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时， n 的值为 21.二、填空题19(2015 安徽文 )已知数列 an 中，a1 1，an an 1 2(n 2)，则数列 an 的前 9 项和等于 _答案27解析由已知数列 an 是以 1 为首项，以1为公差的等差数列2S9 9 19 8 19 18 27.2210 (2015 广东理 )在等差数列 an 中，若 a3 a4 a5 a6 a7 25，则 a2 a8 _.答案10解析因为 an 是等

15、差数列，所以 a3a7 a4 a6 a2 a8 2a5， a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25，即 a55， a2 a8 2a5 10.11 (2015 陕西理)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为 _答案5解析由题意设首项为a1，则a1 2 015 21 010 2 020， a1 5.三、解答题12 (2015 四川文 )设数列 an( n 1,2,3， )的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an a1，且 a1，a2 1， a3 成等差数列(1) 求数列 an 的通项公式；1(2) 设数列an 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解析(1)由已知 Sn 2an a1，有 an Sn Sn 12an 2an 1(n 2)，即 an 2an 1(n 2)，从而 a2 2a1， a3 2a24a1，又因为 a1， a2 1，a3 成等差数列，即a1 a3 2(a2 1)，所以 a1 4a1 2(2a1 1)，解得 a1 2，所以，数列 an 是首项为2，公比为2 的等比数列，故 an 2n.(2) 由 (1)得 1 1n， an 211n11121 21所以T 2 n1 1 n.n22212