知识梳理双曲线及其性质(基础)高三数学理科

1、双曲线【考纲要求】1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程；2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握双曲线的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】双曲线的实际背景及定义双曲线标准方程及简单性质数形结合思想【考点梳理】【高清课堂：双曲线及其性质404777知识要点】考点一、双曲线的定义在平面内，到两个定点f、f的距离之差的绝对值等于定长2a（pf-pf1212=2aff）的动12点p的轨迹叫作双曲线.这两个定点f、f叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.12要点诠释：（1）双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：pf-pf12=2aff，这可以

2、借助于三12角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；）（2）若常数a满足约束条件：pf-pf=2a0，则此时的曲线是双曲线的靠f的12122一支；（3）若常数a满足约束条件：pf-pf=2a=ff，则此时的曲线是两条射线；1212（4）若常数a满足约束条件：pf-pf=2aff，则此时的曲线不存在.1212考点二、双曲线的标准方程（1）当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程：（2）当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程：x2y2-2ab2y2x2-a2b2=1(a0,b0)，其中c2=a2+b2；=1(a0,b0)，其中c2=a2+b2.要点诠释：（1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐

3、标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；（2）在双曲线的两种标准方程中，都有c2=a2+b2；（3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当x2的系数为正时，焦点在x轴上，双曲线的焦点坐标为(c,0)，(-c,0)；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，双曲线的焦点坐标为(0,c)，(0,-c).考点三、双曲线的简单几何性质双曲线x2y2-a2b2=1(a0,b0)的简单几何性质（1）范围：xx-a或xa，yr；0)0)（2）焦点(c，顶点(a，实轴长=2a，虚轴长=2b，焦距2c；（3）离心率是e=c1；a（4）渐近线：y=bax.双曲线y2x2-2ab2=1(ab0)

4、的简单几何性质（1）范围：yy-a或ya，xr；（2）焦点(0,c)，顶点(0,a)，实轴长=2a，虚轴长=2b，焦距2c；（3）离心率是e=c1；a（4）渐近线：y=abx.考点四、有关双曲线的渐近线的问题（1）已知双曲线方程求渐近线方程：=0=0y=bx若双曲线方程为x2y2x2y2xy-=1渐近线方程-a2b2a2b2aba（2）已知渐近线方程求双曲线方程：bxyx2若渐近线方程为y=x=0双曲线可设为aaba2-y2b2=l（3）若双曲线与焦点在y轴上）x2y2x2y2-=1有公共渐近线，可设为-222abab2=l（l0，焦点在x轴上，l0,b0)的图像如图所示：（1）实轴长aa=2

5、a，虚轴长2b,焦距ff=2c，1212（2）离心率：e=pf1=pm1pf2pm2af=11=ak11af22=ak22cb2=1+aa2e1；（3）顶点到焦点的距离：af=af=c-a，af=af=a+c；11221221（4）dpff中结合定义pf-pf1212合起来.【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程=2a与余弦定理，将有关线段pf、pf、ff和角结1212例1.求与椭圆x2y2+=1有共同的焦点，且过点(15,4)的双曲线的标准方程。2736【解析】依题意设双曲线方程为y2x2-a2b2=1由已知得a2+b2=c2=9，a2=42-2=1b2=5又双曲线过点(15,4)，a2+b

6、2=91615ab1615-=1a2b2故所求双曲线的方程为y2x2-=1.45，【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位）选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定a、b.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为3x+2y=0，且双曲线过点m(8,63).（2）虚轴长与实轴长的比为3:4，焦距为10.【解析】xy（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是=0,故设双曲线方程为23点m(8,63)在双曲线上，x2y2-=l，4982(63)2-=l，解得l=4，49所求双曲线方程为x2y2-=1.1636（2）由已

7、知设a=4k,b=3k,则c=5k(k0)依题意2c=10k=10，解得k=1.双曲线方程为x2y2y2x2-=1或-=1.169169类型二：双曲线的焦点三角形例2.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点f和f，且|ff|=213，又椭圆1212长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比3:7.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若p为这两曲线的一个交点，求fpf的余弦值.12【解析】（1）设椭圆方程为x2y2x2y2+=1(ab0)，双曲线方程-222abab2=1，a-a=4,a:a=3:7.a=7,则cc，解得a=3.c=13,b2=a2-c2=36,b2=c2-a2=4.故

8、所求椭圆方程为x2y2x2y2+=1，双曲线方程为-=1.493694解得12vv5（2）由对称性不妨设交点p在第一象限.设|pf|=v、|pf|=v.1122由椭圆、双曲线的定义有:v+v=14,v=10,12v1-v2=6.v2=4.v2+v2-(2c)2412由余弦定理有cosfpf=.1212举一反三：【变式1】设p为双曲线x2-y212=1上的一点，f，f是该双曲线的两个焦点，若|pf|:|pf|=3:2，1212pf1f2=12，故选b.则pff的面积为（）12a63b12c123d24【解析】依据双曲线的定义有|pf|-|pf|=2a=2，12由|pf|:|pf|=3:2得|pf

9、|=6、|pf|=4，1212又|ff|2=(2c)2=413=52，则cosfpf=0，即fppf，121212所以例3（2015南昌三模）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）a=1b=1c=1d=1【答案】a【解析】双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，解得a=2，b=，双曲线方程为举一反三：=1故选a【变式1】（2015春湖北期末）与双曲线线的方程为（）有共同的渐近线，且经过点a（，2）的双曲ab2x2=1cy2x2-=1d1827【答案】c【解析

10、】由题意设所求的双曲线的方程为因为经过点a（，2），所以=，=，即=9，代入方程化简得y2x2-=1，故选c1827【变式2】设双曲线x2y2-a29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0，则a的值为a4b3c2d1【答案】c例4已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设f和f是双曲线的左、右焦点，点p在双曲线上，且|pf|pf|=32，求fpf的大小121212【解析】x2y2-=1，-9y（1）由16x22=144得916a=3，b=4，c=5.焦点f(-5,0)、f(5,0)，离心率e=12534，渐近线方程为y=x.3（2）|p

11、f|-|pf|=2a=6，12cosfpf=12|pf|2+|pf|2-|ff|212122|pf|pf|12=(|pf|-|pf|)2+2|pf|pf|-|ff|21212122|pf|pf|12916=36+64-100=064fpf=90012举一反三【变式1】已知f、f是双曲线12fpf=_。12【答案】90x2y2-=1的两个焦点，p在双曲线上且满足|pf|pf|=32，则12-=1，p为双曲线上一点，f、f是双曲线的两个焦点，并且2416【变式2】已知双曲线x2y212例5.在平面直角坐标系xoy中，若双曲线-fpf=60，求dfpf的面积。1212【答案】163类型三：离心率【高

12、清课堂：双曲线及其性质404777例1】x2y2mm2+4=1的离心率为5，则m的值为_【解析】双曲线x2y2-mm2+4=1中，a2=m,b2=m2+4且m0所以c2=m+m2+4则e2=c2m+m2+4=2am=5解得m=2举一反三：【变式1】已知双曲线x2y2-a2b2=1与x轴正半轴交于a点，f是它的左焦点，设b点坐标为(0,b)，且abbf，则双曲线的离心率为（）1+31+52+62+5a、b、c、d、2244【答案】b【变式2】若椭圆【答案】52x2y23x2y2222+=1,(ab0)的离心率为,则双曲线-aba2b2=1的离心率为_例6.已知f,f是双曲线12x2y2-2ab2=1(ab0)的左、右焦点,过f且垂直于x轴的直线与双曲线的1|af|=2ctan