自考线性代数(经管类)模拟试卷(一)

1、2011年自考线性代数（经管类）模拟试卷（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1.3阶行列式=中元素的代数余子式=（）a-2b-1c1d2答案：c (p7) =(-1)2+1=(-1)(0-1)=1. 2.设为2阶矩阵，若=3，则（）ab1cd2答案：c (p45)3a=32| a |=3，| a |=，2 a=4a=.3.已知2阶矩阵的行列式，则( )abcd答案：a (p50)a=，a *=，a -1=， ( a -1)*= .4.设向量，下列命题中正确的是（）

2、a若线性相关，则必有线性相关b若线性无关，则必有线性无关c若线性相关，则必有线性无关d若线性无关，则必有线性相关答案：b (p93) 若线性无关，则，不全相等，从而的对应分量也不完全成比例，即线性无关.5.设是齐次线性方程组ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）abcd答案：b (p112)选项a、c、d都线性相关，如a：-+（+）=0，c：-+（-）=0，d：（-）+（-）+（-）=0.6.设3阶矩阵a与b相似，且已知a的特征值为2，2，3.则|b-1|=（）abc7d12答案：a (p138)ab，则a与b有相同的特征值，a的特征值为2，2，3，所以b的

3、特征值也为2，2，3.b=12，b -1=.7.设3阶方阵a的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）ae-ab-e-ac2e-ad-2e-a答案：d (p50)矩阵可逆则矩阵对应的行列式不等于零，验证四个选项，可知，a、b、c所示矩阵行列式全都为零，而-2e-a=（-3）（-1）（-4）=-120，从而-2e-a可逆.8.下列矩阵中不是初等矩阵的为（）abcd答案：d (p63)9.若3阶实对称矩阵a=（）是正定矩阵，则a的正惯性指数为（）a0b1c2d3答案：d (p171,p173)10.二次型f(x1, x 2, x 3, x 4)= x+ x+ x+ x+2x3x 4的秩

4、为（）a1b2c3d4答案：c (p165)由二次型写出对应的矩阵a，且a=则r(a)=3，即二次型的秩为3.二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的横线上填上正确答案.错填、不填均无分.11.已知行列式，则_.答案：2 (p14)12.设矩阵a=，p=，则apt=_.答案： (p39)13.设矩阵a=，矩阵b=a-e，则矩阵b的秩r(b)= _.答案：2 (p70) b=a-e=-=，故r(b)=2.14.已知矩阵方程，其中，则x=_.答案： (p40)a=1，a可逆且a-1= ，xa=b，即x=ba-1，x=.15.已知3元齐次线性方程组有非零解，则a=_.答案：2

5、 (p112)齐次线性方程组有非零解，即a=0=2-a，故a=2.16.已知向量组线性相关，则数_.答案：1 （p88）向量组线性相关，即使构造矩阵a=()的秩小于3，a=，由r(a)3，则a-1=0，故a=1.17.已知向量=（2，1，0，3）t，=（1，-2，1，k）t，与的内积为2，则数k=_.答案： (p146)18.设2阶实对称矩阵a的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为=(1，1)t,=(1，k)t，则数k=_.答案：-1 (p154)因为a是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以11+1k=0，故k=-1.19.矩阵a=对应的二次型f =_.答案：+2+3+4x1

6、x2+8x1x3-2x2x3 (p163)20.设矩阵a=，则二次型xtax的规范形是_.答案： (p170)由规范型的定义，系数为1，-1和0的标准二次型为规范型，所以a的规范型为.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知3阶行列式=中元素的代数余子式a12=8，求元素的代数余子式a21的值.答案：(p7) 解：a12=(-1)1+2-4x=8,故x =-2. a21=(-1)2+1-5.22.已知矩阵a=，b=，（1）求a的逆矩阵a-1；（2）解矩阵方程ax=b.答案：（p48 p40）解：（1）由于| a |=-10,所以a可逆，且a -1=（2）x = a -1 b

7、=23.、为何值时，向量=（3，10，b，4）可由向量组=(1，4，0，2)， =(2，7，1，3), =(0，1，-1，a)线性表出.答案：(p83) 解：()=当b=2,a1时，可由线性表出，且表示法惟一， =.当b=2,a=1时，可由线性表出，且表示法不惟一.=-(2k+1)1+(k+2)2+k3.24.设3元齐次线性方程组，（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.答案：（p112）解：(1)由方程组的系数行列式|a|=（a+2)(a-1)2=0,得a=-2或a=1，此时r(a)=2或r(a)=1,均小于3，方程组有非零解.（2）当a=

8、-2时，a=，得到基础解系=（1，1，1）t， 此时全部解为k(k为任意常数）； 当a=1时,a=,得到基础解系1=（-1，1，0）t，2=（-1，0，1）t， 此时全部解为k11+k22(k1,k2为任意常数）.25.已知2是三阶方阵a=的二重特征值，求a的另一个特征值，并求可逆阵p使得p-1ap为对角阵.答案：(p132 p136) 解：设a的另一个特征值为，则2+2+=tr(a)，即2+2+=1+4+5，所以=6.对应于1=2=2的特征向量为=，=.对应于3=6的特征向量为=.所以p=,p-1ap=.26.已知矩阵a=，求正交矩阵p和对角矩阵，使p -1ap=.答案：(p154) 解：由|e-a|= =2(-3)=0得a的特征值1=2=0,3=3.对于1=2=0,对应的线性无关的特征向量为=(-1，1，0)t， =(-1，0，1)t，对于3=3,对应的特征向量为=(1，1，1)t，将，正交化,得=,=,再将,单位化,有1=,2=.将单位化,有3= 令