几何概型的经典题型及答案

1、几何概型的常见题型及典例分析几何概型的定义1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2. 特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等 .3.计算公式:P(A)二构成事件 A的区域长度（面积或体 积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量.4.古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：

2、古典概型的基本事件是有限的， 几何概型的基本事件是无 限的；两种概型的概率计算公式的含义不同.常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间-1,1上随机取一个数x，c。詣的值介于0到之间的概率为（）.A.-B.C.D.分析：在区间-1,1上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间-1,1的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件 解：在区间-1,1上随机取一个数X,即X -1,1时，要使cos的值介于21 XX0到-之间,需使或2 223322222 -1沁岂-2或2岂x乞1

3、，区间长度为2 ,3 33由几何概型知使COS的值介于0到-之间的概率为2 22故选A._ 符合条件的区间长度_3_1P 一所有结果构成的区间长 度一 2 3 .例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯 C,D，问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的 概率是多少？A C D BIII思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型.解 记E: “ A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB等分，由于中间长度为QIO米,10P（E）抵方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随

4、机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解.例3、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R的概率思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以,N图1-1图1-2题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1 ） o 也就是说，样本空间所对应的区域 G是一维空 间（即直线）上的线段 MN而有利场合所对 应的区域G是长度不小于R的平行弦的中点K 所在的区间。解

5、法1.设EF与E1F1是长度等于R的两条弦，直径MN垂直于EF和EiFi,与他们分别相交于K和Ki(图1-2)。依题设条 件，样本空间所对应的区域是直径 MN有L(G)=MN=2R注意到弦的长度 与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是 KK,有L(Gk)=20K以几何概率公式得L(Ga)3R 3L(G) 2R 2解法2.如图1-1所示，设园0的半径为R, EF为诸平行弦中的任意一 条,直径MN弦EF,它们的交点为K，则点K就是弦EF的中点。设OK=x 则 x -R,R, 所以 L(G)=2R设事件 A为“任意画的弦的长度不小于R”，则 A的有利场合是2 R2 _X2 _R,解不等式，

6、得|x|刍所以R= 3R于是P(A)二、3r 、. 32R 一 2评注本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和 有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色， 解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法 2引进变量x把 代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便， 但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。例4、在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形， 求这个正方形的面积介于 36cm与81cm之间的概率.分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm长的 线段AB上任取一点M求使得AM

7、的长度介于6cm与9cm之间的概率. 解：记“面积介于36cm与81cm之间”为事件A,事件A的概率等价于 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。 练习：“长度介于6cm与 9cm之间”的概率，所以,P(A)=9 一61242、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.-1,B. 1109C.111D.解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件 A,试验的所有结果构成的区1域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)=五.答案：Ax 23、已知集合Ax| 1x0，在集合A中任取一个元素3 xx，则事

8、件“ x An B”的概率是.解析：由题意得A=x| 1x5，B= x|2x0成立的概率是.解析：f(1) = 1 + a b0, 即卩 a b 1,如图：99Sabc29A(1,0) , B(4,0) , C(4,3) , sabc= 2， P= s 4x4= 329答案：32练习1、ABC助长方形，A吐2, BC= 1, O为AB的中点在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A A. 4B 1亍C.扌 D - 118解析：对应长方形的面积为2X1 = 2,而取到的点到0的距离小于等于11 2时，其是以O为圆心，半径为1所作的半圆，对应的面积为2X n X1212n

9、=n ,那么满足条件的概率为:n1云=1答案：B2、设一K a 1, 1 b 1,则关于x的方程x2 + ax+ b2= 0有实根的概率是()11A二B.C.24解析：由题知该方程有实K a 1,K b 0,积为1,总的事件对应面积为正方形的面积, 故概率为4.答案：B3、已知 Q = ( x, y)| x + y0, y 0, A= ( x, y)| x0,x 2y 0，若向区域Q上随机投一点P,则点P落入区域A的概率1B.C.D.解析：作出两集合表示的平面区域如图所示容易得出Q所表示的平面区域为三角形 AOB及其边界，A表示的区域为三角形OCD及其边界.容易求得D(4,2)恰为直线x =

10、4, x 2y = 0, x+ y= 6三线的交点.1 1则可得 S AOB=X 4X 2= 4.所以点P落在区域A的概率为着|答案：D尸Ix + y 才2兰04、在区域xy+U2 3 0内任取一点P,y兰0则点P落在单位圆x 1 尹 a+ b0匚 + a+ b0+y2= 1内的概率为()B.C.D.解析：区域为 ABC内部(含边界)，则概率为P=S半圆SABC5、在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,贝U使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是.解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与 ABC相交出三个扇形(如图所示)，当P落在阴影部分时符合要求.1 n 2PX訂占案7t1 36

11、、在区间0,1上任意取两个实数a，b，J则函数f(x) =?x + ax b在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为 .解析：f (x) = |x2+ a，故f (x)在x 1,1上单调递增，又因为函数1 3f(x)二云+ ax b在1,1上有且仅有一个零点，即有f( 1) f(1)01 1 1 1成立，即(2 a b)( 2 + a b)0，可化为T 0w a1了 0w a10 b10 b0或 + a b0, b0时,方程f(x)二0有两个不相等实根的充要条件为 ab. 当 ab 时，a, b 取值的情况有(1,0) , (2,0) , (2,1) , (3,0) , (3,1), (3,2)

12、,即A包含的基本事件数为6 ,一 6 1方程f(x) = 0有两个不相等实根的概率P(A) = 12=-.(2) v a从区间0,2中任取一个数,b从区间0,3中任取一个数,则试验的全部结果构成区域Q=( a , b)|0 a 2,0 b 3,这是一个矩形区域,其面积SQ = 2X 3=6.设“方程f(x) = 0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为 M= ( a , b)|0 a 2,0 b 3 , av b,1即图中阴影部分的梯形，其面积 S&6 2 2X 2= 4.由几何概型的概率计算公式可得方程f(X)= 0没有实根的概率P(B)=SmSq23.(三) 、与角度有关的几何概型例1

13、、在圆心角为90的扇形中，以圆心为起点做射线OC , 求使得.AOC和.BOC都不小于30的概率？分析：此题关键是搞清过O作射线OC可以在扇形的任意位O置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的解：记事件A是“做射线OC ,使得.AOC和.BOC都不小于30 AON =/BOM =/MON =30，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(A)二.MON的度数.AOB的度数3090例2、如图所示，在等腰直角LABC中，过直角顶点C在ACB内部做 一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM : AC的概率。分析：当 A M A时，有 NA C M 厶,A故欲使AM AC，应 有.ACM

14、 ： AMC，即所作的射线应落在ACM =/AMC时 ACM 的内部。解析：在AB上取AD二AC ,连接CD，则180。 45ACD二一7.5。，记“在内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM : AC为事件A,则P(A)二67.509003，所以，所求概率42点评：本题所求事件的本质是在 ACB内部做一条射线CM，所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易易犯的错误是，用长度的比得出、2这一错误结果例3、在等腰 Rt ABC中，C=90,在直角边 BC上任取一点 M求.CAM 0,y 0,z 0(1) 构造出随机事件A对应的几何图形；(2) 利用该图形求事件A

15、的概率.思路点拨：在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z2 v 1 表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部.事 件A对应的几何图形所在位置是随机的， 所以事件A的概 率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概 型的条件.解：(1) A=(x,y,z)| x2+y2+z2v 1, x0,y 0,z 0表示空间直角坐标 系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x0,y 0,z 0的部分， 如图所示.(2) 由于x,y,z属于区间0,1，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶 点，事件A为球在正方体内的部分.1 x纟兀x 13- P(A)=L616方法技巧：本例是利用几何图形

16、的体积比来求解的几何概型，关键 要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形.从本例可以看出求试验为几何 概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域门的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度.(五) 、会面问题中的概率例1、某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天 9点到10点之间 的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。解析：设事件A表示两艘外轮至少有一艘在停 靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的x分、y分，则|x-y| 20,0II 20 乞 x y 乞 20

17、x,y 60, 即卩A = （x, y）|0兰x兰60，以9点为原点，建立平i0兰y兰60面直角坐标系如图所示，事件 A所对应的区域如图中阴影区域所示：所以，其概率P（A）=阴影面积/ABCD面积=5/9。小结：“会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其 关键是构建相遇的不等式（组），借助于线性规划知识，将其面积之比 求出，使得问题得以解决。例2、两人约定在20： 00到21： 00之间相见，并且先到者必须等迟到 者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20： 00到21： 00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.思路点拨 两人不论谁先到都要等迟

18、到者40分钟，即-小时.设两 3人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见， 当且仅当-2 x-y -，因此转化成面积问题，利用几何概型求解.33解设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时 间范围内相见，2 2当且仅当- x-y .3 3两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果 可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人 能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y ）的各种可 能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范 围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为S阴影S单位正方形方法技巧

19、会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概 型.难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点（x,y）, 从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面 积型几何概型问题.（六）、与线性规划有关的几何概型例1、小明家的晚报在下午5： 306： 30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6: 007: 00之间的任何一个时间随机地开始晚 餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出八晚餐开始y7-A存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭 开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开 始的时间分别为x、y，然后

20、把这两个变 量所满足的条件写成集合的形式，把问 题转化为线性规划问题进行求解.解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别 为x、y .用(x，y)表示每次试验的结 果，则所有可能结果为：1 = (x, y)5: 30 乞 x 空 6:30,6 乞 y 乞 7，即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A，则事件A的结果为：A(x,y)5:30乞x6:30,6冬y乞7,x乞，即为图2中阴影部分区域.SabcD = 1 1=1，S阴影=1-1 丄=7.2 2 2 87所以所求概率为：P = S阴皂=8 = 7 .Sabcd 18故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是 -.8反思：此类问题

21、常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：(1)找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为 x,y ；(2)集合表示.用(x,y)表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示 出全部结果门和事件A所包含的试验结果.一般来说，两个集合都 是几个二元一次不等式的交集.(3) 作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合?, A 对应的区域的面积.(4) 计算求解.由几何概型公式求出概率.(七) 、与定积分有关的几何概型例1、在区间-1,1上任取两数a、b，求二次方程x2 ax 0的两根 都是实根的概率.分析：可用(a,b)表示试验结果.求出所有可能结果的面积和方程有实根的结果的面积，再

22、利用几何概型来解答.解：用(a,b)表示每次试验结果，则所有可能结果为：门-”(a,b) -1乞a乞1,一1乞b乞1【即为图3中正方形ABCD的面积；由方程有实根得：DD丄二a2 -4b _0,贝U方程有实根的可能结果为A J(a,b)a2 4b 一0,-1 a 岂1,一1 乞 b，即为4b1-1AaC图4中阴影部分区域.阴影部分面积可用定积分来计算1 1 2 1 3 a da 1 2 a-412所求概率为 ：SA B CD = 22 = 4， S阴影图4_图5所以 B 2丄2，6 613IS阴影613小P60.5417.SABCD424(八) 、与随机模拟有关的几何概型例1、如图5,面积为S

23、的正方形ABCD中有一个不规则的图形 M，可 按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为S，假设正方 n形ABCD的边长为2，M的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目.(I )求X的均值EX ;(II )求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值 之差在区间(-0.03,丄5)内的概率.k附表：P(k)C；0000 0.25 O.7510000t =0k2424242525742575P(k)0.04030.04230.95700.9590分析：本题从表面来看似乎与几何概型无关

24、，其实它是一个几何概型的 逆向问题与n次独立重复实验的综合题，而且本题有别于常规的面积型 概率计算，设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。解：每个点落入M中的概率均为的面积 U .依题意知SaBCD4!1X B .10000,.I4丿1(I) EX =100002500 .4(x(U)依题意所求概率为 pi 0.034 一1：0.03I10000P -0.03：丄 4-1203 =P(2425 X：2575)I 10000丿2574八C；0000 0.25t 0.7510000t =242625742425=送 C；000.25* 0.7510002t =2426t =0= 0.9570

25、 -0.0423 =0.9147 .(由曲线y= 2x与x轴、x= 1：-0.5例2、利用随机模拟方法计算图中阴影部分围成的部分)面积.思路点拨 不规则图形的面积 可用随机模拟法计算.解(1)利用计算机产生两组0,1上的随机数,a i=rand () , bi=rand().(2) 进行平移和伸缩变换,a=(a i-0.5)*2,b=b 1*2,得到一组0,2 上的均匀随机数.(3) 统计试验总次数N和落在阴影内的点数Ni.(4) 计算频率 丛，则 山即为落在阴影部分的概率的近似值.NN(5) 利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率P=S4(6) 因为丛=S ,所以S=4Ni即为阴影部分的面

26、积.N 4N方法技巧 根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用 频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似 等于规则图形面积乘以频率.而频率可以通过随机模拟的方法得到，从 而求得不规则图形面积的近似值.(九) 、生活中的几何概型例1、某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的， 但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事 件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个

27、时刻到站等车是等可 能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件解：设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是到站 等车的时刻位于50,60这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得 P(A)= 650=1，即此人等车时间不多于10分钟的概率为1 .60 6 6例2、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻 是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。解：设上辆车于时刻 T1到达，而下一辆车于时刻 T2到达，线段T1T2 的长度

28、为15,设T是T1T2上的点，且T1T=5, T2T=10,如图所示：记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的时刻落在线段 T1T 上时，事件发生，区域 D的测度为15,区域d的测度为5。 所以d的测度 51（厂D的测度153答：侯车时间大于10分钟的概率是1/3.例3、假设题设条件不变，求候车时间不超过 10分钟的概率. 分析：T1 TT2d的测度 102P（A）=D的测度= 15= 3例4、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停 靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车 时间大于10分钟的概率？分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时

29、刻To到达，T2时刻出发。 线段T1T2的长度为15,设T是T1T2上的点，且TT2=3, TT=1O,如图所示:T1 TTcT2记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的时刻落在线段 T1T 上时，事件A发生，区域D的测度为15,区域d的测度为15-3-10=2。 所以p d的测度 2（）D的测度15例5、平面上画有一组平行线，其间隔交替为1.5cm和10cm任意地往平面上投一半径为2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。思考方法本题的难处，在于题中没有直接指明等可能值参数，为此， 需发掘“任意的往平面上投一直径为 2cm的圆”之真实含义，找出具有 某种等可能的随机点。注意到定半径的

30、圆的位置决定于圆心，可以取圆 心作随机点，由于平行线可以向两端无限延伸，而往平面上投圆又是任 意的，所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了；考虑到题设平行1-3 )由此原题不难解线的间隔交替的为1.5cm和10cm则研究相邻三条平行线之间情况就可 以反映问题的全貌。经上面的分析，我们可以取圆心为随机点，它等可 能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上(如图 出。图1解设L1、L2、La是三条相邻的平行线，EPF是它 们之间的垂线(图1-3)，则样本空间所对的区 域是线段EF,有L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)注意到L1与L2相邻1.5cm，所以圆心如果落在线 段EP上，那么圆与平行

31、线必定相交。设半径为 2cm的O OOO分别切L2、La于P、F,则事件的 有利场合所对应的区域应是线段 OO有L(GA)=OO=PF-OP-OF=10-2-2=6cm。.p=：0.512711.5评注 从本题可以看出，如果题中没有直接指明等可能值参数，则解题的 关键，在于斟酌题设条件，发掘等可能值参数的含义，找出随机点的分 布情况。例6广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节 目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看9不到广告的概率为10，那么该台每小时约有分钟的广告.dOli0609解析：60 X (1 10)= 6分钟答案：6例7、甲、乙两人约定在下午

32、4:005:00间在某 地相见他们约好当其中一人先到后一 定要等另一人15分钟，若另一人仍不到 则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x为甲到达时间，y为乙到达时间.建立坐标系，如图|x-y|乞15时可相见，即阴影部分2 260 -457P厂60216例8两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km下午3: 00张三在基地正 东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北 40km内部处，向基 地行驶，试问下午3： 00,他们可以交谈的概率。解：设x, y为张三、李四与基地的距离x0,30， y 0,40，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对（x,y），表示区

33、域总面积为1200,可以 交谈即x2 y2 - 2525 二1921 兀 252 故p =4 1200例9、某勘探队勘测到，在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆 架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？ 分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率。解：记“钻到油层面”为事件 A， 则 P（A）= 储藏石油的大陆架面积 40 c=0.004 .所有海域的大陆架面积10000答：钻到油层面的概率是0.004 .例10、一只海豚在水池中游弋，水池为长 30m，宽20 m的长方形，求此 刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：由已知可得，海豚的活动范围在26X 16川的区域外， 所以海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P = 1 - 26 16二0.3083020练习1、平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的 概率是（）B.C.D.解析：平面被这一组平行线分割成条状区域，现对