二项式系数的性质导学案

1、 二项式系数的性质导学案自主预习案一、 预习目标：了解“杨辉三角”，认识“杨辉三角”中行、列数字的特点及其组合数的性质、二项式系数之间的联系。二、 预习内容：阅读P.26-27内容，了解二项式系数表及杨辉三角，探索归纳出二项式系数的性质。导入新课1二项式定理及其特例：（1） （2） 2二项展开式的通项公式： 新课探究1二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，如下表所示： 图1 图2上表叫 表，表中每行两端都是 ，除以外的每一个数都等于 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。 2二项式系数的性质：展开式的二项式系数

2、是，可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）、每一行两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即，这实际上是由组合数的性质得到的（2）、对称性，在二项展开式的每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即：，这个性质实际上也是由组合数的性质得到的。直线是图象的对称轴（3）、增减性与最大值 二项式系数先增大，到达某一值后又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必在 位置上，也就是说，二项式系数先从1开始递增，达到中间位置取最大值，然后又逐渐递减到1.当是偶数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间一项，即 项的二项式系数最大，最大值为 ；当是奇数时

3、，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间两项，即第 项，和第 项的二项式系数相等且最大，最大值为=。（4）、二项展开式中各项系数的和等于 ，即在中，令，则有 探究展示案一、学习目标：结合杨辉三角掌握二项式系数的概念和性质，并能利用这些性质计算和证明一些与二项式展开有关的简单问题。二、合作学习例1：（自主学习）根据“杨辉三角”写出：（1）的二项式系数； （2）展开式中的第3项的系数.例2：（小组合作）写出的展开式中：（1）通项；（2）二项式系数最大的项；（3）各项的系数绝对值最大的项；(4)各项的系数最大的项；（5）各项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和。例3：运用二项

4、式定理证明：（1）；（2）（3）结论（1）、（2）分别表示什么意思？点评：和是两个重要的结论，大家要熟练掌握。例4：利用赋值法求证：.合作提高1.已知，求：（1）； （2）； （）；（）2. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中的系数为（ ）A、-150 B、150 C、300 D、-3003.已知，则等于（）A、 B、 C、D、4. 在的展开式中，各项系数的和是.5.已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项6 证明：能被7整除。7今天是星期一，则过2102天后是星期几？课堂小结 ：1性质是组合数公式的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。二、当堂检测.若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为（）A、 B、 C、D、.设，则中奇数的个数为（）A、 B、 C、 D、.展开式中，所有项的系数之和为；展开式中的系数为.在的展开式中,