知识讲解_导数的计算_基础1

1、导数的计算编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导” 【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（ 1） f (x)C （C 为常数）， f ( x)0（ 2） f (x)（ 3） f (x)（ 4） f (x)xn （ n 为有理数）， f (x)n xn 1sin x ， f ( x)cos xcos x ， f ( x)sin x（ 5） f (x)ex ， f(x)ex（ 6）

2、f (x)a x ， f (x)ax ln a（ 7） f (x)ln x ， f ( x)1x（ 8） f (x)log a x ， f(x)1 log a e。x要点诠释：1常数函数的导数为0，即 C =0（ C 为常数）其几何意义是曲线 f ( x)C （ C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴2有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（ n 1）次幂的乘积，即( xn ) nxn 1 （ n Q）特别地1 1 ， (x )21。xx2x3正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x） =cos x4余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x） = sin x5指数函数的导数：(a

3、x ) ax ln a ， ( ex ) ex 6对数函数的导数：(log ax)1 log a e， (ln x)1xx有时也把 (log a x)1 log a e 记作： (log a x)1xx ln a以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（ 1）和差的导数： f ( x)g (x)f ( x)g ( x)（ 2）积的导数： f ( x) g ( x)f ( x) g( x) f ( x) g (x)（ 3）商的导数： f ( x) f( x)g ( x)f (x) g ( x)（ g( x)0 ）g( x) g( x) 2要

4、点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（）和（或差）的导数：(uv) u v ，推广： (u1u2un )u 1 u 2u n （）积的导数：(uv)u v uv ，特别地： (cu)cu （ c 为常数）（）商的导数：uu vuv (v 0) ，vv2两函数商的求导法则的特例f ( x)f (x) g( x)f ( x) g (x) ( g( x)0) ，g (x)g 2 ( x)当 f ( x)1 时，1 1 g( x) 1 g (x)g (x) ( g(x) 0) g( x)g 2 ( x)g 2 ( x)这是一个函数倒数的求导法则2两函数积与商求导公式的说明（ 1）类比： (uv)u v

5、 uv ， uu v uv （ v 0），注意差异，加以区分vv2（ 2）注意：uu 且 uu v uv （ v 0）vv vv23求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积） ，然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量知识点三：复合函数的求导法则1复合函数的概念对于函数 yf ( x) ，令 u( x) ，则 yf (u) 是中间变量u 的函数， u( x) 是自变量 x 的函数，则函数 yf ( x) 是自变量x 的复合函数要点诠释：常把 u(x) 称为“内层” ，yf (u) 称为“外层”。

6、2复合函数的导数设函数 u( x) 在点 x 处可导， u x(x) ，函数 yf (u) 在点 x 的对应点 u 处也可导 y uf (u) ，则复合函数yf ( x) 在点 x 处可导，并且y xy u u x ，或写作f x( x)f (u)(x) 3掌握复合函数的求导方法（ 1）分层：将复合函数yf ( x) 分出内层、外层。（ 2）各层求导：对内层u(x) ，外层 yf (u) 分别求导。得到(x), f (u)（ 3）求积并回代：求出两导数的积：f (u)( x) ，然后将 u用( x)替换 ，即可得到yf ( x) 的导数。要点诠释：1. 整个过程可简记为分层求导回代，熟练以后，

7、 可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简单初等函数的导数例 1. 求下列函数的导数：(1)3(2)1x （ 4） ysin x （ 5） ln xx2 (3)x【解析】(1) (x3) =3x3 1=3x2；1 221 3(2) (x 2) =( x) = 2x= 2x1)111(3) ( x ) ( x21 x 21 x 22212x（ 4） y (sin x)cos x ；（ 5） y (ln x)1；x【总结升华】（ 1）用

8、导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。（ 2）准确记忆公式。（ 3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。举一反三：【高清课堂： 导数的计算 229880例题 1】【变式】求下列函数的导数：(1) y =1(2)y = 3x（ 3） y=2x3 3x2+5x 4（4） ylog 2 x2log 2 x ；x3【答案】(1)y =(1 )=(3)=331= 3 4x3xxx(2 y (3 x )1112(x 3 )1 x 31 x 333（ 3） y 2( x3 )3( x2 )5( x)(4)6x26x 5（ 4） yl

9、og 2x2log 2 xlog 2 x ， y (log 2 x)1.x ln 2类型二：求函数的和、差、积、商的导数例 2.求下列函数导数：(1) y 3x2 xcosx ； (2)yx1x； (3)y lgx ex ；（ 4）y= ex tanx.【解析】(1)y 6 cos sin .(2)y 1 xx1.(3)y (lgx) (e x) 1 ex.xxxx(1x)2(1 x) 2x ln10(4)y = ex tanx+ex.cos2x【总结升华】（ 1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。（ 2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策

10、略。举一反三：【变式 1】（ 2015 春兰山区期中）函数yx cosxsin x 的导数为（）A. x sin xB.x sin xC.x cos xD.x cos x【答案】 B【变式 2】 求下列各函数的导函数（ 1） y=(x+1)(x+2)(x+3)。（ 2） y=x2sinx;xcos x（ 3）y=sin xx【答案】2322， 。（ 1）y=(x+3x+2)(x+3)=x+6x +11x+6y=3x +12x+11（ 2） y=（ x2） sinx x2（ sinx ） =2xsinx x2 cosx（ 3） y ( xcos x) ( x sin x)( x cos x)(

11、xsin x)( x sin x)2= (1sin x)( x sin x)( xcos x)(1cos x)( xsin x) 2x cos x x sin xsin xcos x 1=( x sin x) 2【变式 3】求下列函数的导数.（ 1） y （ 2 x2 5 x 1）ex；（ 2） y ( x 1)(11) ；x（ 3） y sin xx cos xcos xxsin x【答案】（ 1） y (2 x2 5 x 1) e x (2 x2 5 x 1) (e x ) （ 4 x 5）e x （ 2 x 2 5 x 1） e x（ 2x 2 x 4） ex1 x1 x11x 2x2

12、，（ 2） y ( x 1)xx y 1 x23211 x2 .2（ 3） y1 x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x) (cos x x sin x) 2 (sin x(cos xx sin x)1x sin x) 2 (cos x cos x x sin x) (cos x x sin x) (sin x x cos x) (x cos x)(cos xxsin x cos x x2 sin 2 xx sin x cos x x 2 cos2 xx2(cos xx sin x)2x sin xcos x类型三：求复合函数的导数例 3 求下列函数的导数：

13、（ 1） y1；（2） ycos(3x) ；3x)4(16（ 3） y ln(2 x23x1) ；【解析】（ 1）设 =1-3x， y4，则y xy x45(3)(112。3x) 5（2）设3x6， y=cos ，则y xy xsin33sin(3x) 。6（3）设 u2x23x1,则 u 4x3， y uln u ln(2 x23x 1)y xy uu x(4 x3) ln(2 x23x1)【总结升华】把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。举一反三：【变式1】（ 2014 春 晋江市

14、校级期中）设f (x) sin 2 x ，则 f () =（）3A.33C.1D. 1B.2【答案】 D【解析】因为f (x)sin 2x ，所以 f ( x)(2 x) cos 2x2cos 2x ，则 f ( )2cos 231，故选 D。3【高清课堂： 导数的计算229880例题 2】【变式 2】 求下列函数导数 .（ 1） yln( x 2)；（ 2） ye2 x 1 ；（ 3） y cos(2 x2 1) .【答案】（ 1） y ln u ， ux2 y xy u u x(ln u) ( x2)1 11ux 2（ 2） yeu ， u 2x 1 . y xy u u x(eu ) (

15、2 x1) 2eu2e2x 1（ 3） ycosu ， u2x2 1 ， y xy u u x(cos u) (2 x21)4x sin u4x sin(2 x21) .例 4 求下列函数导数 .(1)y(12 x2 ) 8 ；（ 2） yx 1x2； （ 3） y sin 2 ( 2x)3【解析】(1)令 u12x2, yu8 ,yxyu ux(u 8 ) (1 2x2 )8u7 4x 32 x(1 2x 2 )7 .（ 2） y ( x1x2 )x 1x 2x( 1x 2 )1 x2x (1 x2 )1 x2x21 2x2。21x21 x21 x2（ 3）设 y2 ， =sinv， v2x

16、，则3y xyV vx2cosv22 sin( 2x)cos(2x) 2332 sin( 4x2)3在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：y sin 2 (2x3) 2 sin(2x)sin(2x) 332sin(2x)cos(2x) ( 2x)3332sin(4x2)3【总结升华】（ 1）复合函数求导数的步骤是：分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导） ；将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解求导回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，即分解（复合关系）求导（导数相乘） 。（ 2）同一个

17、问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。举一反三：44【变式 1】求 y sin x cos x 的导数解法一442222212y sinx cos x (sin x cos x) 2sincos x 12sin 2 x 1 1 （ 1 cos 4 x） 3 1 cos 4 x y sin 4 x444433解法二y (sin4x)(cosx)4 sin x(sin x)4 cos x (cos x)4 sin 3x cos x3sin x)4 sin x cos x (sin2x24 cos x (cos x) 2 sin 2 x cos 2xsin 4 x【变式 2】

18、求下列函数导数：（ 1） y12x2；12x222cos x2（ 2）求函数y的导数（sin x0 ）。sin2 x1【答案】（ 1）设 u=1 2x2，则 yu 2 。3 y x y u u x1 u 2(4x)21332 x(1 2x2 ) 2 ( 4x)2x(1 2x2 ) 2。2(1 2x2 ) 1 2x2（ 2）方法一：y 2 cos xcos x2cos x (cos x) sin 2 xcos x(sin 2 x) sin 2 xsin 2 xsin 2 xsin 6 x2cos x(sin 3 x2cos 2 xsin x)2cos x4cos 3 xsin 6xsin 3 x

19、sin 5。x方法二：ycos2 x， y (cos2 x)sin 4 xcos2 x(sin 4x)sin4 xsin8 x2cos x(sin x)sin 4 xcos2 x4sin 3 x cos x2cos x4cos 3 xsin8 xsin 3 xsin 5。x类型四：利用导数求函数式中的参数【高清课堂：基本不等式392186 例题 1】例 5（1） f ( x)ax33x22 ，若 f ( 1)4 ，则 a 的值为（）A 10B 13C 16D 193333（ 2）设函数 f ( x)cos( 3x) (0) ，若 f (x)f (x) 是奇函数，则 =_。【解析】（ 1） f ( x)3ax 26x ，10 f ( 1)3a64， a，故选 A。3（ 2）由于 f ( x)3 sin(3x) ， f ( x)f ( x)cos( 3