百校联盟2018届TOP20一月联考(全国Ⅰ数学理

1、百校联盟2018 届 TOP20一月联考（全国卷）理科数学一、选择题：1. 设全集 U 为实数集 R ，已知集合 Ax y ln x3，则图中阴影部分, B x 1 x 22所表示的集合为（）A x x 2B x x3 或 x 2C x 1 x3 x x 1D222. 若 5ai2bi a, bR，则 ab（ ）2 iA 1B1C 16D 81683. 某公交车站每隔 10 分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7 分钟的概率为（）A 1B 7C 1D 35102104. 命题 p :7a 1 ，命题 q:函数 f xx11,2上有零点，则p 是 q 的（

2、）22a 在xA. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示，程序输出的结果为T156 ，则判断框中应填（）A k 11?B k 12?C k 11?D k 12?6. 已知 f x 1ln x3 ，则函数 fx 的图象大致为（）x1- 1 -ABCD7. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（）A 99B 61C 62D 7328. 根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆. 地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点. 已知月球的

3、近地点约为36 万千米，月球轨道上点P 与椭圆两焦点F1 , F2 构成的三角形PF1 F2 面积约为 480 3 ( 万千米 )2，F1 PF2，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（）32222A x 2y 21B x 2y36136143840C x2y21D x2y22414824836482369. 函数 fxmsin1 xmm0 ，则下面 4个结论 :函数 fx图象的对称轴为x1k, kZ2- 2 -将 f x 图象向右平移1 个单位后，得到的函数为奇函数函数 fx的单调递增区间为1 2k,1 2,kZ2k2经过点m,3 m 的直线和 f x图象一定有交点 . 正确结论的个数是（）

4、A 1B 2C 3D 410. 如图所示，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， AB2, BAD60 ，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， F , F 分别为 PD ,CD 的中点，则异面直线AE 与 BF 所成角的余弦值为（）A 1B 3C 1D 73441011.双曲线 x2y21 a0,b0， A(t,0), E t, 0t0，方向向量为3,1的直线l过点 A且a2b2与双曲线交于B,C 两点， 2ODOBOC ,， EDBC0 ，则双曲线的离心率为（）A5B5C10D10232312.函数 fx满足 f xfxex, x1 ,， f1e ，若存在 a2,1

5、，使得x2f21a33a2e 成立，则 m 的取值范围是（）mA 2,1B 2 ,C 1,D 1,23323二、填空题13.向量 BA1,2,CA / /BA ，且 CA25 ，则 BC 的坐标为xy20,14.若 x, y 满足约束条件xy40, 则 zx2y24x6 y13 的最小值为y2,15.若 x52 x4a0a1 x2a2x22x3a44a5 x251a32x 2，则a2- 3 -16.ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，若 2absinA ( ac 6)sin2 B2b 2 sinAcosC ，b2 ，则ABC 外接圆面积的最小值为三、解答题17.正项数列

6、an 满足 an21an 1 2an1an 3an 1 0 ， a1 1 ，数列 bn为等差数列，b31 a2 ， a3b13 . （ 1）求证：an1是等比数列，并求bn 的通项公式；2（ 2）令 cn an bn ，求数列cn的前 n 项和 Tn .18. 质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12 个零件质量进行检测 . 甲、乙两个车间的零件质量 ( 单位：克）分布的茎叶图如图所示. 零件质量不超过20 克的为合格 .（ 1）从甲、乙两车间分别随机抽取2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；（ 2）质检部门从甲车间8 个零件中随机抽取4 件进行检测 ，若至少 2

7、 件合格，检测即可通过，若至少 3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（ 3）若从甲 、乙两车间12 个零件中随机抽取2 个零件 ，用 X 表示乙车间的零件个数，求 X 的分布列与数学期望.19. 如图所示，在底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1 D 1 中，AA1A1BA1D , AB2,AA1B.3- 4 -（ 1）证明：平面A1 BD平面 A1BC1 ；（ 2）求直线AC1 与平面 DBC1 所成角的正弦值.20. 已知点 F0,2，过点 P0, 2 且与 y 轴垂直的直线为 l1 ， l2x 轴，交 l1 于点 N ，直线 l 垂直平分 FN

8、 ，交 l2于点M.（ 1）求点 M 的轨迹方程；（ 2）记点 M 的轨迹为曲线E ，直线 AB 与曲线 E 交于不同两点A x1 , y1, B x2 , y2 ，且x2 1 x1m2 （ m 为常数） ，直线 l 与 AB 平行，且与曲线E 相切，切点为 C ，试问ABC 的面积是否为定值 . 若为定值，求出ABC 的面积；若不是定值，说明理由.21. 函数 fxlnx1 ax be2x4 a,bR在 2, f2 处的切线斜率为1 a .（ 1）讨论函数 fx的单调性；（ 2）设xf11m22m1m 0,， h x1x ，x 2 a x 2x3ln x 1ln x对任意的 x10,1，存在

9、 x21 ,，使得x12h x2成立，求 m 的取值范围 .3请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x 2cos为参数） ，以原点 O 为极点，xOy 中，椭圆 C 的参数方程为（y3sinx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos2 2 .4（ 1）求经过椭圆C 右焦点 F 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程；（ 2）若 P 为椭圆 C 上任意 - 点，当点 P 到直线 l 距离最小时，求点P 的直角坐标 .23. 选修 4 一 5: 不等式选讲函数 f xx1 x1 ， gx42

10、x ，函数 fx的最小值为 M .x2x60的解集；（ 1）求不等式组xg xMf（ 2） mn0 ，求证： fxgx1m28 .n n m- 5 -试卷答案一、选择题1-5: CADCB6-10: ACBAB11、 12：AA二、填空题13.3,6或1,214.115.3816.928三、解答题17.（1）由题可得an 1anan 13an10， an 1an0 ， an13an 1 ， an113an1， an 1是首项为3 ，公比为3 的等比数列 .2222 an1 33，ann4, a313 ，13 1 . a2n222 b12d 1 4, b11, bnn .b112d13,d1.（

11、 2）由（ 1）得 an3n1， bn n ，则 cn1n1 n1nn ，2232n 3所以 Tn113232n 3nn n 1，24令 Sn13232n 3n ， 3Sn1 322 33n 3n 1 ， 得 2Sn3 323nn 3n 13n 13 n 3n 13n 1 1n3 .222所以 Snn 13n 13 .Tnn 13n 13n n 1.244488418. （ 1）甲车间合格零件数为 4，乙车间合格的零件数为 2， P1C421C2255C82C42.84（ 2）设事件 A 表示“ 2 件合格， 2 件不合格”；事件B 表示“ 3 件合格， 1 件不合格”；事件C 表示“ 4 件

12、全合格”；事件 D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好” . PDPA PBP CC42C42C43C41C4453,C 4C 4C 470888 PEDP CP B17. 故所求概率为 17 .P DP D5353（ 3） X 可能取值为0，1， 2.- 6 -PX0C8214,C23312PX1C41C8116C 2,3312PX2C421,C21112分别列为EX 014116212 .333311319. （ 1）证明：连接 AC 交 BD 于 O ， O 为 BD 中点， A BA D, AOBD.111 ODOA, A1 DA1 A , A1O 为公共边 . AODAOA,

13、AOAC.111又 AC BD, AC 平面 A1BD. A1A /CC1 , A1ACC1 为平行四边形 . AC1/ /AC, AC1平面A BD，111又 AC1在平面A BC1内，平面A BD平面A BC1 .1111（ 2）建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，AA1 B, A1 AB 为等边三角形，A1 A2 .3- 7 -又 OA2 , AO12 .O 0,0,0 ,A2,0,0, B0,2,0,C2,0,0 , D0,2,0, A10,0, 2 . AC1ACCC1ACAA132,0,2， BD0, 22,0，BC1BCCC1ADAA122,2, 2.设平面DBC 1 的一个

14、法向量为 nx, y, z， nBD0,即22 y0, y0,2 xz .nBC10,22x2y2z0.令 x 1 ， n 1,0,2 .设 AC1与平面DBC1 所成角为 . sinAC1n2.AC1n10所以直线 AC1与平面 DBC1 所成角的正弦值为2 .1020. （ 1）由题意得 FMMN，即动点 M 到点 F 0,2的距离和到直线 y2 的距离相等，根据抛物线定义可知点M 轨迹方程为 x28 y .（ 2）设直线 AB 方程为 ykxb ，ykxb8kx8b 0 .联立8 y得 x2x2 x1 x28k, x1x28b .设 AB 中点为 Q , Q 4k,4 k 2b .设切线

15、方程为ykxt ，联立ykxt28t 0 .x28 y得x 8kx64k 232t0 ， t2k 2 ，切点 C 的横坐标为4k， C 4k,2 k 2 . CQx 轴 .m222232b m22 x2x11， x2 x11 ，x1 x24 8b 64k- 8 -m21264k2b32.231SABC1CQx2x112k2bx2x1m，2264 m 为常数，ABC 的面积为定值 .21. （ 1） fx的定义域为1,，f x1a2 x4，x12be f 2 1 a 2b 1 a ， b 0 . f xln x 1 ax ， f x1aax a 1 .x1x1（）当 a0 时， fx10， fx

16、在 1,上单调递增；x1（）当 a0 时，令fx0 ， xa111，a1a1 x 11 ， f x0 ， x11 时， fx0 ，aa则 fx在1,11上单调递增，在11,上单调递减；aa（）当 a0时，111 ， x1时， fx值大于 0，则 f x 在 1,上单调递增 .a综上所述， a0 时， fx上单调递增区间为1,； a0 时， f x的单调递增区间为1,11，单调递减区间为11,.aa（ 2）xln111m22m1 ，由题意得x min2h x min ，xx3xx1 ln 2x1x2，x2x1 ln 2x1设 y1x1 ln2x1x2， y1ln2x12lnx 12x ，设 y2

17、ln 2x12lnx12x ， y22ln x12x ，x1当 x0,1 时， ln (x1)x ， y20 ， y2单调递减，则当 x0,1 时， y20， y10 ， y1 单调递减， y10 ，x 0 ， x单调递减，- 9 -x11222m ， h x1x ，ln 23m1ln 1x令 t1， 0t3 ， y111 ， ymin11 ，xln tt2ln 23 12m22m 211 ， m22m 0 ， m2 或 m0 ，ln 232ln 23又因为 m0,，所以 m 的取值范围为2,.22. （ 1）椭圆方程 x2y21， F1,0 ，43直线 l 的直角坐标方程为yx4 ，与 l垂直的直线斜率为1 ，直线方程为 yx 1 ，即 xy10 ，则极坐标方程为cossin10 .（ 2）设 P 2cos,3sin，点 P 到直线 l 的距离 d2cos3 sin47 sin42，2此时 sin27210，7,cos72当22k,kZ 时， d 取最小值，此时22k , kZ ，2cos2cos2k2sin47 ，273sin3sin22k3 cos3 7 ，7 P 点坐标为4737.7,723. （