常微分方程习题集

1、常微分方程测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解-。二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隐式解。4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.常微分方程测试题2一、填空题：（30%）1、

2、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点 7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解.9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是.10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、2、3、4、5、求解方程三、求初

3、值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可

4、微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_.3、单选题(14%)（1）方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（）.(A)一个解（B）两个解 (C)无数个解（D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=1,x=1, (B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x =e时y=( ).(A) (B)(C)2 (D)e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.

5、方程（）奇解（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）方程过点（）（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分： （1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或常微分方程测试题41辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（

6、3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_3、单选题(14%)（1）方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（）.(A)一个解（B）两个解 (C)无数个解（D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=1,x=1, (B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x =e时y=( )

7、.(A) (B)(C)2 (D)e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）方程过点（）（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分： （1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或常微分方程测试题5一、填空题（30%） 1若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为

8、2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3连续是保证方程初值唯一的条件一条积分曲线. 4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中， 5二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 7方程的所有常数解是 8方程所有常数解是 9线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式 10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分： 1. 2 3 4 5三、证明题（30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在 2设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中

9、，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在常微分方程测试题6一、填空题（20%)1方程的所有常数解是2方程的常数解是3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线4方程的基本解组是二、选择题(25%)1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）（B）-1（C）+1（D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要 （C）充分必要（D）必要非充分3.方程过点共有（）个解（A）一（B）无数（C）两（D）三4方程（）奇解（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5方程的奇解是（）（A）（B）（C）（D）三、计算题(25

10、%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.常微分方程测试题7一.解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.y-x(+)dx-xdy=04.2xylnydx+dy=05.=6-x6.=27.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。二证明题(20%)1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的

11、通解。2试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题8计算题.求下列方程的通解或通积分（70%）1.2.3.4.567证明题 （30%）8.在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为9.设在区间上连续试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解求证：若，则在区间I上必有成立常微分方程测试题9一、填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_

12、称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。常微分方程测试题10一、选择题（30%）1微分方程的阶数是_2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_3 _称为齐次方程.4如果_

13、,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中_ .5对于任意的,(为某一矩形区域),若存在常数使_ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是_7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程_8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_9若为毕卡逼近序列的极限，则有_10_称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_，可化为伯努利方程二求下列方程的解 （35%）求方程经过的第三次近似解讨论方程，的解的存在区间4求方程的奇解567三证明题 （35%）1试证:若已知黎卡提方程的一

14、个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一常微分方程测试题 11一填空题（30%）。1、当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组的_称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_8、满足_的点（）

15、，称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（60%）1、求解方程：=2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（10%）。试证：如果满足初始条件的解，那么常微分方程测试题13一、判断题（10%）1方程是恰当方程。（）2是三阶微分方程。（）3是方程的通解。（）4函数组线性相关的充要条件是它们的

16、伏朗斯基行列式等于零。（）5方程是二阶线性方程。（）二、选择题（101方程定义在矩形域上，则经过点的解的存在区间是（）。A B C D2与初值问题等价的一阶方程组是_.A BC D3方程（是一个函数矩阵）的解空间构成_维线性空间.An-1 Bn Cn+1 D4微分方程的一个解是（）A BC D5方程有积分因子（）A B C D三、填空题（20%）1方程通过点的第二次近似解是_。2当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。3如果在且，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。4若1，2，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线

17、性方程5方程有仅与有关的积分因子的充要条件是_。6利用变量替换_可把方程化为变量分离方程_。7.若都是=A(t)X的基解矩阵，则具有关系：。8方程的一个特解是_9形如的方程称为欧拉方程。10若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。四、计算题（60%）1求方程的通解。（8分）2求解下列初值问题：。（8分常微分方程测试题14一、判断题（10%）1方程是二阶非线性方程。（）2方程的通解是。（）3利普希茨条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件。（）4向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念并不等价。（）5若是阶齐次线性方程的个解，其伏朗斯基行列式，则在I上线性相关。（）二、选择题（10%）1曲线满足方程（）A B C D2积分方程的一个解是（）A B C D3若微分方程有积分因子，则满足（）A BC D4微分方程可化为（）ABCD5设有微分方程，则有（）（1）（2）（3）A方程（1）是线性方程式 B方程（2）是线性方程C方程（3）是线性方程 D它们都不是线性方程三、填空题（20%）1.含有自变量、未知函数及它的导数（或微分）的方程，称为_方程2利用变量替换_可把方程化为变量分离方程_。3方程的一个特解是_。4方程（是自变量）的对应的特征方程是_。5一曲