湖南省衡阳市高三(上)期末数学试卷(理科

1、湖南省衡阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分 60 分）1已知复数 z=，其中 i 为虚数单位，则z 所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限x，则 AB=（）2已知集合A= x logx 1，B= x2 | | |A（ ，2）B（ ，+） C（0，+） D（0，2）3执行如图所救援程序框图，输出s 的 值 为 （）A1B1C1D14投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A= 两次的点数均为奇数 ，B= 两次的点数之和为 4 ，则 P（B| A） =（）ABCD5若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）ABCD6设双曲线的

2、个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD7函数 f （x）=sinx?ln（x2+1）的部分图象可能是（）第1页（共 25页）ABCD8过抛物线 y2 =4x 的焦点的直线与圆x2+y2 4x2y=0 相交，截得弦长最长时的直线方程为（）Axy1=0Bx+y 1=0C x y+1=0Dx+y+1=09在 RtAOB 中，?=0，| =，| =2，AB 边上的高为 OD，D 在AB 上，点 E 位于线段 OD 上，若?= ，则向量在向量上的投影为（）A或B1C1 或D10算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是

3、我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖 ”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）ABCD11如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为A，点 C、B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为（，）， AOC=，若 | BC| =1，则cos2sincos的值为（）ABCD12设函数 f（ x）=x，若不等式 f（x）0 在 2，第2页（共 25页）+）上有解，则实数a

4、 的最小值为（）ABCD二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为（用数字寺写答案）14已知实数 x，y 满足，则的取值范围是15在 ABC中，已知角 A 的正切值为函数y=lnx在 x=1 处切线的斜率，且a=，b=2，则 sinB=16表面积为 20的球面上有四点S、A、 B、 C，且 ABC是边长为 2的等边三角形，若平面SAB平面 ABC，则三棱锥 SABC体积的最大值是三、解答题（共5 小题，满分 60 分）17已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 n， an，Sn 成等差数列（ 1）求数列 an 的通项

5、公式 an；（ 2）记 bn=an?log2（an+1），求数列 bn 的前 n 项和 Tn18酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为Q（简称血酒含量，单位是毫克 /100 毫升），当 20Q 80 时，为酒后驾车；当 Q80 时，为醉酒驾车如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查出的 60 名饮酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图 （其中 120 Q140 人数包含 Q 140）（ I）求查获的醉酒驾车的人数；（ II）从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8 人做样本进行研究，再从抽取的 8 人中任取 3 人，求 3 人中含有醉酒驾车人

6、数X 的分布列和数学期望第3页（共 25页）19如图，在四棱锥 P ABCD中， PC底面 ABCD， ABCD是直角梯形， AB AD，ABCD， AB=2AD=2CD=2 E 是 PB 的中点（）求证；平面 EAC平面 PBC；（）若二面角P AC E的余弦值为，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值20椭圆 C：+=1（ a b0）的上顶点为A， P（，）是椭圆 C 上的一点，以 AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点 F2（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设 F1 为椭圆 C 的左焦点，过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M 、N，记 F1MN 的内切圆的面积为S，

7、求当 S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值21已知 f（ x） =asinx，g（x）=lnx，其中 a R， y=g1（x）是 y=g（x）的反函数（ 1）若 0a1，证明：函数 G（x）=f（1x）+g（ x）在区间（ 0， 1）上是增函数；（ 2）证明：sinln2；（ 3）设 F（x）=g 1（ x） mx22（x+1）+b，若对任意的 x 0，m0 有 F（x） 0 恒成立，求满足条件的最小整数 b 的值第4页（共 25页） 选修题 ： 选修 4 4：坐标与参数方程 （请考生在 22、23 两题中任选一题作答，注意，只能做所选定题目，如果多做则按第一个计分。）（共 1 小题，满

8、分10 分）22以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知曲线C1 的参数方程为（为参数），曲线 C1 的极坐标方程为 （ cos+2sin ）+2=0，曲线 C2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点（ 1）判断 A、 B 两点与曲线 C1 的位置关系；（ 2）点 M 是曲线 C1 上异于 A、 B 两点的动点，求 MAB 的面积的最大值 选修 4 5：不等式选讲 23已知函数 f （x）=| x1| 2| x+1| 的最大值为 k（ 1）求 k 的值；（ 2）若 a，b，cR，+ b2=k，求 b（ a+c）的最大值第5页（共 25页）

9、湖南省衡阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分 60 分）1已知复数 z=，其中 i 为虚数单位，则z 所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】 复数的代数表示法及其几何意义【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案【解答】 解： z=， z 所对应的点的坐标为（ 1，1），位于第二象限故选： B已知集合A= x| log xx| ，则 AB=（）21 ，B=| x| 2A（ ，2）B（ ，+） C（0，+） D（0，2）【考点】 并集及其运算【分析】 先分别求出集合 A，B，由此利用并集定

10、义能求出AB【解答】 解：集合 A= x| logx 1 = x| log x = x| 0 x 2 ，B= xx= x= xx，2 | | | A B= x| x 0 =（0，+）故选： C3 执 行 如 图 所 救 援 程 序 框 图 ， 输 出s的 值 为 （）A1B1C1D1第6页（共 25页）【考点】 程序框图【分析】 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，逐项累加即可得解【解答】解：模拟执行程序， 可得程序框图的功能是计算数列an =的前2016 项的和，逐项累加易得：S=1+=1故选： D4投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A= 两次的点数均为奇数 ，B= 两次的点数之和为 4 ，则

11、 P（B| A） =（）ABCD【考点】 条件概率与独立事件【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件 A 包含的基本事件数， 与在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件数，再用公式求出概率【解答】解：由题意事件记 A= 两次的点数均为奇数 ，包含的基本事件数是 （1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）共9 个基本事件，在A 发生的条件下，事件B： 两次的点数之和为4 ，包含的基本事件数是 1， 3 ， 3， 1 共 2 个基本事件， P（B| A）=故选： C5若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）

12、ABCD【考点】 由三视图求面积、体积第7页（共 25页）【分析】 由三视图可知：作PO底面 ABC，点 O 为底面正 ABC的中心，连接CO延长与 AB 相交于点 D，连接 PD CDAB则 CD=，PO=即可得出【解答】 解：由三视图可知：作 PO底面 ABC，点 O 为底面正 ABC的中心，连接 CO延长与 AB 相交于点 D，连接 PD CDAB则 CD= ，PO= S侧视图= 故选： D6设双曲线的个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD【考点】 双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定【分析】先设出双曲线方程，则F，

13、B 的坐标可得，根据直线FB与渐近线 y=垂直，得出其斜率的乘积为1，进而求得 b 和 a，c 的关系式，进而根据双曲线方程 a，b 和 c 的关系进而求得a 和 c 的等式，则双曲线的离心率可得【解答】 解：设双曲线方程为，则 F（c， 0），B（0，b）直线 FB：bx+cybc=0 与渐近线 y=垂直，所以，即 b2=ac所以 c2 a2=ac，即 e2 e 1=0，所以或（舍去）第8页（共 25页）7函数 f （x）=sinx?ln（x2+1）的部分图象可能是（）ABCD【考点】 函数的图象【分析】 首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决【解答】解： f （ x）=

14、sin（ x）?ln（x2+1） =（ sinx?ln（ x2+1）=f（ x），函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称， sinx 存在多个零点， f（x）存在多个零点，故 f（ x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象故选 B8过抛物线 y2 =4x 的焦点的直线与圆x2+y2 4x2y=0 相交，截得弦长最长时的直线方程为（）Axy1=0Bx+y 1=0C x y+1=0Dx+y+1=0【考点】 圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合【分析】求出抛物线的焦点和圆心坐标， 利用直线过圆心时， 弦最长为圆的直径，用两点式求直线方程【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点为（ 1，0），圆 x2+y

15、24x+2y=0 即 （ x 2） 2+ （ y+1）2=5，圆心为（ 2， 1），由弦长公式可知，要使截得弦最长， 需圆心到直线的距离最小， 故直线过圆心时，弦最长为圆的直径由两点式得所求直线的方程=，即 x+y1=0，故选： B9在 RtAOB 中，?=0，| =，| =2，AB 边上的高为 OD，D 在第9页（共 25页）AB 上，点 E 位于线段 OD 上，若?= ，则向量在向量上的投影为（）A或B1C1 或D【考点】 平面向量数量积的运算【分析】根据题意画出图形，结合图形求出AB、OD 的长，再根据数量积与投影的定义，列出方程求出结果【解答】 解：如图所示， ? =0， ，即 OAO

16、B， AB=5；又 OD 为 AB 边上的高， OD AB， OD=2，? =?|cosAED=?|=；| | |设 | 为 x，则 x（2x）=，解得 x= 或 x=，向量 在向量上的投影为 | =或 故选： A10算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖 ”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）第 10 页（共 25 页）

17、ABCD【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 根据近似公式 VL2 h，建立方程，即可求得结论【解答】 解：设圆锥底面圆的半径为r，高为 h，则 L=2r，=（2r）2h，= 故选： B11如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为A，点 C、B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为（，），AOC=，若BC =1，则 cos2sin|cos 的值为（）ABCD【考点】 三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义【分析】 根据 B 的坐标可知圆 O 是单位圆，可得COB是正三角形，利用三角函数的定义即可求解【解答】 解：由 B 的坐标（）2+（）2可知圆O是单位圆，是=1CO

18、B正三角形，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（） = ，cos2sincos=cossin =sin（）=第 11 页（共 25 页）故选 B12设函数 f（ x）=x，若不等式 f（x）0 在 2，+）上有解，则实数 a 的最小值为（）ABCD【考点】 函数恒成立问题【分析】 依题意，可得 2a min（ x 2），构造函数g（x）= ，利用导数法可求得 g（x）的极小值 g（ 1） =1+ 6+2 = ，也是最小值，从而可得答案【解答】 解： f（x） =x 0 在 2，+）上有解xx 在2， ）上有解? 2ae+? 2a min（x 2）令 g（x） =，则g（x）=3x2 3x

19、 6=（ x1）（3x 6），+ + x 2，+），当 x 2，1）时， g（x） 0，g（x）在区间 2， 1）上单调递减；当 x（ 1，+）时 g（x） 0，g（x）在区间（ 1，+）上单调递增；当 x=1 时， g（x）取得极小值 g（ 1） =1+6+2=，也是最小值， 2a， a故选： C第 12 页（共 25 页）二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为36（用数字寺写答案）【考点】 排列、组合的实际应用【分析】根据题意，假设 5 个人分别对应 5 个空位，男同学不站两端，有3 个位置可选；而其他 3 人对

20、应其他 3 个位置，对其全排列，可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：假设 5 个人分别对应 5 个空位，男同学不站在两端，有 3 个位置可选；则其他 3 人对应其他 3 个位置，有 A33=6 种情况，则不同排列方法种数66=36 种故答案为 3614已知实数 x，y 满足，则的取值范围是，4【考点】 简单线性规划【分析】 画可行域明确目标函数几何意义，目标函数表示动点P（ x，y）与定点 O（0，0）连线斜率 k 再加 1，过 O 做直线与可行域相交可计算出直线PO斜率，从而得出所求目标函数范围【解答】 解：先画出可行域如图：因为目标函数表示动点 P（ x， y）与定点 O

21、（0，0）连线斜率 k 再加 1；由图可知；KOB最小， KOA 最大；联立可得 A（1，3）联立可得 B（3，1）故： KOB=， OA，=K=3KOP3，第 13 页（共 25 页）所以：=1 k，4+故答案为： 4， 15在 ABC中，已知角 A 的正切值为函数y=lnx在 x=1 处切线的斜率，且a=，b=2，则 sinB=【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，求出A 的正切函数值，然后转化利用正弦定理求解即可【解答】 解：函数 y=lnx，可得 y=， f （1）=3， tanA=3，可得 sinA=，由正弦定理可得：，可得 sinB= 故答

22、案为：16表面积为 20的球面上有四点S、A、 B、 C，且 ABC是边长为 2的等边三角形，若平面SAB平面 ABC，则三棱锥 SABC体积的最大值是3【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】作出直观图，根据球和等边三角形的性质计算 SAB的面积和棱锥的最大高度，代入体积公式计算第 14 页（共 25 页）2【解答】 解：取 AB 中点 D，连结 SD，设球 O 半径为 r，则 4r=20，解得 r=， ABC是边长为 2的等边三角形， AB=2，CD=3AD=，过 S 作 ABC的垂线，垂足是 AB 的中点时，所求三棱锥的体积最大，此时 SAB与 ABC全等， SD=3，三棱锥 SABC体

23、积 V= S SAB（2）23=3 ?CD= 故答案为： 3三、解答题（共5 小题，满分 60 分）17已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 n， an，Sn 成等差数列（ 1）求数列 an 的通项公式 an；（ 2）记 bn=an?log2（an+1），求数列 bn 的前 n 项和 Tn【考点】 数列的求和【分析】（1）由 n， an，Sn 成等差数列，可得 n+Sn=2an，n=1 时， 1+a1=2a1 ，解得a1n 2 时可得： n 1+Sn 1=2an 1，相减可得： an+1=2（an 1+1），利用等比数列通项公式即可得出（ 2）bn=an?log2（an+1）=n（ 2n

24、1）=n?2n n，令数列 n?2n 的前 n 项和为 An=2+2 22+323+ +n?2n，利用 “错位相减法 ”、等比数列的求和公式即可得出【解答】 解：（1） n，an，Sn 成等差数列， n+Sn=2an ，n=1 时， 1+a1=2a1，解得 a1=1n2 时可得： n 1+Sn 1=2an 1，相减可得： an+1=2an2an 1，可得： an +1=2（ an 1+1），第 15 页（共 25 页）数列 an+1 成等比数列，公比为2，首项为 2 an+1=2n，解得 an=2n1（ 2） bn =an?log2（ an +1）=n（2n1）=n?2nn，令数列 n?2n

25、的前 n 项和为 An=2+222+323+ +n?2n， 2An=22+2 23+ +（ n1）?2n +n?2n+1， An=2+22+ +2n n?2n+1=2n?2n+1=（1n）?2n+12， An=（ n 1） ?2n+1+2数列 b的前 n 项和 Tn+1 2nn=（ n 1） ?2 +18酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为Q（简称血酒含量，单位是毫克 /100 毫升），当 20Q 80 时，为酒后驾车；当 Q80 时，为醉酒驾车如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查出的 60 名饮酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图 （其中 120 Q14

26、0 人数包含 Q 140）（ I）求查获的醉酒驾车的人数；（ II）从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究，再从抽取的 8 人中任取 3 人，求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和数学期望【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）利用频率分布列直方图的性质即可得出（ II）易知利用分层抽样抽取8 人中含有醉酒驾车者为2 人， X 的所有可能取值为 0，1，2利用 P（ X=k）=（k=0，1，2），即可得出第 16 页（共 25 页）【解答】 解：（I）（0.0032+0.0043+0.0050） 20=0.2

27、5， 0.2560=15，故醉酒驾驶的人数为 15（人）（ II）易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人； X 的所有可能取值为 0，1，2利用 P（X=k）=（k=0，1，2），可得： P（X=0）=，P（X=1）=，P（ X=2）= X 的分布列为X012PEX=0+1+2= 19如图，在四棱锥P ABCD中， PC底面 ABCD， ABCD是直角梯形， ABAD，ABCD， AB=2AD=2CD=2 E 是 PB 的中点（）求证；平面EAC平面 PBC；（）若二面角P AC E的余弦值为，求直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法； 平面与平面垂

28、直的判定； 直线与平面所成的角【分析】（I）通过证明 AC平面 PBC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC平面 PBC（ II）如图，以 C 为原点，、分别为 x 轴、 y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设P（ 0， 0， a）（a0），求出面 PAC的法向量 =（1， 1， 0），设=（x，y，z）为面 EAC的法向量，利用?= ?=0，第 17 页（共 25 页）求出=（ a， a， 2），利用向量的数量积求解，即可得到直线PA与平面 EAC所成角的正弦值【解答】 解：（I）证明： PC平面 ABCD， AC? 平面 ABCD， AC PC， AB=2， A

29、D=CD=2， AC=BC= ，222， ACBC， AC+BC =AB又 BC PC=C， AC平面 PBC，AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC?（II）解：如图，以 C 为原点，、 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0）， B（ 1， 1，0）设 P（0，0，a）（a0），则 E（，），=（ 1， 1， 0），=（ 0， 0， a），=（，），取 =（1， 1， 0），则? = ? =0， 为面 PAC的法向量设 =（x，y，z）为面 EAC的法向量，则?= ?=0，即取 x=a，y=a， z=2，则=（a， a， 2）

30、，依题意， | cos， | =，则 a=1于是=（ 1， 1， 2），=（1，1， 1）设直线 PA与平面 EAC所成角为 ，则 sin =|cos， | =，即直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值为第 18 页（共 25 页）20椭圆 C：+=1（ a b0）的上顶点为A， P（，）是椭圆 C 上的一点，以 AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点 F2（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设 F1 为椭圆 C 的左焦点，过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M 、N，记 F1MN 的内切圆的面积为S，求当 S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值【考点】 直线与椭圆的位置关

31、系；椭圆的标准方程【分析】（1）由椭圆的上顶点为A，以 AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点 F2P（，）是椭圆 C 上的一点，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（ 2）设直线 l 的方程为 x=my+，由，得，由此利用韦达定理、椭圆定义、要使内切圆面积S 最大，只需要求 F1 MN 的面积 S最大，结合已知条件能求出当S 取最大值时直线l 的方程，并能求出最大值【解答】 解：（1）椭圆 C：+=1（ a b0）的上顶点为 A，以 AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点 F2 F2（c， 0），A（ 0，b），P（），=（ c，b）?（c，）=c2+=0， P（，）是椭圆 C 上的一

32、点，第 19 页（共 25 页），解得 a=2， a2=b2+c2，解得 c= ， b= ，椭圆 C 的方程为=1（ 2）由题意直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=my+ ， A（ x1，y1），B（ x2，y2 ），由，得，y1+y2=， y1 y2=，设内切圆的半径为r， F1MN 的周长为 C，面积为 S，S=，由椭圆定义得 C=4a=8， S=4r，要使内切圆面积S 最大，只需要求 F1MN 的面积 S最大， F1MN 的面积为：S=，令 t=，t 1S=，当且仅当 t=1，即 m=0 时取等号，此时 r=2， S=r=直线 l 的方程为 x=21已知 f（ x） =a

33、sinx，g（x）=lnx，其中 a R， y=g1（x）是 y=g（x）的反函数第 20 页（共 25 页）（ 1）若 0a1，证明：函数 G（x）=f（1x）+g（ x）在区间（ 0， 1）上是增函数；（ 2）证明：sinln2；（ 3）设 F（x）=g 1（ x） mx22（x+1）+b，若对任意的 x 0，m0 有 F（x） 0 恒成立，求满足条件的最小整数 b 的值【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由题意： G（ x）=asin（ 1x）+lnx，G（x）=acos（1x），证明当 0x1，0a1 时， G（x） 0 恒成立即可证明结论

34、（ 2）当 a=1 时，G（x）=sin（1x）+lnx 在（0，1）单调增，推出 sin=sin 1 ln，然后证明即可（ 3）化简 F（x）=exmx2 2x+b20 即： F（x）min0，求出导数 F（x）=ex 2mx2，二次导数 F（x）=ex2m 判断导函数的符号，推出函数的单调性，求出最值，列出不等式， b（ 1） +x0+2，x0（ 0，ln2）恒成立，构造函数，利用函数的导数，求解最值，然后推出最小整数b 的值【解答】（1）证明：由题意： G（x）=asin（1x）+lnx， G（x）=acos（ 1x）当 0x 1， 0 a 1 时， 1， cosx1， G（x） 0 恒

35、成立，函数 G（ x） =f（1x）+g（x）在区间（ 0，1）上是增函数；（ 2）证明：由（ 1）知，当 a=1 时， G（x）=sin（ 1 x） +lnx 在（ 0， 1）单调增 sin（1x）+lnx G（1）=0， sin（ 1 x） ln （0x1） sin=sin 1 ln，sinln=ln2ln2；（ 3）解：由 F（ x） =g 1（x） mx22（x+1）+b=exmx2 2x+b 2 0第 21 页（共 25 页）即： F（x） min0 又 F（x）=ex2mx 2， F（x）=ex2m， m0则 F（x） 0， F（x），单调增，又 F（ 0） 0，F（1） 0 则必然存在 x0（ 0， 1），使得 F（ x0）=0， F（ x）在（， x0）单减，（x0，+）单增， F（ x） F（ x0）= mx022x0+b202mx02=0， m=， b（1）+x0+2，又 m0，则 x0（ 0， ln2） b（ 1） +x0+2，x0（ 0，ln2）恒成立令 m（x）=（ 1）ex+x+2，x（ 0， ln2）则 m（ x）= （ x1）ex+1，m（x） = xex0， m（x）在 x（ 0，ln2）单调递增又 m（