二面角求法大全

1、二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.db1图1aoa1cbd1c1o1

2、例1 正方体abcd-a1b1c1d1中，求二面角a-bd-c1的正切值为 .分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角c-bd-c1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知coc1是二面角c-bd-c1的平面角，且tancoc1=。将题目略作变化，二面角a1-bd-c1的余弦值为 .在图1中，a1oc1是二面角a1-bd-c1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得mafa1qpbcecbpef图2(2)图2(1)qcosa1oc1=例2(2006年江苏试题)如

3、图2(1)，在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc上的点，满足ae：eb=cf：fa=cp：bp=1：2.如图2(2)，将aef折起到a1ef的位置，使二面角a1-ef-b成直二面角，连接a1b、a1p.()与()略；()求二面角b-a1p-f的余弦值。分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取bp的中点q，连接eq，则在正三角形abc中，很容易证得beqpeqpefaef，那么在图2(2)中，有a1q=a1f.作fma1p于m，连接qh、qf，则易得a1qpa1fp，qmpfmp，所以pmq=pmf=90o，qm

4、f为二面角b-a1p-f的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得a1p=，qm=fm=，在qmf中，由余弦定理得cosqmf=。练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体p-abcd中，abcd是边长为1的菱形，且dab=60，,pb=2, e,f分别是bc,pc的中点.pabcdfgpabcdfe(1) 证明：ad 平面def; (2) 求二面角p-ad-b的余弦值.解：(2) 由（1）知为二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.a图3pbl此法最基本的一个模型

5、为：如图3，设锐二面角，过面内一点p作pa于a，作abl于b，连接pb，由三垂线定理得pbl，则pba为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的rtpab)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？图4b1aa1blef例3(2006年陕西试题)如图4，平面平面，=l，a，b，点a在直线l上的射影为a1，点b在l的射影为b1，已知ab=2，aa1=1，bb1=，求：()略；()二面角a1abb1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为ab，不

6、像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作a1eab1于ab1于e，则可证a1e平面ab1b.过e作efab交ab于f，连接a1f，则得a1fab，a1fe就是所求二面角的平面角.依次可求得ab1=b1b=，a1b=，a1e=，a1f=，则在rta1ef中，sina1fe=.与图3中的rtpab比较，这里的rta1ef就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3 垂面法p图5lcba事实上，图1中的平面coc1、图2(2)中的平面qmf、图3中的平面pab、图4中的平面a1fe都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面

7、角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点p到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.分析与略解：如图5，分别作pa于a，pb于b，则易知l平面pab，设l平面pab=c，连接pc，则lpc.分别在rtpac、rtpbc中，pc=，pa=4，pb=3，则ac=，bc=.因为p、a、c、b四点共圆，且pc为直径，设pc=2r，二面角的大小为.分别在pab、abc中，由余弦定理得ab2=ac2+bc2-2acbccos=pa2+pb2-2papbcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.4 面积法如图1，设二面

8、角c-bd-c1的大小为，则在rtcoc1中，cos，在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6，平面外的a1b1c1在内的射影是边长为1的正三角形abc，且aa1=2，bb1=3，cc1=4，求a1b1c1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在bb1、cc1取bd=ce=aa1，dam图6ecbc1a1b1hg则a1b1c1a1de，可求得a1b=，a1c1=，b1c1=，所以等腰a1b1c1的面积为，又正abc的面积为.设所求二面角的大小为，则cos=.5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与

9、单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5.1 “无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.在例5中，延长c1b1和c1a1分别交cb和ca的延长线于g、h，连gh.作cmgh于m，连c1m，c1mgh，则cmc1是所求二面角的平面角.由平几知识得cg=4，ch=2，则cgh的面积为，又cgh的面积为chcm.又由余弦定理得gh=，所以cm=2，则在rtcmc1中，cos=.在原图中，面a1b1c1与的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法.5.2 有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.图7edcbal例6 二面角-l-的大小是变量，点b、c在l上，a、d分别在面、内，且adbc，ad与面成角，若abc的面积为定值s，求bcd面积q的最大值.分析与略解