专题11分式的基本概念和基本性质

1、专题11 分式的基本概念和基本性质考点一 分式的概念【方法点拨】（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）（x+2），它只表示一种除法运

2、算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）2，y1，则为分式，因为y1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式【典例剖析】1（2018秋常德期末）在1x，3x+y，12，2xy，-x+13中，分式有（）A1个B2个C3个D4个【点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【解析】解：在1x，3x+y，12，2xy，-x+13中分式有1x，3x+y两个，故选：B2（2019秋任城区期中）下列各式中不是分式的是（）A2xx+yB12C1x2Dx3x-1【点拨】根据分式的定义对四个选项进行逐一分析即可【解析】解：A、分母中含

3、有未知数，故是分式，故本选项错误；B、分母中不含有未知数，故不是分式，故本选项正确；C、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误；D、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误故选：B3（2018秋错那县期末）在1x、13、x2+12、5+y、a+1m中分式的个数有（）A2个B3个C4个D5个【点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【解析】解：分式有在1x、a+1m共2个故选：A4（2019郓城县模拟）一组按规律排列的式子：2a，-5a2，10a3，-17a4，26a5，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）【点拨】观察

4、分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂n次幂；分子的变化为：2、5、10、17n2+1；分式符号的变化为：+、+、（1）n+1【解析】解：2a=（1）212+1a1，-5a2=（1）322+1a2，10a3=（1）432+1a3，第7个式子是50a7，第n个式子为：(-1)n+1n2+1an故答案是：50a7，(-1)n+1n2+1an5（2018秋鸡东县期末）当x时，分式2x+1x2的值为正【点拨】同号为正，异号为负分母0【解析】解：分式2x+1x2的值为正，即2x+1x20，解得x-12，因为分母不为0，所以x0故当x-12且x0时，分式2x+1x2的值为正6观察给定的分式：1x，2x2，

5、4x3，8x4，16x5，猜想并探索规律，那么第n个分式是【点拨】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是2，第n项是2n1）；再看分母，后面一项是前面一项的x倍（第一项是x，第二项是x2，第n项是xn）；据此可以找寻第n个分式的通式【解析】解：先观察分子：1、21、22、23、2n1；再观察分母：x、x1、x2、xn；所以，第n个分式2n-1xn；故答案是：2n-1xn7给定下面一列分式：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，（其中x0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式【点拨】根据题中所给的

6、式子找出规律，根据此规律找出所求式子【解析】解：（1）-x5y2x3y=-x2y；x7y3（-x5y2）=-x2y规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于-x2y；（2）由式子：x3y，-x5y2，x7y3，-x9y4，发现分母上是y1，y2，y3，故第7个式子分母上是y7，分子上是x3，x5，x7，故第7个式子是x15，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正，第7个分式应该是x15y7考点二 分式有意义、分式无意义、分式值为0【方法点拨】1分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零（2）分式无意义的条件是分母等于零（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号（4）分式的值为负数的条

7、件是分子、分母异号2分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少【典例剖析】1（2019秋伊通县期末）若分式1x-5有意义，则x的取值范围是（）Ax5Bx5Cx5Dx5【点拨】根据“分式有意义分母不为零”列式求解即可【解析】解：根据题意得，x50，解得x5故选：A2（2019秋镇原县期末）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（）A15x2B1x2+1C1x3+1Dx+2x【点拨】根据分母不为零分式有意义，可得答案【解析】解：A、x0时分式无意义，故A错误；B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；C、当x1时，分式无意义，故C错误；D、当

8、x0时，分式无意义，故D错误；故选：B3（2019秋官渡区期末）若分式x2-1x2-x的值为0则x的值为（）A1B1C1D0【点拨】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可【解析】解：分式x2-1x2-x的值为0，x2-1=0x2-x0，解得x1故选：B4（2019秋嘉祥县期末）若分式x2-4x-2的值为0，则x的值为（）A2B2C0D2【点拨】根据分式值为零条件可得x240，且x20，再解即可【解析】解：根据分式值为零条件：x240，且x20，解得：x2，故选：B5（2019秋襄州区期末）当x1时，分式x+11-x有意义【点拨】分式有意义，分母不等于零【解析】解：当分母1x

9、0，即x1时，分式x+11-x有意义故答案是：16（2019秋大冶市期末）当x为2时，分式3x-62x+1的值为0【点拨】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0【解析】解：3x60，x2，当x2时，2x+10当x2时，分式的值是0故答案为27（2019春江阴市期末）当x2时，分式x2-4x+2的值为零【点拨】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0【解析】解：由分子x240x2；而x2时，分母x+22+240，x2时分母x+20，分式没有意义所以x2故答案为：28（2019贺州）要使分式1x+1有意义，则x的取值范围是x1【点拨】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出

10、x的取值范围即可【解析】解：分式1x+1有意义，x+10，即x1故答案为：x19下列分式，当x取何值时有意义（1）2x+13x+2；（2）3+x22x-3【点拨】要使分式有意义，分母不能为0，根据此条件求得x的取值范围【解析】解：（1）要使分式有意义，则分母3x+20，解得：x-23；（2）要使分式有意义，则分母2x30，x32考点三 分式的基本性质【方法点拨】1分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变2分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题（1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的

11、系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数（2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号（3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的【典例剖析】1（2019秋太仆寺旗期末）根据分式的基本性质，分式-aa-b可变形为（）Aa-a-bB-aa+bCaa+bD-aa-b【点拨】根据分式的基本性质即可求出答案【解析】解：原式=-aa-b=ab-a，故选：D2（2019秋郯城县期末）将分式x2x+y中的x、

12、y的值同时扩大2倍，则分式的值（）A扩大2倍B缩小到原来的12C保持不变D无法确定【点拨】根据已知得出(2x)22x+2y=2x2x+y，求出后判断即可【解析】解：将分式x2x+y中的x、y的值同时扩大2倍为(2x)22x+2y=2x2x+y，即分式的值扩大2倍，故选：A3（2019秋蒙阴县期末）把分式xx2+y2（x0，y0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式值的（）A2倍B4倍C一半D不变【点拨】把分式xx2+y2（x0，y0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，就是用x变成2x，y变成2y用2x，2y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系

13、【解析】解：2x(2x)2+(2y)2=2x4x2+4y2=2x4(x2+y2)=12xx2+y2，所以分式的值将是原分式值的一半故选：C4（2018秋通川区期末）已知：x6=y4=z3（x、y、z均不为零），则x+3y3y-2z=3【点拨】本题可设x6k，y4k，z3k，将其代入分式即可【解析】解：设x6k，y4k，z3k，将其代入分式中得：x+3y3y-2z=18k6k=3故答案为35（2019春吴江区期末）已知：x4=y3=z2，则x-y+3zx=74【点拨】由x4=y3=z2，得x：y：z4：3：2，令x、y、z的值分别为4k，3k，2k，代入直接求得结果【解析】解：令x4k，y3k，

14、z2k，代入x-y+3zx=4-3+64=74故答案为：746（2019春越城区期末）已知m=x-yx把公式变形成已知m，y，求x的等式【点拨】把y与m看做已知数表示出x即可【解析】解：方程去分母得：mxxy，移项合并得：（m1）xy，解得：x=y1-m，故答案为：x=y1-m7（2018秋高淳区期末）ba=-ab()【点拨】分式的基本性质是指分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或整式，分式的值不变据此可知：分子由b变为ab是分子b乘以a得来的，故分母也得乘以a，问题可求【解析】解：由题意，分式的分母分子同时乘以一个不为0的数或式时，分式的值不变，分子乘以a，则分母也要乘以a，即ba=

15、-ab-a2故答案为：a28（杜尔伯特县期末）根据变化完成式子的变形：3x2-3xyxy-y2=3x()【点拨】根据分式的基本性质，分式有意义，则可对分子、分母先提取公因式，再化简解答【解析】解：提取公因式，得，3x2-3xyxy-y2=3x(x-y)y(x-y)，分式有意义，则y0且xy0，化简得，原式=3x；故答案为：y9（2018秋丰台区期末）小强在做分式运算与解分式方程的题目时经常出现错误，于是他在整理错题时，将这部分内容进行了梳理，如图所示：请你帮小强在图中的括号里补写出“通分”和“去分母”的依据【点拨】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式【解析】解：异分母分式通过通分，可以转化为同分母分式，依据为：分式的基本性质；分式方程通过去分母，可以转化为整式方程，依据为：等式的基本性质故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质10不改变分式的值，把下列各式的分子与分母