江苏省宿迁市2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试卷

1、宿迁市 20152016 学年度第一学期期末考试高二数学文试卷（考试时间 120 分钟，试卷满分160 分)注意事项 :1答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方2答题时，请使用0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚3请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效请保持卡面清洁，不折叠，不破损参考公式： x 1 ( x1x2xn ), S21 (x1x)2( x2 x)2( xn x)2 nn一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1命题“ x

2、 R, x210 ”的否定是2一组数据茎叶图如图所示，则它的方差为07891024（第 2题）（第3题）3如图，在边长为 3 的正方形内有一半径为1 的圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则它落在圆内的概率为4如图，是一个算法伪代码，若输入x2 ，则输出的 y 值为Read xIf x1 Then频率yx组距Else0.030yx210.025End If0.015Pr inty050 60 70 8090 100成绩（第 4题）（第 5题）5某校共有400 名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩都在50,100 内，且频率分布直方图如图所示 (成绩分组为50,60 , 60,70 , 70,80 ,

3、 80,90 , 90,100 )，则在本次竞赛中 ,得分不低于80 分的人数为 6顶点在原点，准线方程为x2 的抛物线的方程为7已知 f( x) 是函数 f ( x)x sin x 的导函数，则f( )的值为28如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是x2y21 表示双曲线的开始条件9 m 2 是方程2m1mk1(从 “充分必要 ”， “充分不必要 ”， “必要不充分 ”， “既不充分也不必要 ”S0)中选择一个正确的填写10同时掷两粒骰子 (六个面分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体 )，k k1则向上的点数之和为3 的倍数的概率为55x2y2SSk11已知 F1(1与Y,0)

4、 ， F2( ,0) 是双曲线mk 4224N椭圆 x2y21的共同焦点，点是它们的一个交点，输出 S9n结束则 PF1F2 的面积为（第 8题）12若函数f ( x )x3ax 2x 在 x (1,2) 上有极值，则实数a 的取值范围是13已知椭圆 C 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过 F2 的直线与椭圆相交于P,Q 两点，若P QPF4PF3PQ，则椭圆的离心率e1 ，且114 已知函数 f ( x)( x 1)2 ,x0,mln x,x，若函数 yf ( f ( x)m) 有五个零点，则实数0x2的取值范围是二、解答题：本大题共6 小题， 15 17 每题 14 分， 18 20

5、每题 16 分，共计90 分请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设命题 p : 实数 x 满足 ax3a ，其中 a0 ，命题 q : 实数 x 满足 x25x6 0 (1) 若 a1 且命题 pq 为真，求实数 x 的取值范围；(2) 若 q 是 p 的充分条件，求实数a 的取值范围16已知双曲线 C : x2y21(a 0, b 0) 与双曲线 x2y 21有公共顶点，且双曲a2b2169线 C 经过点 A(6, 5) (1)求双曲线 C 的方程，并写出渐近线方程；(2)若点 P 是双曲线 C 上一点，且P 到右焦点的距离为6，求 P 到左准线的距离17

6、. 为了对某校高二年级学生参加社区服务次数进行估计，随机抽取1 个容量为 M 的样本，根据样本作出了频率分布表如下：分组频频率数10,15)100.2515,20)25n20,25)mp25,3020.05合计M1(1)求出表中 m 、n 的值；(2)若该校高二学生有240 人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间20,25)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20 次的学生中任选2 人，求至多一人参加社区服务次数在区间25,30 内的概率18. 已知点 P 是函数 y 1 x2 的图象上位于第一象限内的一动点，过点P 作此函数图象的切线 l ，直线 l 与 x, y

7、 轴分别交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，设点P 的横坐标为 t ， AOB 的面积为 f (t) y(1) 求函数 f (t ) 表达式及定义域；B(2) 求 f (t) 取最小值时切线 l 的方程POAx（第 18 题）19. 已知椭圆x2y20)的左焦点F1坐标为，F2为椭圆C的右焦C： 2b2 1(a b（- 2, 0）a点，点 M(3,1) 在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 过 F2 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点，记弦PQ 中点为 N ，过 F2 作直线 l 的垂线与直线 ON 交于点 T 若直线 l 斜率为 3 ，求 PF1QF1 的值；y求证：

8、点 T 总在某定直线上PF 1xOF2Q（第 19 题）20. 已知函数 f (x) x aex , a R ( e 为自然对数的底数 )(1)若曲线 yf (x) 在 x 1 处的切线与直线y 2x 4 平行，求实数 a 的值；(2)求函数 f (x) 的单调区间；(3)若函数 f (x) 有两个零点 x1 , x2 ，且 x1x2 求证： x1 x2 2 高二数学期末考试参考答案与评分标准1xR, x21 02173 4 55 120396 y28x7 18 69必要不充分10131131112 ( 11,1)13211 ,1) (11 ,1)414 (422e2e15记命题 p : xA

9、 ，命题 q : xB1a1时， A x |1x3 ，B x | 2x32（ ）由分因为 pq 为真，所以p ， q 均为真命题，4 分则 xAB 6 分所以x 的取值范围是 （2,3）7 分（2） A(a,3 a) ， B (2,3)因为 q 是 p 的充分条件所以知集合 BA 10 分a 2则，13 分3a 3解得 1 a 2 ， 综上所述： a 的取值范围是 1,214 分16.(1) 因为双曲线 C : x2y21(a 0, b 0) 与双曲线 x2y21有公共顶点 ，a2b2169所以双曲线 C 方程为x2y21(b0) 2 分16b2将点 (6,5) 代入曲线 C 的方程得到365

10、1，解得 b24 4 分16b2x2y216 分所以双曲线 C 的方程为1，渐近线方程为 yx 1642（ 2）由（ 1）得双曲线 C 的右焦点为 (25,0) ，左准线为 x85（ | x p | 4 ）5，设 P( xP , yP )因为 P 到右焦点的距离为6所以吧吧( xP 2 5) 2yP2368分又因为 P 在双曲线 C 上，所以 xP2yP21164( x2 5)2y236PP，得 xP =454522联立方程组或 xP =（舍去）11 分xPyP15164所以点 P 到左准线的距离d45 (85 )28514 分55（若利用圆锥曲线的共同性质解答同样给分）17（ 1）由分组 1

11、0,15内的频数是10 ，频率是100.25知，0.25，M所以 M402 分因为频数之和为40 ，所以 10+25+m+240 ，得 m3 n250.625 4 分40（ 2）由（ 1）得 p10.25 0.625 0.05 0.075因为该校高二学生有240 人，分组20,25内的频率是0.075， 6 分所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为18人8 分（ 3）记 “至多一人参加社区服务次数在区间25,30) 内”为事件 A 9 分这个样本参加社区服务的次数不少于20 次的学生共有 m 25 人，设在区间 20,25) 内的人为 a1 , a2 , a3 ，在区间 25

12、,30)内的人为 b1 ,b2 此题共有如下 a1 , a2 , a1, a3, a2 , a3, a1 ,b1, a1 ,b2, a2 ,b1，a2 ,b2 a3, b1 , a3 ,b2, b1 ,b210 个基本事件11 分事件 A 只有 b1, b2 一个基本事件，19 13 分所以 P( A) 1 P(A) 110109 答：至多一人参加社区服务次数在区间25, 30) 内的概率为14 分1018 (1)由 y2x 2分得 kl2t又 P(t ,1 t 2 )直线 l 的方程为 y1 t 22t (xt ) 4 分令 x0 得 B(0, t21)令 y0 得 A( t1,0) 又0

13、t1 6 分2t所以 S AOBf (t)1 (t 21)( t1 )1 (t 32t1) ，定义域为 (0,1) 8 分222t4t（ 2） f1(3t2213t 42t 21(t)t2 )4t2 10 分4由 f(t ) 0 及 0t1 得 t312 分3又 t ( 0,3 ) 时 f(t)0 ， f (t ) 为减函数， t( 3,1) 时 f(t)0 ， f (t) 为增函数，33当 t314 分时 f (t) 取最小值3此时切线 l 方程为 y1123( x32 3 x8 16 分33) 即 y33319 (1)方法一：由条件知c2 ，则 a2b24 ，所以椭圆 C 方程为x2y21

14、， 2 分b24b2由点 (3,1) 在椭圆 C 上得311 ，解得 b22 （负值舍去）b24 b2所以椭圆 C 的方程为 x2y215 分62方法二： 2aMF1MF2(32)21(3 2)2 +1=(62)(62) =26所以 a6 ，2 分又 c2 ，得 b2a2c22 ，所以椭圆 C 的方程为 x2y21 5 分62（ 2）设点 P( x1, y1 ), Q (x2 , y2 )x2y21直线 l : y3( x 2) ，由 6218x 150 ，消去 y 得到 5x2y3( x2)此方程方法一：则0则 xx18, x x23 1251PQ1 (3) 2| x1x2 | =2(x1

15、x2 )24x1 x2 = 4 6 8 分5由 PF1PF2QF1QF24a 得 PF1QF1 4a ( PF2166 10 分QF2)5方法二：椭圆C 的左准线方程为x3则 P 到左准线距离 d1x13 ， Q 到左准线距离 d2x23 7 分PF1e 得 PF1ed1 ，同理 QF1ed2 ，8 分由d1所以 PF1QF1e(d1 d2 )c (x1 x2 6) 9 分a2 (186)16610 分655注：求出 P,Q 坐标也可，若计算错误给3 分（ 3）由条件知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 方程为 yk( x2) ，则直线 F2T 的方程为 y12)12 分(xkx2y21 ，消

16、去 y 得到 (1 3k 2 )x212k 12k20 由 6260 ，此方程yk( x2)则 x1x212k2， x1x212k 2613k 213k2所以 y1y2k( x1x2 ) 4k =k12k 24k13k24k =1+3k 26k 22k2k1所以直线ON斜率为 13k 2所以点 N(13k2,13k2 )，6k 23k13k 21所以直线 ON 方程为 yx 14 分3ky12)(x11由k得到1 x(x 2)x ，解得 x 3则 T 横坐标为定值 3yk3k3k所以点 T 恒在直线 x 3上16 分20（ 1） f (x)1 a ex2 分由条件知（ 2）由（ 1）知f (1

17、)2即 1 ae2 ，得 a1分 4ef (x)1 a ex当 a0时， f ( x)0 在 x R上恒成立，此时f ( x) 在 R 上单调增6 分当 a0时，由 f ( x)=0 解得 xln a当 xln a 时， f( x)0 ， f ( x) 单调增，当 xln a 时， f(x)0 ， f (x) 单调减8 分综上所述：当a 0时， f (x) 单调增区间为 (,) ，无单调减区间；当 a0时， f ( x) 单调增区间为 (, ln a) ,单调减区间为 ( ln a, ) 10分（ 3）由（ 2）知，若函数 f ( x) 有两个零点，则a0由条件知 x1aex1 , x2aex

18、2 ，所以 0 x1x2 可得 ln x1ln ax1 ， ln x2ln a x2 方法一：故x2x1ln x2ln x1=ln x2 x1设x2t ，则 t1，且x2tx1，ln t， x2t ln tx1x2x1解得 x1ln t,t 1t 1x1(t 1)ln t12x2t1分要证： x1x2(t1)ln tt 12 ，即证明 (t1)ln t2(t1) ，即证明 (t1)ln t2t 20 ,设 g(t)(t1)ln t2t2(t 1)14 分g ( t )l nt1，1令 h(t )g (t )(t1) ，则 h (t )11t 1 0 ，ttt 2t 2所以 h(t ) 在（1，）上单调增， g (t )h(t)h(1)0 ，所以 g(t ) 在（1，）上单调增则 g (t )g(1)0 即 t 1时， (t1)ln t2t 20 成立，所以 x1x22 16 分方法二：则 ln x1x1ln x2x2 = ln a 设 g( x)ln xxln a ，则 x1, x2 为 g( x) 的两个零点g ( x)111x