正弦定理教案全

1、精品文档1.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习引入 ：1. 在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？2.在ABC 中，角 A 、 B、 C 的正弦对边分别是a,b, c ，你能发现它们之间有什么关系吗？结论：。二、讲授新课：探究一： 在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理：sin

2、A= asinB= b sin=1即c=abcccCsin A.sin B sin C探究二： 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是，根据三角函数的定义，有CDCDa sin Bbsin A ,则ab.同理，ac（思考如何作高？），从而sin BsinCabcsin Asin Asin Asin B.sin C探究三： 你能用其他方法证明吗？1 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中CaS =111bcsin A.bOab sin Cacsin B ABC222Bc两边同除以 1abc 即得：a=b=c.AD2sin Asin Bsi

3、n Caa2证明二：（外接圆法）如图所示，A D，CD2R ，sin Asin D同理b=2R，c 2R.sin Bsin Cruuuruuuruuuruuurr3证明三：（向量法）过 A 作单位向量 j 垂直于 AC ，由 AC +CB = AB 边同乘以单位向量 j 得 .正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsinAsin Bsin C =2R 理解定理 1 公式的变形：(1) a 2R sin A, b2R sin B,c2R sin C(2) sin Aa , sin Bb , sin Cc,2R2R2R(3) a : b : c sinA : sin B

4、 : sinCabaccb(4)sin B,sin Bsin Asin AsinC sin C.精品文档2. 正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如bsin Aa；sin B已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin Aa sin B 。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3. 利用正弦定理解三角形使, 经常用到 : ABC sin( AB) sin C , cos(A B)sin C S abc1 ab sin C三、 教学例题：2例 1已知在 ABC 中， c10, A45 0 , C 300 ,求 a,

5、b和 B .分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两角一边解： c10, A450,C300 B1800(AC )1050由acacsin A10 sin 45010 2sin C 得sin Csin 30 0sin A由bc得bcsin B10 sin105020 sin 75056 52sin Bsin Csin Csin 30 0评述： 此类问题结果为唯一解， 学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和 180求出第三角，再利用正弦定理 .例 2ABC 中， c6 , A450 , a 2,求 b和 B, C解：ac,sin Cc sin A6sin 4

6、503sin Asin Ca220C180 ,C600 或1200当 C60 0时， B750 ,bc sin B6 sin 75031，sin Csin 600当 C1200时， B15 0 , bcsin B6 sin 15031sin Csin 60 0b31, B750,C60 0 或 b3 1,B150 ,C1200练习： P4 1.2题例 3 在ABC 中， b3, B60 0 , c1, 求a和 A,C.精品文档解：bcc sin B 1sin 6001,sin C32sin B sin Cbbc, B600 ,CB,C为锐角， C300, B900 ab2c22【变式】ABC中

7、， a2, A 1350 ,b3,求B四、 小结：五、课后作业1 在 ABC中，abck , 则k 为( 2A )sin Asin Bsin CD 1A2RBRC4RR ( R 为 ABC外接圆半径 )22 在ABC 中，已知角 B 45， c 22, b4 3，则角 A的值是3A. 15B. 75C. 105D.75 或153、 在 ABC中, 若A30 ,B60 ,则 a : b : c1: 3:24、在 ABC 中，若 B60 ， b 76, a14 ，则 A=。5、 在 ABC中， AB6,A 30 ,B120, 则三角形 ABC的面积为 9 35、在ABC 中，已知 a3, b2,

8、B45 ，解三角形。六、心得反思.精品文档1.1.1 正弦定理学案学习目标：发现并掌握正弦定理及其证明方法；会用正弦定理解决三角形中的简单问题。预习自测1.正弦定理的数学表达式2.一般地 , 把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.3利用正弦定理可以解决两类三角形的问题(1)(2)问题引入：1、在任意三角形行中有大边对大角， 小边对小角的边角关系 . 是否可以把边、 角关系准确量化？2、在ABC 中，角 A 、B、C 的正弦对边分别是a, b, c ，你能发现它们之间有什么关系吗？结论：。二 合作探究：1、探究一： 在直角三角形中，

9、你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？2、探究二： 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）3、探究三： 你能用其他方法证明吗？4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：.精品文档三例题讲解例 1 已知在ABC 中， c10, A45 0 , C300 ,求 a, b和 B例 2ABC 中， c6 , A450 , a2,求 b和 B, C例 3 在ABC 中， b3, B60 0 , c1, 求a和 A,C【变式】ABC中， a2, A1350 , b3, 求 B思考： 通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？四课堂练习： 必修 5 课本 P4T1、

10、2五课后作业：1 在 ABC中，abck , 则 k 为()sin Asin Bsin CD 1 R ( R 为 ABC外接圆半径 )A2RBRC4R22 ABC中， sin 2 A = sin2B +sin 2C，则 ABC为()A直角三角形B 等腰直角三角形C等边三角形 D 等腰三角形3 在ABC 中，已知角 B45 ， c2 2,b4 3，则角 A的值是3A. 15B. 75C.105D. 75 或15、在ABC中，若 B60， b7 6, a14，则 A=。45ABC中，已知a3, b2, B45，解三角形。、在六 心得反思.精品文档112 解三角形的进一步讨论教学目标掌握在已知三角形

11、的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。教学过程. 课题导入 创设情景 思考：在ABC中，已知 a22cm， b25cm， A1330 ，解三角形。（由学生阅读课本第9 页解答过程）从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 . 讲授新课 探索研究 探究一 在ABC中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况分析：先由 sin Bbsin AB；

12、可进一步求出a则 C 1800 (A B)，从而 casin Csin A1当 A 为钝角或直角时，必须 ab 才能有且只有一解；否则无解。2当 A 为锐角时，如果a b ，那么只有一解；3. 如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（ 1）若 a bsin A，则有两解；（ 2）若 a bsin A，则只有一解；（ 3）若 a b sin A，则无解。（以上解答过程详见课本第9: 10 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin Aab 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？.精品文档三

13、例题讲解例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a 20， b 28， A 120 .无解(2) a 28， b 20，A 45；一解(3) c 54， b 39， C 115；一解(4) b 11， a 20， B 30；两解 随堂练习 1（1）在ABC中，已知 a80， b 100，A 450 ，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若 a1， c1 ， C400 ，则符合题意的 b 的值有 _个。2（3）在ABC中，a xcm，b 2cmB450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，x 的取值范围。（答案：（ 1）有两解；（ 2） 0；（3） 2 x2 2 ）例 2.在A

14、BC 中 ,已知abc, 判断ABC 的形状cos Acos BcosCa解：令k sin A ， bk sin B ， c k sin C 代入已知条件，k ，由正弦定理， 得 asin A得 sin Asin Bsin C，即 tan Atan B tanC 又 A ， B ， C(0, ) ，所以cos Acos BcosCA B C ，从而 ABC 为正三角形说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、

15、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断 随堂练习21. ABC中，sin 2 Asin 2 B sin 2 C ，则 ABC为（ A）A. 直角三角形B.等腰直角三角形C. 等边三角形D.等腰三角形2. 已知 ABC满足条件 acosA bcos B ，判断 ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形 . 课时小结（ 1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（ 2）三角形各种类型的判定方法； .课后作业1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1 )、 a14 , b16,A45 ( 2 ) 、 a12 , c15,A12

16、0( 3 ) 、 a8 , b16,A30 ( 4 )、 b18 , c20,B60.精品文档2 在 ABC 中， a= 15,b= 10,A=60，则 cosB=A2 2B22C6 D633333 已知 a,b,c分别是 ABC 的三个内角 A,B,C所对的边，若a= 1,b= 3 , A+C =2B, 则sinC=.4 根据条件解三角形：（ ）10, A45 ,C30 ,求边a , b .1 c(2) A30 ,B120 , b12 , 求边 a , c.( 3 ) a16 , b 16 3 , A30 , 求角 B ， C 和边 c .( 4 ) b13 , a26,B30, 解这个三角

17、形。（ ）40 , c20 ,C45 ,解这个三角形5 b，60，求a , A，C。( 6 ) c 1 b3 B六心得反思.精品文档1.1.2解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1. 掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；2. 三角形各种形状的判断方法；【学习重难点】 1. 已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。一、情景问题：我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：在 ABC 中，已知 a 22cm, b 25cm, A 133，解三角形。二、探索研究：探究一 在 ABC中，已知 a,b,A ，讨论三角形解

18、的情况结论：探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a 20， b 28， A 120 .无解(2) a 28， b 20，A 45；一解(3) c 54， b 39， C 115；一解(4) b 11， a 20， B 30；两解 变式练习1（1）在ABC中，已知 a80， b100，A450 ，试判断此三角形的解的情况。.精品文档（2）在ABC中，若 a1， c1 ， C400 ，则符合题意的 b 的值有 _个。2（3）在ABC中，axcm，b2cmB 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求，x 的取值范围。例 2.在ABC 中 ,已知abc, 判断ABC 的形状cos Acos BcosC 变式练习21. ABC中，sin 2 Asin 2 B sin 2 C ，则 ABC为（）A. 直角三角形B.等腰直角三角形C. 等边三角形D.等腰三角形2. 已知ABC 满足条件 acosAb cosB ，判断ABC 的类型。四 .尝试小结五. 课后作业1. 根据下列条件，判断解三角形的情况(1)、 a14 , b 16 , A45( 2)、 a12 , c15, A120( 3)、 a8, b 16 , A30( 4)、 b18 , c20, B602在ABC中， a= 15,b=