(2021年整理)数项级数及其收敛性

1、数项级数及其收敛性数项级数及其收敛性 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（数项级数及其收敛性）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为数项级数及其收敛性的全部内容。数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想,而无穷级数的真正发

2、展是从微积分诞生开始的。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零)的等比级数可求出和数；阿基米德在抛物线图形求积法一书中,使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数的和；关于无穷级数,数学史上有个著名的芝诺悖论.”两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点,又必须先经过路程的四分之一点;要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推,以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的.庄子亦说一尺之棰，日取其半，万世不竭。但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。要解决这个悖论,需要引进极限方法。研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另

3、一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用。一、级数基本概念定义1 设给定一个数列,则表达式称为无穷级数,简称级数，记作，即，其中称为级数的第项,也称一般项或通项，如果是常数，则级数称为常数项级数，如果是函数,则级数称为函数项级数 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列: ，各项的和;另外，无限循环小数也是无穷级数，比如:，所以有显然，越大，这个近似值就越接近，根据极限的概念可知，也就是说由以上两个实例可以得到两个重要结论:结

4、论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数。2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和。 无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相加的形式在什么条件下有“和”，这种“和”的确切意义是什么？如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域以及级数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷级数，如函数的幂级数展开式。无穷级数是无穷多个数累加的结果，虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上却与过去熟悉的有限项的和完全不同，从有限到无限,发生了质的变化。实例的方法告诉我们,可以先求有限项的和,然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题然而有限个数相加的和

5、一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解答我们引入部分和概念:把级数的前项之和 (2)称为该级数的前项部分和,记为，即.当依次取时,它们构成一个新的数列：称此数列为级数的前项部分和数列。根据前项部分和数列是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。定义2 当无限增大时,如果级数的前项部分和数列有极限,即则称级数收敛，这时极限称为级数的和，并记为如果前项部分和数列 没有极限,则称级数发散.当级数收敛于时，则其前项部分和是级数的和的近似值,它们的差称为级数的余项。显然，而是用近似代替所产生的误差。注：(1）由级数定义,级数与其前项部分和数列同时收敛或同时发散，且收敛时=。（2）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”。在数项级数中，应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）例1 试讨论等比级数的收敛性 解 根据等比数列前项的求和公式可知,当时，所给级数的部分和于是，当时，由定义2知，该等比级数收敛,其和，即当时,所以这时该等比级数发散当时，（当），因此该等比级数发散当时,部分和数列不存在极限，故该等比级数发散综上所述可知：等比级数，当公比时收敛；当公比时发散例2 判别无穷级数 的敛散性。解：由于un=因此