向量法在立体几何中的应用

1、向量法在立体几何中的应用宝泉岭高级中学 李鹏近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,不用作图而直接计算。下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题时得到的一些方法进行归类和梳理。一、用向量法处理空间角问题图11、用向量求两条异面直线所成的角BCDPA图2 求异面直线所成的角，我们只需要分别在直线上取定方向向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图

2、1所示），即 。BCDPAxyz图3【例题】如图2，底面为直角梯形，面，为的中点。求异面直线与所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系，则有得，设异面直线与所成角的大小为，则，即异面直线与所成角的大小为。BCDPA图5利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。题中通过值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。2、用向量求直线与平面所成的角LCP图4如图4，求直线L和平面 所成的角，只需在上取定，是平面的法向量，再求，则为所求的角. 【例题】如图5，底面为直角梯形，面，为的中点，求直线与面所成角的大小

3、；BCDPAxyz图6解：如图6，建立空间直角坐标系，则有，故设面的一个法向量为，则有令得，即， 设直线与面所成角的大小为，故，即直线与面所成角的大小为。在本例题中由线面角的范围为，又直线的方向向量与法向量所成角的范围，故线面角，得直线与面所成角图73、用向量求二面角的大小如图7，求平面和的二面角的平面角的大小，设分别为二面角的两个半平面的法向量，二面角的大小转化为两个法向量的夹角或它的补角；可由求得值，再观察二面角，若是锐二面角则二面角大小，若二面角为钝二面角则二面角大小。而在几何法中，求二面角的平面角的大小，首先得找出平面角是哪个，这是比较困难的事情。BCDPA图8【例题】如图8，底面为直

4、角梯形，面，为的中点，求面与面所成二面角的大小。BCDPAxyz图9解：如图9，建立空间直角坐标系则有设面的一个法向量为，则有,令得，即，又面的一个法向量为 ，故， 所以，显然二面角为钝二面角，即面与面所成二面角的大小为.在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。二、用向量法处理空间距离问题1、求两点之间的距离ABCDQPA1B1C1D1yxz图10用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距

5、离.例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是AD1的中点，Q是BD上一点，DQ=DB，求P、Q两点间的距离.解 如图1，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，PQOa图11所以.故,即P、Q两点的距离为.2、求点到直线之间的距离如图11，P为直线a外一点，Q为a上任意一点，POa于点O，所以点P到直线a的距离为|PO|=d.则有，所以， ABCOA1B1C1O1yxz图12例2 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2.求点O1到直线AC的距离.解 ：如图12，建立空间直角坐标系O-xyz，连结AO1，则A(2，0，

6、0)，C(0，3，0)，O1(0，0，2).所以.故ABd图13所以点O1到直线AC的距离为.3、求点到平面的距离如图13,设A是平面外一点，AB是平面的一条斜线，交平面于点B，而是平面的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A到平面的距离d，所以.FECMNABD图14例3 如图14，已知正方形ABCD和矩形ACEFCMNAByEDxz图15F所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，N为AC与BD的交点，求点B到平面CMN的距离.解 ： 如图15，建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=，AF=1，所以，设平面CMN的法向量为，则有 即，令x=1,得y=-1，z=0，所以.

7、所以点B到平面CMN的距离.4、求异面直线间的距离ABCDA1B1C1D1yxz图17aabEFA图16如图16，假设a、b是异面直线，平移直线a至a且交b于点A，那么直线a和b确定平面，且直线a，设,，即为异面直线a、b的公垂线的方向向量.所以异面直线a的b的距离等于直线a上任意一点至平面的距离.若Fa，Eb，则异面直线a、b之间的距离，即为异面直线a、b之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离.解：如图17所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则有.设的公垂线的方向向量为，则，即令x=1,得y=1，z=-1，所以. 又，所以A1C1与

8、B1C的距离.5、求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用求它们之间的距离.ABCDA1B1C1D1yxz图18EFMN例5 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1 C1D1的中点.求平行平面AMN与平面EFDB的距离.解 ：如图18，建立空间直角坐标系C-xyz，则.设平面EFDB的法向量为，则有即，取,则，所以，所以平行平面AMN与平面EFDB的距离.通过总结可以发现：用空间向量处理这类问题最大特色，可以将严格几何演绎推理转化为简单代数推理方式，大大缩短了教与学所花费的时间，同时也让同学通过更高的数学思维方式，抓住了事物的主要特征和内在规律