四年级数学之幻方和数阵

1、第六讲幻方和数阵知识要点与学法指导：传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河”里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书。书上有一幅奇特的这幅图用现在的数字表示，即为19这九个数字,填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是”15（见上右图）。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图，国外称1幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这个数字方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236数阵图就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上

2、，这种图形，我们称之为数阵图。由于它既有数字之间的运算，又要结合图形，因此对开发学生综合思考和形象思维很有益处。数阵图的种类很多，这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。例1把1、2、3、4、5、6填在图中，使每条边上的三个数之和都等于9。2【分析与解】同学们，首先用你敏锐的眼光观察一下，三角形三个顶点的数在求和时各使用了几次呢？如图（2）所示，很容易看出，位于三角形顶点的三个数a，b，c各被使用了两次。因此三条边上的总和表示为：123456abc27

3、又因为12345621，与总和相差27216，也就是说abc6，所以三个顶点应选作1，2，3，其他数字也就可以依次填入空位了如图（3）所示。，通过例1我们不难发现，填数的过程是有规律的。我们首先需要找到关键数（即在数阵中重复使用的数字）然后通过总和找到关键数的和，并以此确定关键数。关键数找到了，就可以根据每边的数字和将其他数字填写完整。聪明的同学们，这个方法你掌握了吗？试一试1把1，2，3，4，5，6这6个数，分别填在图中三角形三条边的六个圆圈中。（1）使每条边上的三个数之和等于10；（2）使每条边上的三个数之和等于11；（3）使每条边上的三个数之和等于12。3例2把110十个数填入下图中的小

4、圆中，使每个大圆上六个数的和是30。【分析与解】每个大圆上都有六个数，由于中间两个小圆内的数是公用的，我们设这两个数为a和b。根据题意可知：12310ab的和除以2是30，即ab5。在110中，只有14和23的和是5，因此，当a、b分别是1和4时，另外四个数的和是30525，应该是2，6，8，9和3，5，7，10；当a、b分别是2和3时，另外四个数应该是1，5，9，10和4，6，7，8。试一试2将18八个数分别填入下图的里，使每个大圆上五个内的数的和都是22。例3将19九个数字填在右图内九个方格里,每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。【分析与解】因为三个横行或三个

5、纵行数字总和是1238945，所以，每一横行或每一纵行三个数字之和等于45315。419九个数字中，其中三个不同的数字相加等于15，共有八种：951，942，861，852，843，762，753，654。图中每一横行、每一纵行和每条对角线的三个数必须是八个算式中的某三个加数。中心数有4条线经过，要求此数在四个算式中出现，必定是5。而2，4，6，8各出现在三个算式中，所以这四个数应填在四个角上。这样每一格应填哪一个数字就可以确定了。可以排出下列八种不同的填法，即八个三阶幻方：92有一种简便易行的编排幻方的方法罗伯法。概括如下：小数上行正中央，依次右上切莫忘；上出框时最下填，右出框时最左放；排重

6、便在下格填，右上排重一个样。右上无法再填时，紧挨该数填下方。221113322(1)(2)(3)51342(4)1354(5)627916881683573574492(6)(7)试一试3（1）用1119这9个数字构制一个三阶幻方。（2）用1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个奇数构制一个三阶幻方。例4把116这16个数分别填入右上图中的16个方格内，使横行、竖行、两条对角线上的四个数的和都相等。【分析与解】这道题我们可以采用“对称交换”的方法进行编排。（1）将116分别填在这四阶幻方的小格内下图（a），这时两条对角线上四个数的和都是34，而其他横行、竖行四个数的和都不等于34。（2

7、）两条对角线上的数不动，仍做四阶幻方的两条对角线。一、四竖行与二、三竖行中的其他数对称交换下图（b）。（3）再将一、四与二、三横行非对角线上的数对称交换，即制成了一个四阶幻方前图（c）试一试4把520这16个数分别填入右图的16个方6（试一试4图）格内，使横、竖、斜行上的四个数的和都相等。练习六1.将49这6个数填在下面的空格里，使每条线段的三个数的和都是18。（1题图）2.将49这6个数填在下面的空格里，使每条线段的三个数的和都是21。（2题图）3把510这六个数分别填入图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内数的和都是24。7（3题图）4.将19填入图中，使三角形每条边上的四个数

8、之和都等于17。5.把110这十个数分别填入下面图的内，使每个大圆上五个数的和是36。（5题图）6把110这十个数分别填入下图中的内，使每个大圆圈上五个数的和是33。（6题图）7把18这八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于21。8（7题图）8.将18八个数分别填入下图中，使每条边上三个数的和等于12。（8题图）9.把3，4，5，6，7，8，9，10，11九个数填入下面图（1）的空格内，使每一行、每一列和两条对角线上的数的和都相等。（9题图）10.把419这十六个数填入下面图（2）的空格内，使每一行、每一列和两条对角线上的数的和都相等。（10题图）11用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个偶数编别一个三阶幻方。912把412这九个数填入下图中的空格内，使每一行、每一列和每条对角线上的数