圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（Xi,yj，（x2,y2），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。2 2如：（1）笃爲=1（a b 0）与直线相交于 A、B,设弦AB中点为M（Xo,yo），则有a bXo汁0。(2)2X2a= 1（a0,b0）与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M（Xo,yo）则有Xoayob2k =o2（3）y =2px（ po）与直线I相交于A、B设弦AB中点为M（xo,yo）,则有2yok=2p,即 yok=p.2典

2、型例题给定双曲线X2 -亍=1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点R 及F2，求线段F1 P2的中点F的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。2 2典型例题 设P（X,y）为椭圆 务占=1上任一点，F1（-c,o），F2（c,o）为焦点，a bPF1F2 =、，PF2 F ：。（1）求证离心率33(2)求 |PF1| PF2I 的最值。(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形

3、的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y? =p(x 1) (p 0)，直线x y =t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为 A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于 a的不

4、等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB| 0)

5、求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。(6) 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)X y2典型例题已知椭圆 C的方程1，试确定 m的取值范围，使得对于直线43y =4x - m，椭圆C上有不同两点关于直线对称(7) 两线段垂直问题y1 y2圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用ki k212二-1来处理或用向量的坐标x1 x2运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k ,且过点P(-2,0),抛物线C:y2 = 4(x T)，直线丨与抛物线C有两个不

6、同的交点(如图)。(1) 求k的取值范围；(2) 直线丨的倾斜角二为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。二、解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。2 2典型例题 设直线3x 4y m = 0与圆x y x-2y = 0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若 OP_OQ，求m的值。

7、（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点 O,焦点在y轴上的椭圆与直线 y=x 1相交于P、Q两点，且 OP_OQ，|PQ| =102求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆C1:x2 y2- 4x 2y二0和C2:x2 y2- 2y - 4 = 0的交点，且圆心在直线 丨：2x 4y -1 =0上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相

8、关的求最值的问题.这 也是我们常说的三角代换法。x2 y2一典型例题P为椭圆二 2 =1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a b边形OAPB面积的最大值及此时点 P的坐标。(5) 线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 y=kx b代入圆锥2方程的两根设为 Xa , Xb，判别式为,若直接用结论，能减少配方、开方等运算曲线方程中，得到型如 ax bx 0的方程,则 |AB|= ：；1 k2 |xA -xB|=k2 -,|a|过程。例 求直线x 一 y T = 0被椭圆x2 4y2-16所截得的线段 AB的

9、长。结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时， 的定义，可回避复杂运算。由于圆锥曲线的定义都涉及焦点， 结合图形运用圆锥曲线x2例F1、F2是椭圆 252y =1的两个焦点，AB是经过F,的弦，若|AB|=8，求值9IF2AI |F2B|禾U用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A (3, 2)为定点，点F是抛物线y2二4x的焦点，点P在抛物线y2 = 4X上移动，若|PA|PF|取得最小值，求点 P的坐标。三、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2 )与直线相关的

10、重要内容倾斜角与斜率 k二tan ：，用三0,二)Ax0 + By0 +C夹角公式： tana k? kiJA2 +B21 +k2k1点到直线的距离d二(3 )弦长公式直线y二kx b上两点A(xyj, B(x2, y2)间的距离:AB八1 k2X _x2yi 7=+k2)(X +X2)2 4XX2】 或 AB =(4)两条直线的位置关系 li 12ukik2 =-i 11 /12 =ki=k2且b =b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：2 2x y1(m0, n 0且 m = n)m n距离式方程:(x c)2 寸、(X _C)2 y2 = 2a参

11、数方程：x 二 acosp y 二bsin -(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：2 2x y1(m n : 0)m n距离式方程:| i(x c)2 y2 -c)2 y2 |=2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：竺；双曲线：竺；抛物线：2p(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?2 2如：已知F1 F2是椭圆 才 y =1的两个焦点，平面内一个动点 M满足MF1 -MF2 =2则动点M的轨迹是(A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线、2 日 焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S.号pf2二b2ta2 日 P在双曲线上时，S FP =b cot：.FiPF22

12、2 2| pf | +1 pf |4c (其中.F1PF2 - ,cos12,PF1 PF2 =|PF1 IIPF2 Icosr)IPF1HPF2I记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a _ex);焦点在y轴上时为a _ ey0，可简记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x|_a、抛物线焦点在x轴上时为1x11 2,焦点在y轴上时为1川2椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2 2设A X1, y1 、B x2,y2 ， M a,b为椭圆- y 1的弦AB中点则有432 2 2 2x1， y = 1 ；两式相减得4343X2?43

13、X1 - X2 X1X24y1 一 y2 yy? _ . _Kab =33a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式厶-0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到 0两个式子，然后 -，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 y =

14、 kx b，就意味着k存在。例1、已知三角形 ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 5y2 =80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1 ）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；（2）若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB丄AC ,从而得X1X2 yiy2 -14（yi y2） 10，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；2222X1V1X2V2解：（1）设 B （ X1,yj ,c（X2,y2 ）,BC 中

15、点为（X0,y）,F（2,0测有一-1,一-120162016两式作差有(X1X2)(X1-X2)(y1 -y2)(y1 y2)=0X0.y0k=0(1)201654Xt + x2Vi 十 + 4F(2,0)为三角形重心，所以由- =2，得x0 = 3，由一 -0得y0 = -2，代3 3入(1)得k二65直线BC的方程为6x -5y -28 =02)由 AB 丄AC 得 x1x2 y1y2 14(y1 y2) 10(2)设 直 线 BC 方 程 为 y = kx b,代入4x2 5y2 = 80, 得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 -80 =0X1X2-10kb4 5k2x1x25b

16、2 -804 5k2Y1y2 二8k-4 5k2 24b -80k-4 5k代入（-）式得29b -32b -1624 5k2解得直线过定点(0,一4)，设 D(x,y),则9y-4一1，即 9y2 9x2-32y-16 = 02 16 2 20 2 所以所求点D的轨迹方程是x (y )=()(y=4)。994、设而不求法 例2、如图，已知梯形 ABCD中AB =2CD，点E分有向线段 AC所成的比为 丸，2 3双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率 e的取3 4值范围。力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设C討，代分析：本小题主要考查坐标法

17、、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得2 2 2 2 入笃与=1，求得h =，进而求得xE=yE=再代入22-1，建立目标a ba b函数f (a,b, c, ) =0，整理f (e, ) =0，此运算量可见是难上加难我们对h可采取设而不求的解题策略，建立目标函数f (a, b,c, ) = 0 ,整理f (ej ) = 0，化繁为简解法一：如图，以 AB为垂直平分线为 y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系 xOy ,则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记 A：一c,0 , C

18、| ,h , E X0,y ,其中c+J （扎-2c-肪2 2设双曲线的方程为J”1，则离心率吒1c| AB|为双曲线的半X。1 2.亠 1 ， y0 1 由点C、E在双曲线上，将点 C、E的坐标和e = c代入双曲线方程得ae2W=1由式得b2将式代入式，整理得24 4 ：；启12，,4故23e2 +1由题设2乞-3得，2叮233343e2 +24解得乞 e 、 10所以双曲线的离心率的取值范围为I、7, J0 1回避h分析：考虑AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，AE , AC用E,C的横坐标表示,的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，AE =(a+exE ), AC

19、=a+ex：,-c C XE”（九 _2 ）c一 2 1AEAC代入整理=i3e2 1由题设e2 2解得所以双曲线的离心率的取值范围为b,d05、判别式法时，双曲例3已知双曲线C ：丄一疋直线丨过点A 2,0，斜率为k，当0 ： k ： 12 2线的上支上有且仅有一点 B到直线丨的距离为.2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与丨平行的直线，必与双曲线C相切而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式抡-0.由此出发，可设计如下解题思路：丨：y亍k（x

20、臣）（Ock刁直线I在丨的上方且到直线丨的距离为J2丨 y NX 7山把直线亍的方程代入双曲线方程，消去 y,令判别式心=0解得k的值解题过程略分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点b到直线i的距离为42”，相当于化归的方程有唯一解 .据此设计出如下解题思路:问题c关于x的方程-kx _J2 +x2 _V2k_-=42(o k x kx，从而有kx_J2 +x2 _72k二-kx 2 x22 k.于是关于x的方程”-kx .、2 x2. 2k = . 2(k21)2 x2 彳=(.2(k21) - . 2k kx)2,2(k21) - 2k kx 0

21、- _ _ 2* _1x2+2k(. 2(k+1)_V2kx +Q 2(k+1)_屁k) _2=0,J2(k2 +1)+kx a0.由0 k : 1可知:| | 2方程 k2 -1 x2 2k 2(k2 1) - . 2k x . 2(k2 1) - 2k -2=0 的二根同正，故 2(k2 T) -、2k kx 0恒成立，于是-等价于2_2 二 0.不难得到x =4Xa Xb) -2xaXb，要建立 x8-(Xa +xb)k2 -1 x2 2k . 2(k21) - 一 2k x . 2(k21) - 一 2k2( 5由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式 厶=0,就可解得 k.5点评：上述

22、解法紧扣解题目标， 不断进行问题转换， 充分体现了全局观念与整体思维的优越性例4已知椭圆C：x2 +2y2 =8和点P( 4，1)，过P作直线交椭圆于 A、B两点，在线AP AQ段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程PB QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰， 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为 参数，如何将x, y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB

23、上；另一方面就是运用题目条 件：詈工-QB来转化由 A、B、P、Q四点共线,PB QB与k的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程，禾U用韦达定理即可通过这样的分析， 可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到x二f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 X, y的方程(不含 k)，则可由y = k(x-4)+1解得，直接代入x=f(k)即可得到轨x 4迹方程。从而简化消去参的过程。xX2 - x简解：设Axi,yi ,B(X2, y2),Q(x, y)，则由竺二一空可得：上西PB QBX2 4解之得：x-他x28区 +

24、X2)(1)设直线AB的方程为：y = k(x -4) 1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于X的一元二次方程:2k21 x2 4k(1 -4k)x 2(1 -4k)2 - 8 = 0(2)4k(4k -1).Xl +X2 =二,.2k +12(1 -4k)2 -8XX2 =2 .2k +1代入(1),化简得：43.k +2与 y = k(x - 4) 1 联立，消去 k 得：2x y -4 (x - 4) = 0.在（2中，由J64k264k24。解得斗k，结合（3）可求得16_210 16 2 10x .、故知点 Q 的轨迹方程为：2x y - 4 = 0（ 16 一2 10 x ”16 2

25、 10）.99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、 韦达定理模块思维易于想到 .这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道2y1顺次交于A、B两点，试求4AP的取PB6、求根公式法2x 例5设直线l过点P（0，3），和椭圆9分析：本题中，绝大多数同学不难得到:竺=，但从此后却一筹莫展，问题的根PB xb源在于对题目的整体把握不够 .事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其 二则是构造关于所

26、求量的一个不等关系分析1：从第一条想法入手,鴛=-彳 已经是一个关系式，但由于有两个变量PBXbXa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量一一直线 AB的斜率k.问题就转化为如何将 xA ,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出所求量的取值范围简解1当直线丨垂直于x轴时，可求得APPB当丨与x轴不垂直时，设 A x1, y1 , B(x2, y2)，直线丨的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k2 4x2 54kx 45 = 0解之得X1,2-27k 6 ,9k2 -59k24因为椭

27、圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 k - 0的情形.当k 0时,-27k 6 9k2 -59k24.227k6、：9k -5 x?29k 4所以APXi2-9k 2.9k -518kPBX29k 2.9k2 -5=1 = 19k 2 9k2 - 518= (-54k)25 -1809k24 _ 0,解得 k2 .9所以18_1 乞1 9 29一.综上-仁空一 1PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应

28、用韦达定理，原 因在于 空=-生不是关于X1,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有PBx2了，即我们可以构造关于 x1,x2的对称关系式关于所求量的不等式简解2：设直线丨的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消去 y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0（ *）-54k29k 4x1 x2459k24令鱼二，则,X2324k2245k205在（*）中，由判别式 厶一0,可得k292从而有4 一兰世 36，所以45k +205:3651结合0 ： 汨得1 .5综上,-1 0,解得-2 ： m ： 2,且 m = 0(川)设直线MA、MB的斜率分别为k, k2,只需证明k

29、,+k2=0即可2设 A(xi, y,), B(x2, y2),且x, x2 =-2m,XiX2 = 2m - 4y2 -1x2 -2由 x2 2mx 2m -4=0可得2x1 x2 -2m,x1x2 =2m4而 k1 k2* _1y2 _1X1 - - 2X2 2(屮 -1) -区 -2) (y 1)(X1 -2)(X1 - 2)(x2 - 2)1 1(刁人 m - 1)(X2 - 2)(产2 5-1)(人 -2) =(为-2)(X2 -2)x1x2 (m 2)(x1 x2) -4(m -1)- % -2)区 -2)2_ 2m4 (m2)(-2m)4(m1)- (x2)(X2-2)222m

30、-4-2m4m-4m 40% -2)(X2 -2)ki k2 = 0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线 MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形二k1 k 0例10已知双曲线e = 2 3，过A(a,0), B(0,-b)的直线到原点的距3离是仝(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y =kx，5(k =0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆 上，求k的值.思维流程:2皿 原点到直线 AB : 彳_丄=1的距离，bab故所求双曲线方程为(2 )把 y = kX - 5 代入 x2 2-3y=3 中消去 y,整理得(1-3k2)x2 -30kx-78 = 0

31、.设 C(Xi,yJD(X2,y2),CD 的中点是 E(xo,y。)，则X1X215 k1_3ky0*5.3k2_ 1XoXo kyo k = 0,15k 丄 5k , 2 r即2 k = 0,又 k = 0,k=71 - 3k 21 - 3k 2故所求k= . 7 .点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上BC=BD = BE丄CD;例11已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I) 求椭圆C的标准方程；(II) 若直线l :y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点.求证：直线I过定点

32、，并求出该定点的坐标.思维流程：2 2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为弓 专-1(a b 0),a b由已知得：a c = 3, a -c =1,3=2, c 二 1,.b2 =a2 -c2 二3椭圆的标准方程为2 2二1(II )设 A(x“ yj, B(X2, y?).联立y = kx m,2 2x y 1.43得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m2 -3) =0，则 =64m2k2 _16(3 +4k2)(m2 J) 0,即 3 +4k2 _m2 0,XiX2X1X28mk23 4k24(m-3)3 4k2 .22又 y1 y2 =(心 m)(kx2 m) = k x-|X2 mk(m x2) m3(m2 _4k2)3 4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD 工-