圆心角与圆周角

1、圆心角与圆周角【知识要点】一、弧、弦、圆心角的关系1. 弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量分别相等.【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧 相等，优弧与优弧相等。【补充】“圆心角、弧、弦和弦的弦心距”四组量中，有一组量对应相等，其他的三组量也对应相等，换言之为“四有一推三”，但当用到“弦心距”时，需要用全等先证明再用。二、圆周角定理1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条

2、弧所对的圆心角的一半. 【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。2. 圆周角定理的推论(1) 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况。一般 情况下不相等(2) 推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.【注意】“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一 前提条件，结论不成立。(3) 推论3：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.【注意】一般情况下，当条件中有直径时，往往做出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形。【例题】【

3、例1】一条弦把圆周角分成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，求这条弦所对的圆周角的度数。【例2】 如图，O O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且0P二PC，试猜想弧AD与弧BC之间的 关系，并证明你的猜想.BD【例3】 如图，弧AB是半圆，0为AB中点，C、D两点在弧AB上，且AD/ 0C,连接BC BD.若.CBD =31，则.ABD的度数为何？（）A . 28B . 29C. 30D . 31【例4】 已知：如图，MN是 0的直径，点A是半圆上一个三等分点,点b是弧AN的中点，p是MN上一动点，0 0的半径为1，贝U PA：-PB的最小值是【例5】 ABC中，/A -70 ，0O截厶AB

4、C的三边所截得的弦都相等，则 N BOC =【例6】如图所示，在0 0中,AB= 2CD，那么（）A.AB 2CDB.C.AB =2CDD.AB ：:2CDAB与2CD的大小关系不能确定【例7】PB PC ABC内接于0C如图，PD,当BD的长度为多少时， PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明.O, AB=8, AC=4, D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、【例8】 如图，已知AB是半圆0的直径，C为半圆周上一点，M是弧AC的中点，MN _AB于N , 试判断MN与AC的数量关系并证明.题型二：圆周角定理【例9】 如图， ACD和厶ABE都内接于同一个圆， / ADC+

5、Z AEB+Z BAC=【例10】 在OO中，直径AB丄CD于点E,连接CO并延长交AD于点F，且CF丄AD .则Z D=【例11】 如图，点A、B、C、D在O 0上，0点在Z D的内部，四边形 OABC为平行四边形，则Z OAD + Z OCD= .【例12】如图，A、B、C、D是。O上的点，直径 AB交CD于点E，已知MC=57, / D=45,贝H NCEB =.DB【例13】 已知oo的弦AB长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 【例14】 已知如图，在 oo中，AB是O O的直径，AC、BC分别父o O于E、D， D是弧BE的中点，ZA =40，求/C的大小.【例15】如图， abc

6、内接于OO， OD _ AC 于 D，OD =2，OC =4，则.B =A（北大附中月考）【例16】CD如下左图， ABC内接于O O , AB =BC，/ABC =120 , AD为O O的直径，AD =6 , 那么BD =.【例17】如下中图,AB是O O的直径，占八、在O O上，.BOC =110 ，AD / OC，则.DCA【例18】如下右图,数为B.60C. 2040OO的半径为1 ,AB是O O的一条弦,AB - 3，则弦AB所对圆周角的度【例19】OA如图，面积为2的四边形ABCD内接于OO，对角线AC经过圆心,若也BAD =45 : CD =，贝U AB的长等于 .【例20】

7、如图，已知圆内接四边形 ABCD中AB =11 bc=9 CD =3，若AB +CD =BC +AD，贝AD =C911AD -3【例21】 如图，OO是厶ABC的外接圆，已知 NABO =50*，则NACB的大小为 C【例22】 如图，AB是O O的弦，OD _AB，垂足为C，交O O于点D，点E在。O 上. 若乙AOD =52，求.DEB的度数; 若OC =3 , OA =5，求AB的长.匚?AC的值是一个常数。【例23】 已知：在O O中，CD过圆心O,且CtU AB垂足为D,过C点作一弦CF交O O于F点，交AB于E点，求证：BC=CFCE【例24】如图A、B、C三点都在O O上，人。

8、是厶ABC的高，O O的半径R=4cm AD=6cm试说明AB【例25】已知：如图所示，AABC是O O的内接三角形，OO的直径BD交AC于E, AF丄BD于 F,D延长 AF交 BC于 G.求证：AB2 =BG BC【练习】1.已知：如图，四边形 ABCD是OO的内接正方形，点 P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则 BPC的度数是()A.45B.60 C. 7 5 D .9 0P2.如图，量角器外沿上有 A B两点，它们的度数分别是70，则0的度数为 3.如图，OO是. ：ABC的外接圆，已知 B =60，则.CAO的度数是（ ）A. 15B . 30C. 45D . 60B4.如图，AB

9、是L O的直径，CD是O O的弦，连接AC, AD，若 CAB = 35，则.ADC的度 数为.5.如图，已知L O的弦AB, CD相交于点E , AC的度数为60 , BD的度数为100，则 AEC等于( )A. 60 B. 100 C. 80 D . 130OB6.如图，AB是O O的直径，弦PC交OA于点D，弦PE交OB于点F,且OC二DC ,OF EF 若ZC=ZE，则 NCPE =7.如图所示的半圆中,AD是直径，且 AD =3, AC =2，贝sinB的值是BEAAB 2 n8.如图，AB是OO的直径，CD丄AB，设NCOD，贝卩 sin =AD 2CB9.如图，AB为OO的直径，

10、CD是OO的弦，AB、CD的延长线交于点 求 AOC的度数.E，若 AJ 二CEE =8E10.如图，已知 AB 为O O 的直径，NE =20 , N DBC=50，则NCBE =E11.如图，在。O中，.AOB的度数为m , C是ACB上一点，D、E是AB上不同的两点（不与A B两点重合），则ND +ZE的度数为 OAB12.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65 为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台.13.如图所示，在 ABC中，.C =45 , AB=4，则。O的半径为（）A.2 2B .4 C. 23D .5C14.如图，ABC 内接于 OO , AB=：BC,. ABC =120 , AD 为。O 的直径,AD =6，那么 BD =B15.如图，已知 AB是OO的直径