投资额与生产总值和物价指数

1、投资额与生产总值和物价指数问题为研究某地区实际投资额与国民生产总值（gnp）及物价指数的关系，收集了该地区连续32年的统计数据（见表1），目的是由这些数据建立一个投资额的模型，根据对未来国民生产总值及物价指数的估计，预测未来的实际投资额。表1的数据是以时间为序的，称时间序列数据。由于投资额、国民生产总值、物价指数等许多经济变量均有一定的滞后性，比如，前期的投资额对后期投资额一般有明显的影响。因此，在这样的时间序列数据中，同一变量的顺序观测值之间的出现相关现象（称自相关）是很自然的。然而，一旦数据中存在这种自相关序列，如果仍采用普通的回归模型直接处理，将会出现不良后果，其预测也会失去意义，为此，

2、我们必须诊断数据是否存在自相关，如果存在，就要考虑自相关关系，建立新的回归模型。年份序号投资额国民生产总值物价指数190.9596.70.7167294.7621.20.7199397.4637.70.72774106.5651.80.73115113.5691.10.74366120.4722.60.75647125.7756.00.76768122.8799.00.79069133.3873.40.825410140.8887.80.845611149.3944.00.867912144.2992.70.914513150.61045.90.935514166.41077.60.96011

3、5178.51100.70.973416195.01185.91.000017211.31206.41.021418229.81326.41.057519228.71434.21.150820206.11549.21.257921236.41623.81.284722257.91718.01.323423274.61828.61.356624324.11918.31.400525355.62054.91.452626386.62163.91.504227423.02417.81.634228401.92631.71.784229432.52865.31.790530451.32789.61.8

4、10231474.92954.71.951432424.53073.02.0688 表1 某地区实际投资额（亿元）与国民生产总值（亿元）及物价指数数据基本的回归模型建立一、多重共线性检验1.建立普通的回归模型。记该地区第年的投资额为, 国民生产总值为，物价指数为（以第十六年的物价指数为基准，基准值为1），=1，2，n(=32)。从表1中可以看出，随着国民生产总值的增加，投资额增大，而且两者有很强的线性关系，物价指数与投资额的关系也类似，因此可建立多元线性回归模型：（1）模型（1）中除了国民生产总值和物价指数外，影响的其他因素的作用都包含在随机误差项内，这里的假设（对）相互独立，且服从均值为零的

5、正态分布=1，2，n(=32)。（表2 ） 利用eviews 对参数作ols估计，输出回归结果：dependent variable: ymethod: least squaresdate: 06/07/04 time: 22:32sample: 1 32included observations: 32variablecoefficientstd. errort-statisticprob. c134.732744.652103.0173870.0053x10.3335450.0593655.6185090.0000x2-339.0047113.1687-2.9955690.0056r-sq

6、uared0.978445 mean dependent var232.7875adjusted r-squared0.976958 s.d. dependent var123.2718s.e. of regression18.71213 akaike info criterion8.785281sum squared resid10154.17 schwarz criterion8.922694log likelihood-137.5645 f-statistic658.1864durbin-watson stat1.216500 prob(f-statistic)0.000000将上述回归

7、结果整理如下：参数估计值 将参数估计值代入（1）得到 （2）（3.0174） (5.6185) (-2.9956) 2.分析。 由 (显著性水平=0.05),表明模型从整体上看投资额和解释变量间线性关系显著。3检验(表3) 1.000000 0.997349 0.997349 1.000000由表3可以看出，解释变量之间存在高度线性相关。4修正(逐步回归法)（1）用ols方法逐一求出对各个解释变量的回归。a.经分析在两个一元回归模型中投资额对国民生产总值的线性关系强，拟合程度较好，即 (0.3360) (32.1384)b.将解释变量代入上式，得 （3.0174） (5.6185) (-2.9

8、956)（2）由上式中可知，截距项对的影响都比较显著，虽然和 间存在共线性但它们之间的共线性对模型的影响不是很显著，对和的回归模型已为最优，所以保留原模型中的所有变量，得如下模型： 二、 异方差检验：1 用ols估计法估计参数（见表2）。2 异方差检验：（1）图示法。e2为残差的平方，由gner命令生成。（见图1，图2）（图1）（图2）结论：由上图可以看出，x1与e2；x2与e2关系并不十分密切，可以初步判断该模型可能不存在异方差。（2）goldfeld-quandt检验。将各数据按解释变量的大小顺序排列，然后将排列在中间的8个数据删除掉，余下的数据分为两个部分。在sample菜单里，将时间定

9、义为112，然后用ols方法求得下列结果： （3.0797） (5.2902) (-2.8977)由以上回归可以看出为147.2631再在sample菜单里将将时间定义为21-32，然后用ols方法求得下列结果：(1.9904) (3.1741) (-1.7901)由以上结果可以看出为7200.177求f统计量：，查f统计表，给定显著性水平为0.05，得临界值，比较，则拒绝，表明随机误差显著的存在异方差。(3)arch检验。设arch检验过程的阶数p=3,运用ols方法对残差平方e2进行辅助回归，输出的结果为：dependent variable: e2method: least square

10、sdate: 06/09/04 time: 12:37sample(adjusted): 4 32included observations: 29 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. errort-statisticprob. c140.4022120.60481.1641510.2554e2(-1)-0.1030310.179031-0.5754930.5701e2(-2)0.2567040.1681781.5263860.1395e2(-3)0.5424450.1784343.0400310.0055r-squared0.34

11、7635 mean dependent var349.4096adjusted r-squared0.269352 s.d. dependent var603.9755s.e. of regression516.2660 akaike info criterion15.45856sum squared resid6663264. schwarz criterion15.64716log likelihood-220.1492 f-statistic4.440711durbin-watson stat1.820320 prob(f-statistic)0.012385从输出的辅助回归函数中得到，

12、从而可以计算出：，查分布表，给定，自由度为p=3,得临界值因为，所以拒绝，表明模型中随机误差项存在异方差。3 异方差修正模型对数变换 对于变量和，分别用和取代,则有 （3）并对其使用ols得到以下结果：（表4）dependent variable: lymethod: least squaresdate: 06/08/04 time: 15:25sample: 1 32included observations: 32variablecoefficientstd. errort-statisticprob. lx11.5715110.2442296.4345750.0000lx2-0.8888

13、410.378298-2.3495790.0258c-5.8590481.714789-3.4167750.0019r-squared0.984995 mean dependent var5.316077adjusted r-squared0.983960 s.d. dependent var0.526034s.e. of regression0.066621 akaike info criterion-2.490531sum squared resid0.128713 schwarz criterion-2.353118log likelihood42.84850 f-statistic95

14、1.8544durbin-watson stat0.934445 prob(f-statistic)0.000000可以知道通过对数变换后，数值之间的异方差大大的变小，又由检验结果的拟合度可以知道，该模型拟合效果很好。三、自相关检验：1用ols估计方法求模型（3）的参数估计 （3）从表4可以得到以下估计值从回归结果看，基本模型（3）的拟合度非常之高，应该是很满意了。但是，这个模型并没有考虑到我们的数据是一个时间序列。实际上，在对时间序列数据作回归分析时，模型的随机误差项有可能存在相关性，违背了模型关于（对时间t）相互独立的基本假设。如在投资额模型中，国民生产总值和物价指数之外的因素（比如政策等

15、因素）对投资额的影响包含在随机误差项中，如果它的影响成为的主要部分，则由于政策等因素的连续性，它们对投资额的影响也有时间上的延续，即随即误差项可能会出现（自）相关性。2自相关性的诊断与模型的改进（1）图示法。残差可以作为随即误差项的估计值，运用eviews可以直接得到模型（2）的残差，同时画出了 的散点图，能够从直观上判断的自相关性。（见图3）图3 的散点图从图3中可以看出残差呈线性自回归，表明随即误差项存在自相关。（2）dw检验。 根据表4估计结果，由dw=0.9344,给定显著性水平，查durbin-watson表，n=32,k（解释变量个数）=2，得下限临界值,上限临界值，因为dw统计量

16、为0.9344。根据判定区域知，这时随机误差项存在正的自相关。（3） 相关的修正。广义差分法。由dw=0.9344,根据,计算出genr dy=ly-0.5328*ly(-1)genr dx1=lx1-0.5328*lx1(-1)genr dx2=lx2-0.5328*lx2(-1)（表5）dependent variable: dymethod: least squaresdate: 06/08/04 time: 18:57sample(adjusted): 2 32included observations: 31 after adjusting endpointsvariablecoef

17、ficientstd. errort-statisticprob. c-3.6026011.125913-3.1997150.0034dx11.8346360.3425735.3554600.0000dx2-1.2998230.509904-2.5491520.0166r-squared0.948592 mean dependent var2.522311adjusted r-squared0.944920 s.d. dependent var0.242080s.e. of regression0.056814 akaike info criterion-2.806297sum squared

18、 resid0.090380 schwarz criterion-2.667524log likelihood46.49760 f-statistic258.3306durbin-watson stat1.665688 prob(f-statistic)0.000000然后再用ols方法估计其参数，结果为： (4) （-3.1997） （5.3555） （-2.5492）这是我们发现经用广义差分法后，dw值有明显的提高，dw=1.6657与上述的相比，已经不存在自相关。模型的分析我们进行了一系列检验和修正后的最终结果如下： (4) （-3.1997） （5.3555） （-2.5492）从模型中可看