初二数学奥林匹克竞赛题及答案

1、初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形abcd中，adbc，deec，efab交bc于点f，efec，连结df。(1)试说明梯形abcd是等腰梯形；(2)若ad1，bc3，dc2，试判断dcf的形状；(3)在条件(2)下，射线bc上是否存在一点，使pcd是等腰三角形，若存在，请直接写出pb的长；若不存在，请说明理由。adebfc2、在边长为6的菱形abcd中，动点m从点a出发，沿abc向终点c运动，连接dm交ac于点n.（1）如图251，当点m在ab边上时，连接bn.求证：abnadn；若abc=60，am=4，求点m到ad的距离；（2）如图252，若abc=90，记点m运动所经过的路程为

2、x（6x12）试问：x为何值时，adn为等腰三角形.关于c左转弯运动到p，p关于d左转弯运动到p，p关于a左转弯运动到p，（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点p的位置；o3、对于点o、m，点m沿mo的方向运动到o左转弯继续运动到n，使omon，且omon，这一过程称为m点关于o点完成一次“左转弯运动”正方形abcd和点p，p点关于a左转弯运动到p，p关于b左转弯运动到p，p1122334451（2）连接pa、pb，判断abp与adp之间有怎样的关系？并说明理由。111(3)以d为原点、直线ad为y轴建立直角坐标系，并且已知点b在第二象限，a、p两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：

3、p、p、pb三点的坐标a420092010n1p图1mc图2dabc关于直线qn成轴对称的图形；（2）如图2，在rtabc向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，4、如图1和2，在2020的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，abc从点a与点m重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当bc边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点c与点p重合时，rtabc停止移动.设运动时间为x秒，qac的面积为y.（1）如图1，当rtabc向下平移到abc的位置时，请你在网格中画出111111并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在abc向

4、右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？、如图，abc中，ab=ac，b、c的平分线交于o点，过o点作efbc交ab、ac于e、f(1)图中有几个等腰三角形?猜想：ef与be、cf之间有怎样的关系，并说明理由(2)如图，若abac，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们在第(1)问中ef与be、cf间的关系还存在吗?(3)如图，若abc中b的平分线bo与三角形外角平分线co交于o，过o点作oebc交ab于e，交ac于f这时图中还有等腰三角形吗?ef与be、cf关系又如何?说明你的理由。、已知，如图，abc中，bac=90，a

5、b=ac,d为ac上一点，且bdc=124，延长ba到点e，使ae=ad,bd的延长线交ce于点f，求e的度数。27、如图，正方形abcd的对角线ac,bd交于点o，将一三角尺的直角顶点放在点o处，让其绕点o旋转，三角尺的直角边与正方形abcd的两边交于点e和f。通过观察或测量oe,of的长度，你发现了什么？试说明理由。31梯形abcd是等腰梯形，cf=（bc-ad）=1，dc=2，由勾股定1、解：（1）证明：ef=ec，efc=ecf，efab，b=efc，b=ecf，梯形abcd是等腰梯形；（）dcf是等腰直角三角形，证明：de=ec，ef=ec，ef=cd，2cdf是直角三角形（如果一个

6、三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），12理得：df=1，dcf是等腰直角三角形；（3）共四种情况：pb=1，pb=2，pb=3-2，pb=3+2（2、证明：1）四边形abcd是菱形，ab=ad，1=2又an=an，abnadn解：作mhda交da的延长线于点h由adbc，得mah=abc=60在amh中，mh=amsin60=4sin60=23点m到ad的距离为23ah=2dh=6+2=8（2）解：abc=90，菱形abcd是正方形cad=45下面分三种情形：（）若nd=na，则adn=nad=45此时，点m恰好与点b重合，得x=6；（）若dn=da，则dna=d

7、an=45此时，点m恰好与点c重合，得x=12；（）若an=ad=6，则1=2adbc，1=4，又2=3，3=4cm=cnac=62cm=cn=ac-an=62-6故x=12-cm=12-（62-6）=18-62综上所述：当x=6或12或18-62时，adn是等腰三角形。3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（）abp1adp，且abp可看成是由adp绕点a顺时针旋转90而得1理由如下：在abp1和adp中，由题意：ab=ad，ap=ap，pad=pab，11abp1adp，又abp和adp有公共顶点a，且pap=90，1abp可看成是由adp绕点a顺时针旋转90而得；1（3）点p（1

8、，1）关于点a（0，4）左转弯运动到p（-3，3），1点p（-3，3）关于点b（-4，4）左转弯运动到点p（-5，3），12点p（-5，3）关于点c（-4，0）左转弯运动到点p（-1，1），23点p（-1，1）关于点d（0，0）左转弯运动到点p（1，1），34411点p（1，1）关于点a（0，4）左转弯运动到点p（-3，3），45点p与点p重合，点p与点p重合，点p的坐标为（-3，3）51622009点p的坐标为（-5，3）20104、解：（1）如图1，bc是abc关于直线qn成轴对称的图形；222111（）当abc以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：ma=x，mb=x+4，

9、mq=20，y=s梯形-sqmbcamqabc=4+20）（x+4）-20x-44222=2x+40（0x16）由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，当x=16时，y取得最大值，且y最大=216+40=72；（3）解法一：当abc继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16x32，pb=20-（x-16）=36-x，pc=pb-4=32-x，111y=s梯形baqpcpqabc=（4+20）（36-x）-20（32-x）-44222=-2x+104（16x32）由一次函数的性质可知：当x=32时，y取得最小值，且y最小=-232+104=40；当x=16时，y取得最

10、大值，且y最大=-216+104=72解法二：在abc自左向右平移的过程中，qac在每一时刻的位置都对应着（）中qac某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线qn成轴对称因此，根据轴对称的性质，只需考查abc在自上至下平移过程中qac面积的变化情况，便可以知道abc在自左向右平移过程中qac面积的变化情况当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，当x=32时，y取得最小值，且y最小=405、解：（1）图中有5个等腰三角形，ef=be+cf，beocfo，且这两个三角形均为等腰三角形，可得ef=eo+fo=be+cf；（）还有两个等腰三角形，为beo、cfo，如下图所示：efbc，2=3，5又1=2，1=3，beo为等腰三角形，在cfo中，同理可证ef=be+cf存在（）有等腰三角形：beo、cfo，此时ef=be-cf，如下图所示：oebc，5=6，又4=5，4=，beo是等腰三角形，在cfo中，同理可证cfo是等腰三角形，此时ef=be-cf，、解：在abd和ace中，ab=ac，dab=cae=90ad=ae，abdace