极小曲面浅谈

1、 极小曲面浅谈 叶左 1253694在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。 物理学中，由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。平均曲率定义为：令 p是曲面s上一点，考虑s上过p的所有曲线ci。每条这样的ci在p点有一个伴随的曲率ki。在这些曲率ki中，至少有一个极大值k1与极小值k2，这两个曲率称为s的主曲率。p的平均曲率是两个主曲率的平均值，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值故有此名。h=(k1+k2)/2.而极小曲面是指每一点

2、上的平均曲率都是0的曲面。这种曲面的研究始于有关满足一定的约束条件（比如边界固定或容纳体积满足一定条件）下表面积最小的曲面，因此被称为“极小曲面”。实际上极小曲面所囊括的内涵比此类最小面积曲面更广泛。极小曲面的定义还可以扩展到恒定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等于某个常数的点组成的子曲面。当这个常数等于零的时候， 恒定平均曲率曲面就是极小曲面。 极小曲面是平均曲率流的临界点。极小曲面的经典例子包括：1).欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面；2).悬链面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。3).正螺面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋

3、上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面；4).enneper曲面。4).scheck曲面；5).costahoffmanmeeks曲面。悬链面 悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中，拿出后再缓慢分开得到.方程：z=cosh-1. 正螺面 就是让一条直线l的初始位置与x轴重合，然后让直线l一边绕z轴作匀速转动，一边沿z轴方向作匀速运动，则直线在这两种运动的合成下扫出的曲面就是正螺旋面，它的方程为:z=arctan(y/x).显然正螺旋面可以看做是由直线形成的，即它是一个直纹面costa面在三维欧氏空间e3中，若一张曲面可用方程z=z(x,y)来表示，则

4、称它为图，或非参数化曲面。由极小条件h=0,e3中极小图的z(x,y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程：通常称它为极小曲面方程。 历史上极小曲面的发展是环绕普拉托问题注而展开的，这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在19301931年，t.拉多和j.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题,他们得到如下的存在性定理:给定任一可求长的空间若尔当闭曲线，总存在一张以为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点，在分支点处曲面不是浸入。直到1970年，r.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的，即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。除了这类存在性问题外，

5、还有不少属于惟一性方面的问题，其中最著名的是伯恩斯坦定理：e3中完备的极小图必是平面。 正如用导数来确定函数的极值一样，面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件，要进一步确定最小面积的曲面，还必须考虑第二变分。在任何法向变分下，使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。e3中极小图是稳定的。因此，从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想：e3中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被d.菲舍尔-科尔布里和 r.舍恩所证明，稍后，m.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广，人们很早就提出这样的问题：设是en的完备极小超曲面,那么函数z(x1,x2,xn)是否必

6、是线性的？1965年，e.迪乔吉证明n=3是对的；1966年,f.j.阿姆格伦证明n=4也是对的。1967年，j.西蒙斯证明当 n7时，都是对的。出乎意料的是，e.邦别里、e.迪乔吉和e.朱斯蒂在1968年联合证得,n=8时，就是不对的。因此，这是一个十分有趣的问题。关于极小曲面及其在高维流形的推广，陈省身、项武义、丘成桐等都作出了重要贡献。在建筑学上的应用 1.慕尼黑奥运会田径场2.张拉膜注：著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。x4+y4=z4无正整数解之证明2013-01-18 02:42:02|分类： 代数学 |标签：正整数解 |字号订阅（1）只需证明x4+y4=z2无正整数解：假设有正整数解，则z存在最小解；（2）x、y、z两两互质：z为偶数，无解；令y为偶数；（3）x4=z2-y4=(z+y2)(z-y2)，且(z+y2，z-y2)=1，设z+y2=u4、z-y2=v4，y2=(1/2)(u2+v2)(u2-v2)；（4）因(1/2)(u2+v2)与u2-v2互质，同理可设：(1/2)(u2+v2)=s2、u