人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_导数的几何意义_基础

1、精品文档用心整理人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习导数的几何意义【学习目标】1理解导数的几何意义。2理解导数的全面涵义。3掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。4会求过点（或在点处）的切线方程。【要点梳理】要点一、导数几何意义1.平均变化率的几何意义曲线的割线=的几何意义是表示连接函数y=f(x)图像上两点割函数y=f(x)的平均变化率线的斜率。dyf(x)-f(x)21dxx-x21如图所示，函数f(x)的平均变化率dyf(x)-f(x)21=的几何意义是：直线ab的斜率。dxx-x21事实上，kab=y-yx-xabab=f(x)-f(x)dy21=。x-xdx

2、21y换一种表述：曲线上一点p(x,y)及其附近一点q(x+dx,y+dy)，0000y=f(x)pbqm经过点p、q作曲线的割线pq，ox则有kpq=(y+dy)-y(x+dx)-x0000=dydx。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。2.导数的几何意义曲线的切线t图1=如图1，当p(x,f(x)(n1,2,3,4)nnn沿着曲线f(x)趋近于点p(x,f(x)时，割线pp的变化趋势是00n什么？我们发现,当点p沿着曲线无限接近点p即x0时,割线pp趋近于确定的位置，这个确定位置的直线nnpt称为曲线在点p处的切线.y

3、定义：如图，当点q(x+dx,y+dy)沿曲线无限接近于点p(x,y)，0000q即dx0时，割线pq的极限位置直线pt叫做曲线在点p处的切线。也就是：当dx0时，割线pq斜率的极限，就是切线的斜率。y=f(x)pbomtxdxdx0即：k=limdx0dydxf(x+dx)-f(x)0=lim=f(x)。0若曲线y=f(x)在点处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直。要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。（2）切线斜率的本质函数在x=x处的导数。0（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。p(x,f(x)00，切线与x轴正向夹角为锐角，f(x)瞬时递增；，切线

4、与x轴正向夹角为钝角，f(x0)0f(x)00资料来源于网络仅供免费交流使用f(x)精品文档用心整理瞬时递减；f(x0)=0，切线与x轴零度角，瞬时无增减。（4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；，为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线c都用“与c有且只有一个公共点”来定义c的切线呢？如图1-1-2-1的曲线c是我们熟知的正弦曲线y=sinx的一部分，直线l2显然与曲线c有唯一公共点m，但我们不能说直线l2与曲线c相切；而直线l1尽管与曲线c有

5、不止一个公共点，但我们可以说直线l1是曲线c在点n处的切线。要点二、曲线的切线（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：求出切点(x0,f(x0)的坐标;求出函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)得切线方程y-f(x0)=f(x)(x-x0)（2）在点(x0,f(x0)处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。在点(x0,f(x0)处的切线是说明点(x0,f(x0)为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线f(x)上的点，若是则为第一类解法，若

6、不同则必须先在曲线上取一切点(x1,f(x1)，求过此切点的切线方程y-y1=f(x1)(x-x1)，再将点（x0，y0）代入，求得切点(x1,f(x1)的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。要点三、导数的概念导函数定义：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即:f(x)=y=limdx0f(x+dx)-f(x)dx要点诠释：函数f(x)在点x处的导数f(x)、导函数f(x)之间的区别与联系。00（1）函数在一点处的导数f(x)，就是在该点的函数的改变量与自变量的

7、改变量之比的极限，它是一个常0数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也就是函数f(x)的导函数。（3）函数f(x)在点x处的导数f(x)就是导函数f(x)在x=x处的函数值。000资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理导函数也简称导数，所以所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。导函数求法：由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量dy=f(x+dx)-f(x)。（2）.求平均变化率dyf(x+dx)-f(x)=dxdx。dy（3）.取极限，得导数y/lim。dx0dx要点四、导数的定义的几

8、种形式：割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：y=limdx0f(x+dx)-f(x)f(x)-f(x+dx)f(x-dx)-f(x)dx0dx0；（或：y=lim；y=lim；）dx-dx-dxxx0y=f(x)=lim0f(x)-f(x)0x-x0。要点诠释：只要是dx0时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍）就能表示为导数式。【典型例题】类型一、求曲线的切线方程【导数的几何意义385147例1】例1曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点p（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程.【解析】利用导数的几何意义，曲线在点p（1，2）处的切线的斜率

9、等于函数y=x2+1在x=1处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程.由y=x2+1得y=(x2+1)=2x，所以曲线在点p处的切线斜率为k=y|x=1=2，过点p的切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.【总结升华】求曲线上一点处切线的步骤：求函数y=f(x)在点x=x处的导数，即曲线y=f(x)在p(x，f(x)处切线的斜率。000资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理由点斜式写出直线方程：y=y+f(x)(x-x)；如果y=f(x)在p(x，f(x)的切线平行于y轴（此00000时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：x=x.0举一反三：（【变式1】2015春儋州校

10、级期末）过曲线y=f(x)=2+y）作割线，则当x=0.5时割线的斜率为（）x1-x图象上一点（2，2）及邻近一点（2+x，a132bc1d-353【答案】b【解析】当x=0.5时，2+x=2.5，=-故-2+dy=2.55，1-2.53-+2=3=。故kpq522.5-23故选b。【变式2】已知函数f(x)x23，则f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_【答案】f(x)x23，x02f(2)7，yf(2x)f(2)4x(x)2dydy4x.lim4.即f(2)4.dx0dxdx又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2)处的切线方程为y74(x2)即4xy10.【变式3】（2015春

11、潍坊期末）函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）a.10b.5c.-1d.-37【答案】-【解析】37f(x)=x3+4x+5,f(x)=3x2+4，f(1)=7，即切线的斜率为7，又f(1)=10，故切点坐标（1,10），切线的方程为：y-10=7(x-1)，当y=0时，x=-37，切线在x轴上的截距为-37。资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【导数的几何意义385147例2】例2求曲线y=x3经过点p(1,1)的切线方程.【解析】本题要分点p(1,1)是切点和p(1,1)不是切点两类进行求解.若点p(1,1)是切点，由y=x3得y=3x2，则k=

12、3，于是切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2；若点p(1,1)不是切点，设切点为(x,x3)：则切线率k=y=3x2，所以3x00002=1-x301-x0解之得x=-1244443331，所以k=，所以切线方程是y-1=(x-1)，即y=x+.0【总结升华】求切线方程，首先要判断所给的点是否是切点。若是，可用求切线方程的步骤求解；若不是，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得到切线方程。举一反三：【变式1】已知：函数f(x)=x3-3x，经过点(2,2)作函数图象的切线，求：切线的方程。dy【答案】对于函数f(x)=x3-3x，f(x)=limdx0dx=3x2

13、-3x-2由于点(2,2)在函数f(x)图象上，（1）当点(2,2)是切点时，函数f(x)图象在点(2,2)处的导数即为切线的斜率，即：k=f(2)=322-3=9，切线方程为：9x-y-16=0；（2）当点(2,2)不是切点时，设点(x,x3-3x)为切点，000x3-3x-200函数f(x)在此处的导数（即切线的斜率）k=f(x)=3x2-3=（x2）0000即：x3-3x2+4=0(x+1)(x-2)2=0x=-1，00000即此时点(-1,2)为切点，此时切线方程为y=2。【变式2】已知曲线y=1x。（1）求曲线过点a（1，0）的切线方程；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理

14、（2）求满足斜率为-1的曲线的切线方程。3，因为lim=-adxa2【答案】（1）设过点a（1，0）的切线的切点坐标为a,dx01f(a+dx)-f(a)1，所以该切线的斜率为-1a2，切线方程为y-11=-(x-a)。aa2将a（1，0）代入式，得a=12。所以所求的切线方程为y=4x+4。（2）设切点坐标为px,，由（1）知，切线的斜率为k=-，则-=-，x=3。那xx2x23001111000p-3,-33么切点为p3,33或。所以所求的切线方程为y=-123123x+或y=-x-。3333【导数的几何意义385147例3】【变式3】设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a，g(x)=x

15、2-3x+2，其中xr，a,b为常数，已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点（2,0）处有相同的切线l.求a,b的值，并写出切线l的方程.【答案】f(2)=limdx0(2+dx)3+2a(2+dx)2+b(2+dx)+a-(23+8a+2b+a)dx=lim12+8a+b+6dx+(dx)2=12+8a+bdx0(2+dx)2-3(2+dx)+2-(22-32+2)g(2)=lim=lim(1+dx)=1dx0dxdx0由已知：f(2)=0且f(2)=g(2)a=-2,b=5，因为k=g(2)=1所以l的方程：y=x-2类型二、利用定义求导函数例3求函数y=4x2在x=2处的导数。资料来源于

16、网络仅供免费交流使用dydx0dxdx0(dx+2)dy=4精品文档用心整理【解析】解法一：（导数定义法）444(dx)2+4dx=-1=1-dy=，(x+2)222(dx+2)(dx+2)2dx+4=-。dx(dx+2)2dydx+4lim=-lim=-1。2解法二：（导函数的函数值法）44dx(2x+dx)-=-，(x+dx)2x2x2(x+dx)2dy4(2x+dx)=-dxx2(x+dx)2。y=limdx0dy4(2x+dx)8=-lim=-dxdx0x2+(x+dx)x3。f(2)=y|x=2=-1。【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。举一反三：【变式1】已

17、知f(x)=【答案】因为dy=x+2，求f(x)，f(2)x+dx+2-x+2，所以dydx=x+dx+2-x+2(x+dx+2)-(x+2)=dxdx(x+dx+2+x+2)1x+dx+2+x+2。当x0时，f(x)=12x+2，当x=2时，f(2)=11=。22+24【变式2】求函数y=1在(0,+)内的导函数。x解：dy=11-=x+dxxx-x+dxx+dxx，dyx-x+dx(x-x+dx)(x+x+dx)=dxdxx+dxxdxx+dxx(x+x+dx)资料来源于网络仅供免费交流使用=-dxdxx+dxx(x+x+dx)=精品文档用心整理-1x+dxx(x+x+dx)-1-11y=

18、limdx03=-x-2x+dxx(x+x+dx)x2x20类型三、导数的几种形式例4.若f(x)=2，则limk0【解析】根据导数定义：f(x-k)-f(x)002k=_。k0f(x)=lim0fx+(-k)-f(x)00-k（这时=k），所以limk0f(x-k)-f(x)002k=lim-1fx+(-k)-f(x)00k02-kfx+(-k)-f(x)11=-lim00=-2=-1。2k0-k2【总结升华】（1）有一种错误的解法：k0根据导数的定义：f(x)=lim0f(x-k)-f(x)00k（这时x=k），所以limk0f(x-k)-f(x)1f(x-k)-f(x)100=lim00=2k2k0k22=1。（2）在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择与之相对应的形式。利用函数f(x)在x=x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为