人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_同角三角函数的基本关系式_基础

1、精品文档用心整理人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:sin2a+cos2a=1,sinacosa=tana，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(2)商数关系：sinacosa=tana(3)倒数关系：tanacota=1，sinacsca=1，cosaseca=1要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是

2、对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2a是(sina)2的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：sin2a=1-cos2a，cos2a=1-sin2a，12sinacosa=(sinacosa)22商数关系式的变形sina=cosatana，cosa=sinatana。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值4例1若sina=-，且a是第三象限角，求cosa，tana的值。5【思路点拨】由sina求cosa，可利用公式sin2a+cos2a=

3、1，同时要注意角所在的象限。资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】-3453【解析】sina=-45精品文档用心整理，a是第三象限，cosa=-1-sin2a=-1-=-，42355=-=4tana=sina4-5。cosa533【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角a所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角a所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就a所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知sina=-35，求cosa，tana的值。【解析】因为sina=-350，sina=当a是第一象

4、限角时，结合sin2a+cos2a=1，有；sina=-当a是第三象限角时，结合sin2a+cos2a=1，有；a是第一或第三象限角，255cosa=55255cosa=-55（2）tana=2，sin2a+cos2a=1，原式=sin2a+3sinacosa+12sin2a+3sinacosa+cos2a=1sin2a+cos2a=2an82tana+3ta+1+6=24tana+1+1115=35类型三：利用同角关系化简三角函数式例4（2015秋湖北青山区期末）（1）化简：1-2sin20cos20sin160-1-sin220；资料来源于网络仅供免费交流使用（2）已知a为第二象限角，化简

5、cosa1-sina精品文档用心整理1-cosa+sina1+sina1+cosa【思路点拨】（1）根号下利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用二次根式的化简公式化简，约分即可得到结果；（2）根号中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算，约分后计算即可得到结果【答案】（1）1；（2）sina-cosa【解析】（1）02045，cos200，sin20cos200，1-2sin20cos20(sin20-cos20)2cos20-sin20则原式=-1；sin20-cos20sin20-cos20sin20-cos20（2）a为第二象限角，cosa0，si

6、na0，(1-sina)2(1-cosa)21-sina1-cosa则原式=cosa+sina=cosa+sinacos2asin2a|cosa|sina|-cosasan1a=cosa-sinacoss=coa举一反三：【变式1】化简no1-sia-1casisi+san=-+1a+n-i,q2kp-,2kpkz；（1）1-2sinqcosqsinq-cosqp2例5求证：（1）sinq(1+tanq)+cosq(1+1（2）1-sin22-1-cos22；【答案】（1）1（2）-cos2-sin2(sinq-cosq)2|sinq-cosq|【解析】（1）原式=-1sinq-cosqsin

7、q-cosq（2）原式=cos22-sin22=|cos2|-|sin2|=-cos2-sin2类型四：利用同角关系证明三角恒等式11)=+tanqsinqcosq；（2）cosasina2(cosa-sina)-=1+sina1+cosa1+sina+cosa。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【证明】（1）左边=sinq1+cosq1+=sinq+cosqsinqsinqcosqsin2qcos2q+cosqcosqsinqsin2q+cos2qsin2q+cos2q11+=+=右边，sinqcosqsinqcosq原等式成立。资料来源于

8、网络仅供免费交流使用（2）左边=精品文档用心整理cosa+cos2a-sina-sin2a(cosa-sina)(1+sina+cosa)=1+sina+cosa+sinacosa1+sina+cosa+sinacosa2(cosa-sina)(1+sina+cosa)1+sin2a+cos2a+2sina+2cosa+2sinacosa=2(cosa-sina)(1+sina+cosa)2(cosa-sina)=右边，(1+sina+cosa)21+sina+cosa原等式成立。【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。举一反三：【变式】求证：cosx1+sinx=1-sinxcosx.左边=cosx(1+sinx)【解析】证法一：由题意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0.cosx(1+sinx)1+sinx=右边.(1-sinx)(1+sinx)cos2xcosx原式成立.证法二：由题意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0.又(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx，cosx1+sinx=1-sinxcosx.证法三：由题意知cosx0，所