人教版初二(下)数学第55讲：正方形(学生版)(著名机构讲义)

1、正方形_1、掌握正方形的概念、判定与性质，理解正方形与平行四边形的之间的联系；2、会用正方形的性质解决简单的证明和计算问题；3、从正方形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点1正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是_；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴2正方形的判定正方形的判定方法：先判定四边形是矩

2、形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定3旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的_相等对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角旋转前、后的图形全等（2）旋转三要素：旋转_；旋转_；旋转_注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样4命题与定理（1）判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式（2）有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理1（3）定理是真命题，但真命题不一定是定理（4）命题

3、写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论（5）命题的“真”“假”指的是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可5一次函数图象上点的坐标特征，k一次函数y=kx+b（k0，b为常数）的图象是一条_它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b6勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2（2）

4、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=c2b2，b=c2a2及c=a2+b2（4）由于a2+b2=c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意一条直角边7平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分（3）平行线间的距离处处相等（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等8平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四

5、边形是平行四边形符号语言：abdc，adbc四边行abcd是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形符号语言：ab=dc，ad=bc四边行abcd是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形符号语言：abdc，ab=dc四边行abcd是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形符号语言：abc=adc，dab=dcb四边行abcd是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形符号语言：oa=oc，ob=od四边行abcd是平行四边形1.正方形的性质2【例1】（2014天津塘沽中学期末）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）a8b4c8d16练

6、1.如图，正方形abcd的对角线bd长为2，若直线l满足：点d到直线l的距离为；a、c两点到直线l的距离相等则符合题意的直线l的条数为（）a1b2c3d4练2.如图，正方形abcd的边长为1，以对角线ac为边作第二个正方形，再以对角线ae为边作第三个正方形aegh，如此下去，第n个正方形的边长为2.正方形的判定【例2】（2014哈尔滨师大附月考）下列说法不正确的是（）a一组邻边相等的矩形是正方形b对角线相等的菱形是正方形c对角线互相垂直的矩形是正方形d有一个角是直角的平行四边形是正方形练3.如图，四边形abcd中，ab=bc，abc=cda=90，bead于点e，且四边形abcd的面积为8，则

7、be=（）a2b3cd3.正方形的性质；全等三角形的判定与性质】【例3（2014湖北黄冈中学一模）如图，在正方形abcd中，点f为cd上一点，bf与ac交于点e若cbf=20，则aed等于度3练4.已知e是正方形abcd的对角线ac上一点，ae=ad，过点e作ac的垂线，交边cd于点f，那么fad=度练5.如图1，在正方形abcd中，p是对角线bd上的一点，点e在ad的延长线上，且pa=pe，pe交cd于f（1）证明：pc=pe；（2）求cpe的度数；（3）如图2，把正方形abcd改为菱形abcd，其他条件不变，当abc=120时，连接ce，试探究线段ap与线段ce的数量关系，并说明理由4正方

8、形的性质；一次函数图象上点的坐标特征【例4】（2014辽宁盘锦一中期末）正方形oa1b1c1、a1a2b2c2、a2a3b3c3，按如图放置，其中点a1、a2、a3在x轴的正半轴上，点b1、b2、b3在直线y=x+2上，则点a3的坐标为练6.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点a的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为s1、s2、s3、sn，则sn的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）45正方形的性质；命题与定理；旋转的性质【例5】（2014海南海口一中月考）正方形abcd和正方形a

9、efg有公共顶点a，将正方形aefg绕点a按顺时针方向旋转，记旋转角dag=，其中0180，连结df，bf，如图（1）若=0，则df=bf，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由练7正方形abcd的顶点a在直线mn上，点o是对角线ac、bd的交点，过点o作oemn于点e，过点b作bfmn于点f（1）如图1，当o、b两点均在直线mn上方时，易证：af+bf=2oe（不需证明）（2）当正方形abcd绕点a顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段

10、af、bf、oe之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明1如图，四边形abcd中，ab=bc，abc=cda=90，bead于点e，且四边形abcd的面积为8，则be=（）a2b3cd2如图，已知四边形abcd是平行四边形，下列结论中不正确的是（）a当ab=bc时，它是菱形b当acbd时，它是菱形5c当abc=90时，它是矩形d当ac=bd时，它是正方形3下列命题中正确的是（）a两条对角线互相平分的四边形是平行四边形b两条对角线相等的四边形是矩形c两条对角线互相垂直的四边形是菱形d两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形4边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则a

11、bc的面积为5已知正方形abcd的对角线ac=，则正方形abcd的周长为6我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有个_1如图，边长分别为4和8的两个正方形abcd和cefg并排放在一起，连结bd并延长交eg于点t，交fg于点p，则gt=（）ab2c2d12如图，四边形abcd、aefg均为正方形，其中e在bc上，且b、e两点不重合，并连接bg根据图中标示的角判断下列1、2、3、4的大小关系何者正确？（）a12b12c34d343附图为正三角形abc与正方形defg的重叠情形，其中d、e两点分别在ab

12、、bc上，且bd=be若ac=18，gf=6，则f点到ac的距离为何？（）6a2b3c124d664如图，在边长为2的正方形abcd中，m为边ad的中点，延长md至点e，使me=mc，以de为边作正方形defg，点g在边cd上，则dg的长为（）abcd5如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1，s2，则s1+s2的值为（）a16b17c18d196已知四边形abcd中，a=b=c=90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）ad=90bab=cdcad=bcdbc=cd7下列判断中正确的是（）a四边相等的四边形是正方形b四角相等的四边形是正方形c对角线互相垂直的平行四边形是正方形d对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形8如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）a22.5角b30角9下列说法错误的是（）a矩形的四个角都相等c45角d60角7b四条边都相等的四边形是菱形c等腰梯形的对角线相等d对角线互相垂直平分的四边形是正方形10如图，在正方形abcd的外侧，作等边三角形ade，连接be，ce（1）求证：be=ce（2）求