人教版初三(上)数学第72讲：二次函数(教师版)(著名机构讲义)

1、二次函数_1、能理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如火热根据实际问题确定自变量的取值范围；2、通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力；3、通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心1二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式判断函数是否是二次函数，首先是

2、要看它的右边是否为_，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是_，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义2二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是_，对称轴直线_，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向_，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向_，x时，y随x

3、的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点1抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或向下平移|个单位得到的3根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据_的取值范围来确定描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为

4、背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式参考答案：1.（1）整式；（2）全体实数2.（，）x=上；下3.自变量1.二次函数的定义【例1】（2014山东沂水县中学期末）函数y=3x2+x4是（）a一次函数b二次函数c正比例函数d反比例函数【解析】判断一个函数是二次函数需要注意三点：（1）整理后，函数表达式是整式；（2）自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意已知条件中给出字母系数是否是常数解：因为二次项的系数是30所以是二次函数故选b练1.二次函数y=x2+2x7的函数值是8，那么对应的x的值是（）a3b5c3和5d3和5【解析

5、】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可解：根据题意，得x2+2x7=8，即x2+2x15=0，解得x=3或5，故选d练2.下列函数不属于二次函数的是（）ay=（x1）（x+2）by=（x+1）2cy=2（x+3）22x2dy=1【解析】把函数整理成一般形式，根据定义，即可判定解：把每一个函数式整理为一般形式，a、y=（x1）（x+2）=x2+x2，是二次函数，故a不符合题意；2x2b、y=（x+1）2=x2+x+，是二次函数，故b不符合题意；c、y=2（x+3）22x2=12x+18，是一次函数，故c符合题意；d、y=1x2=x2+1，是二次函数，故d不符合题意故选：c2.二次函

6、数求值【例2】（2015辽宁抚顺二中月考）若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）a1b1c1d【解析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可解：根据题意，得4x2+1=5，x2=1，解得x=1或1故选c练3.若函数y=（m2+m）是二次函数，则m=【解析】根据二次函数的定义，要求自变量的指数等于2，系数不为0解：函数y=（m2+m）是二次函数，m21=2，解得m=；且m2+m0，即m0或m1m=3根据实际问题列二次函数关系式【例3】（2015吉林四平中学月考）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如

7、下表那么s与t之间的函数关系式是s=时间t/s1234距离s/m281832【解析】通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为2t2解：1秒时，距离为2；2秒时，距离为24=222；3秒时，距离为29=232；4秒时，距离为216=242；t秒时，距离为2t2s=2t2练4.在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm（x6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是3【解析】根据题意知道剩下面积=边长为6cm的正方形面积边长为xcm的小正方形的面积，由此即可得到函数关系式解：依题意得剩下的四方框形的面积=边长为6cm的正方形面积边

8、长为xcm的小正方形的面积，y=x2+36故填空答案：y=x2+364二次函数的顶点、对称轴【例4】（2015天津南开中学月考）抛物线y=（x1）2+2的顶点坐标是【解析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标解：因为y=（x1）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）练5.抛物线y=x22x+3的顶点坐标是【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标解：y=x22x+3=x22x+11+3=（x1）2+2，抛物线y=x22x+3的顶点坐标是（1，2）故答案为：（1，2）练6.抛物线y=（x1）2+3的对称轴是直线【解

9、析】此题直接利用抛物线顶点式的特殊形式即可求得对称轴解：y=（x1）2+3其对称轴为x=1故填空答案：x=15二次函数的变化趋势；【例5】（2014陕西安康黄冈中学期末）函数y=（x1）2+3，当x时，函数值y随x的增大而增大【解析】先求对称轴，再利用函数值在对称轴左右的增减性可得x的范围解：可直接得到对称轴是x=1，a=0，函数图象开口向上，当x1时，函数值y随x的增大而增大练7已知抛物线y=2（x+1）23，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是【解析】根据二次函数的图象开口方向及对称轴求解解：因为a=20，抛物线开口向下，又对称轴为直线x=1，所以当y随x的增大而减小时，x11下列函

10、数不属于二次函数的是（）ay=（x1）（x+2）by=（x+1）2cy=2（x+3）22x2dy=1x22下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a0）模型的是（）a在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系b我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系4c竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）d圆的周长与圆的半径之间的关系3下列函数中，是二次函数的是（）ay=8x2+1by=8x+1cd4下列函数中，不是二次函数的是（）ay=1x2by=2（x1）2+4cy=（x1）（x+4）dy=（x2）2x25在半径为4cm的圆中，挖去

11、一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）ay=x24by=（2x）2cy=（x2+4）dy=x2+166某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）ay=x2+aby=a（x1）2cy=a（1x）2dy=a（1+x）2_1当m=时，函数y=（m1）是关于x的二次函数2在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm（x6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是3如图，在abc中，ab=ac，点d在bc上，deac，交ab与点e，点f在ac上，dc=df，若bc=3，

12、eb=4，cd=x，cf=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围4二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）和（0，1），顶点在第四象限，若n=a+b+c，则n的取值范围是5抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x32101y60466容易看出，（2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为6开口向下的抛物线y=（m22）x2+2mx+1的对称轴经过点（1，3），则m=7已知，二次函数的表达式为y=4x2+8x写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x轴的交点的坐标8求二次函数y=x22x1的顶点坐标

13、及它与x轴的交点坐标9已知抛物线y=x2+x（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；5（2）若抛物线与x轴的两个交点为a、b，求线段ab的长10已知抛物线y=4x211x3（）求它的对称轴；（）求它与x轴、y轴的交点坐标参考答案：当堂检测1.【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义判定即可【解答】解：a、y=x2，是二次函数，正确；b、y=c、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；，分母中含自变量，不是二次函数，错误；d、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误故选a2【考点】二次函数的定义【分析】根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断【解答】解：a、距离一定，汽车行驶

14、的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；（b、设原来的人口是a，x年后的人口数是y，则y=a（1+1%）x，不是二次函数关系；c、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系不计空气阻力）是二次函数d、设半径是r，则周长c=2r，是一次函数关系故选：c3【考点】二次函数的定义【分析】利用二次函数定义就可以解答【解答】解：a、符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；b、是一次函数，错误；c、是反比例函数，错误；d、自变量x在分母中，不是二次函数，错误64【考点】二次函数的定义【分析】利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答【解答】解：a、y=1x2

15、=x2+1，是二次函数，正确；b、y=2（x1）2+4=2x24x+6，是二次函数，正确；c、y=（x1）（x+4）=x2+x2，是二次函数，正确；d、y=（x2）2x2=4x+4，是一次函数，错误故选d5【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积半径为x的圆的面积=16x2=x2+16【解答】解：半径为4的圆的面积16，半径为x的圆的面积x2因而函数解析式是：y=x2+16故选d6【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式【解答】解：依题意，得y=a（1+x）2故选d家庭作业

16、1【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可【解答】解：依题意可知m2+1=2得m=1或m=1又因为m10m1当m=1时，这个函数是二次函数2【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】根据题意知道剩下面积=边长为6cm的正方形面积边长为xcm的小正方形的面积，由此即可得到函数关系式【解答】解：依题意得剩下的四方框形的面积=边长为6cm的正方形面积边长为xcm的小正方形的面积，y=x2+36故填空答案：y=x2+363【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】cd和cfcdf中，ebbde中，可判断应证明bdefcd，根据题中所给条件利用等边对等角，以及平行线

17、的性质也能证得bdefcd然后得到相应各边的比例关系即可x在bc上，应大于0，小于bc长7【解答】解：ab=ac，dc=dfb=c=dfc又deacbde=cbdefcd自变量x的取值范围0x34【分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）和（0，1），可以求出a、b、c之间的等量关系，再根据顶点在第四象限，可以求出a与b的关系【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）和（0，1）ab+c=0，c=1，即b=a1，顶点在第四象限，0，0，又a0，b0b=a10即a1，b24ac=（a+c）24ac=（ac）20ab

18、+c=0，a+b+c=2b0，a+b+c=2b=2a2，0a1，a+b+c=2b=2a22，2a+b+c02n05【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，6）、（1，6）两点，对称轴x=；点（2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）6【分析】主要利用抛物线的性质【解答】解：由于抛物线y=（m22）x2+2mx+1的对称轴经过点（1，3），对称轴为直线x=1，x=1，8解得m1=1，m2=2由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m22=20，不合题意，应舍去，m=17【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点【分析】解决本题的关键是搞清a、b、c的值，记住二次函数对称轴及顶点坐标公式，图象与x轴的交点的横坐标为此函数值为0时的一元二次方程的解【解答】解：在y=4x2+8x中，a=4，b=8，c=0，这个函数图象的对称轴是：直线x=1，顶点坐标是：（1，4），当y=0，则4x2+8x=0，