新人教版九年级数学上册：《解一元二次方程》教学案

1、21.1 解一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能： 1. 会用开平方法解形如x2=p 或 (mx+n)2=p(p 0) 的一元二次方程2. 探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程过程与方法： 在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。情感态度价值观：体会由未知向已知转化的思想方法【教学重难点】重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程通过配方转化为(x 十 m)2n(n0) 的形式 .【教学过程】一、复习引入【问题】1. 求出下列各式中 x 的值，并说说你的理由（1）x2=9（2）x2=5（ 3） x2 =a（a0）

2、说明：复习平方根的意义，解形如x2=n 的方程，为继续学习引入作好铺垫2. 什么是完全平方式？3. 填上适当的数，使下列各式成立 .（ 1） x2 + 6x+=(x+3)2(2) x2+8x+=(x+)2（3）a2+2ab+=(a+)2(4)a 2 -2ab+=(a-)2二、探索新知【问题】一桶某种油漆可刷的面积为210个同样的正方体1 500 dm，李林用这桶油漆恰好刷完的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？分析：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x ，则一个正方体的表面积为x22，dm6dm根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程：106x2=1500整理，得 x2=25x=5x1 =5

3、,x 2=-5棱长不能为负数，所以盒子的棱长为5 dm说明：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义 （即开平方法） 来求出方程的解 让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程归纳： 一般地，对于方程x2p（1）当 P 0 时，方程有两个不等的实数根（2）当 P=0时，方程有两个相等的实数根（3）当 P 0 时，方程没有实数根【探究】你认为怎样解方程(x3)25 ？学生独立分析问题，发现和【问题】中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到 x35 ，于是得到 x135 ， x235归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为

4、两个一元一次方程说明：在学生讨论方程的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤【探究】 怎样解方程 x26x40 ？归纳： 1. 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；2. 配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程说明：引导学生根据降次的思想， 利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程【例题讲解】例：解下列方程（1）x2 x；（ ） 2x21 3x；（ ） 3x26 x 4 0 8 +1=023学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律经过分析得到（1）中经过移项可以化为x28x1，

5、为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上 42，得到 x28x 421 42 ，得到（ x4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即 x2 3x1 ，方程两边都加上 (3)2 ，方程可以化为 ( x3) 21 ；224416（3）按照（ 2）的方式进行处理总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（ 1）把方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ；（ 2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（ 3）方程两边同时除以二次项系数 a；（ 4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（ 5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后

6、利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解说明：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是 1 的情况该如何处理等），通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程归纳： 一般地，对于方程 ( x n) 2p（1）当 P0时，方程有两个不等的实数根，x1np ， x2np（2）当 P=0时，方程有两个相等的实数根 x1x2n（3）当 P0时，方程没有实数根三、巩固练习教材 9 页第 1、2 题说明：检查学生对基础知识的掌握情况，进一步掌握配方法四、小结作业小结： 1.要熟练直接开平方法和配方法的技巧，来解一元二次方程，2. 掌握配方法解一元二次方

7、程的一般步骤，并注意每一步的易错点。3. 直接开平方飞 =法和配方法解一元二次方程的解题思想： “降次”即由二次降为一次。作业：说明：通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识21.1 解一元二次方程（1）一、选择题1方程 y2160 的根是（）.(A) 4(B)4(C)4(D)无实数根2方程 ( x 2) 24 的根为（）.(A)x14, x24(B)x14, x20(C)x10, x22(D)x14, x203用配方法解方程 x 28x5 0 ，正确的变形为（）.(A)(x6)211(B)( x4) 211(C)(x4) 211(D)以上都不对4若式子 x2mx4 是完全平方式 ,

8、则 m 的值是 ().9(A)4(B)4(C)4(D)233335方程 (2 x5) 20 的解的情况是 ().(A) 有两个相等的实数根(B)只有一个实数根(C) 有两个不等的实数根(D)没有实数根6（山东聊城） 用配方法解一元二次方程ax2bxc0（ a0），此方程可变形为（）A ( xb ) 2b24acB (xb ) 24ac b22a4a22a4a2C ( xb ) 2b24acD (xb ) 24ac b22a4a22a4a2二、填空题7方程 2.5(x 0.3)21.60 的根是.8根据题意填空：(1)x26x_( x_ )2 ； (2)x25x _( x_ )2；(3)x24

9、x_( x_ )2(4)4 x212x_(2 x3)23（2014甘肃省白银市）一元二次方程（a）x2ax a21=0的一个根为，则 a=9+1+0三、解答题10用直接开平方法解方程:(1) 3x2 27 0；(2)22；5x 1.5 011用配方法解方程：(1) x24x 2 ；(2)x23x70 ；4(3)4x28x3 ；(4)4x24x1018x ；12.（河北省）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2bxc0(a0) 的求根公式时，对于b 24ac0 的情况，她是这样做的：由于 a 0，方程 ax2bx c 0 变形为：x2b xc , 第一步aax2b x( b )2c( b ) 2 ， 第二步a2aa2a( xb ) 2b24ac， 第三步2a4a 2xbb 24ac (b24ac 0) ， 第四步2a4axbb 24ac 第五步2a（1）嘉淇的解法从第 _步开始出现错误；事实上，当b240 时，方程 ax2bx c 0( a 0)ac的求根公式是 _（2）用配方法解方程x22 x240 参考答案：1D； 2 B；3.B；4A；5A 6 A7 x11.1, x20.5 ；8 (1)9 ， 3； (2)25， 5； (3)4 ， 2； (4)9；42939 1;10 解 (1)x13, x23 ；(2)x115 , x215 ；221