专题研究：等差数列及前n项和归纳总结及典型例题

1、等差数列及其前n项和【高考导向】1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题2考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用【教材地位】数列这一章在高中教材当中的地位相当重要，既是与前面函数等一系列内容有交叉部分，又能与后面的不等式等内容衔接上。高考中占据相当大的分值，大题中会出现一题，前面小题也会出现。所以这一节很重要，对于每一位学员来说，很有必要学好。【重难点】1等差数列的判断及证明2等差数列常见性质及推导3运用基本量法求解等差数列的基本量问题4等差数列的性质、前n项和公式及综合应用【知识梳理】1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数

2、列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示记：（d为公差）（，）2等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.推广公式： 变形推广：3、等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式：（其中a、b是常数，所以当d0时，sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（证明方法） （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）等差中项：数列是等差数列 （3）数列

3、是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中a、b是常数）。注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列6、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）7、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的 一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为

4、常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4）、为等差数列，则都为等差数列 (5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 (6) an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列（7） 、的前和分别为、，则（8） 等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和，当然也有，则（9）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和当项数为偶数时，当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）8、求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函

5、数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若s p = s q则其对称轴为9、解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。【例题精选】考向1：等差数

6、列的概念【例1】（2001天津理，2）设sn是数列an的前n项和，且sn=n2，则an是（ ）a.等比数列，但不是等差数列b.等差数列，但不是等比数列c.等差数列，而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列答案：b；解法一：an=an=2n1（nn）又an+1an=2为常数，常数an是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=snsn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。考向2：等差数列基本量的计算【例2】(2011福建)

7、在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值审题视点 第(1)问，求公差d；第(2)问，由(1)求sn，列方程可求k.解 (1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以sn2nn2.进而由sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或k5.又kn*，故k7为所求 等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了

8、用方程思想解决问题的方法【训练1】 (2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，a9，由题意可得a1a2a3a43，a7a8a94，设等差数列an的公差为d，则有4a16d3，3a121d4，由可得d，a1，所以a5a14d4.答案 考向3： 等差数列的判定或证明【例3】已知数列an的前n项和为sn且满足an2snsn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式审题视点 (1)化简所给式子，然后利用定义证明(2)根据sn与

9、an之间关系求an.(1)证明 ansnsn1(n2)，又an2snsn1，sn1sn2snsn1，sn0，2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解 由(1)知(n1)d2(n1)22n，sn.当n2时，有an2snsn1，又a1，不适合上式，an 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断【训练2】 已知数列an的前n项和sn是n的二次函数，且a12，a22，s36.(1)求sn；(2)证明：数列an是等差数列(1)解 设snan2bnc(a0)，则解得：a2，b4，c0.sn2n24n.(2)证明 当

10、n1时，a1s12.当n2时，ansnsn12n24n2(n1)24(n1)4n6.an4n6(nn*)当n1时符合上式，故an4n6，an1an4，数列an成等差数列考向4： 等差数列前n项和的最值【例:4】设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和sn及使得sn最大的序号n的值审题视点 第(1)问：列方程组求a1与d；第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决解 (1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，snna1d10nn2.因为sn(n5)225，所以当n5时，sn取得最大

11、值 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值(2)利用等差数列的前n项和snan2bn(a、b为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值【训练3】 在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值解 法一 a120，s10s15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即当n12时，an0，n14时，an0.当n12或13时，sn取得最大值，且最大值为s12s131220130.法二 同法一求得d.sn20nn2n2.nn*，当n12或13时，sn

12、有最大值，且最大值为s12s13130.法三 同法一得d.又由s10s15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.考向5：等差数列通项公式【例:5】设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）a b c d解析：，将代入，得，从而。选b。点评：应用等差数列的通项公式将因式转化为只含首项和公差的式子，变元减少，因式就容易处理了。【例:6】已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）证明解析：（1）（i）解：设等差数列的公差为d。由即d=1。所以即（ii）证明因为，所以 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式

13、解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。考向6：等差数列的前n项和公式【例:7】（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）a.13项b.12项c.11项d.10项（2）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）a.1 b.2 c.4 d.6（3）设sn是等差数列an的前n项和，若，则（ ）a b c d解析：（1）答案：a设这个数列有n项n13（2）答案：b前三项和为12，a1a2a312，a24a1a2a348，a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a

14、1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选b.（3）答案为a；点评：本题考查了数列等差数列的前n项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力。【例:8】设an为等差数列，sn为数列an的前n项和，已知s77，s1575，tn为数列的前n项和，求tn。解析：（1）设等差数列an的公差为d，则sn=na1n（n1）ds77，s1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，数列是等差数列，其首项为2，公差为，tnn2n评述：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解。考向7：等差数列的性质及变形公式【例:9】（1）设an（nn*）是等

15、差数列，sn是其前n项的和，且s5s6，s6s7s8，则下列结论错误的是（ ）a.d0b.a70c.s9s5d.s6与s7均为sn的最大值（2）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）a.130 b.170 c.210 d.260解析：（1）答案：c；由s5s6得a1+a2+a3+a50，又s6=s7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由s7s8，得a8s5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然c选项是错误的。（2）答案：c解法一：由题意得方程组，视m为已知数，解得，。解法二：设前m项的和为b1，第m+1

16、到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m项之和s3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=s1=30，a2=s2s1=70，从而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.s3=a1+a2+a3=210。点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不

17、变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。【例10】设等差数列的前n项和为sn，已知前6项和为36，sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.审题视点 在等差数列 an中，若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qn*)用此性质可优化解题过程解 由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又sn324，18n324.n18. 本题的解题关键是将性质mnpqamanapaq与前n项和公式sn结合在一起，采用整体思想，简化解题过程【训练4】 (1)设数列an的首项a17，且满足an1an2(nn)，则a1a2a17_.(2)等差数列an中，a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20项和等于_解析 (1)an1an2，an为等差数列an7(n1)2，a17716225，s17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18