七年级下数学专题复习相交线与平行线培优训练

1、七年级数学：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做_；如果两个角都在两直线

2、之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_.5平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_.6平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：_.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_.7在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_.8平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：_.

3、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：_。.方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例1如图(1)，直线a与b平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3的度数。解：ab，l34（两直线平行，内错角相等）1+32+4180(平角的定义)3a12(等式性质)24b则3x+705x+22解得x=24即1142.3180-138图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例2已知：如图(2)，abef

4、cd，eg平分bef，b+bed+d=192，b-d=24，求gef的度数。ab解：abefcdgb=bef，def=d（两直线平行，内错角相等）b+bed+d=192（已知）ef即b+bef+def+d=192dc2（b+d）=192（等量代换）则b+d=96（等式性质）b-d=24（已知）图(2)b=60（等式性质）即bef=60（等量代换）eg平分bef（已知）gef=12bef=30（角平分线定义）例3如图（3），已知abcd，且b=40，d=70，求deb的度数。解：过e作efababcd（已知）cefcd（平行公理）bef=b=40def=d=70（两直线平行，d内错角相等）deb

5、=def-befdeb=d-b=30abef评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）例4已知锐角三角形abc的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：ha+hb+hca+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段a证明：由垂线段最短知，hac，hba，hcb以上三式相加得ha+hb+hca+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。bhac2垂线段最短。例5如图（4），直线ab与cd相交于o，efab于f，ghcd于h，求证ef与gh必相交。e分析：欲证ef与gh相交，直接证

6、很困难，可考虑用反证g法。ad证明：假设ef与gh不相交。hfef、gh是两条不同的直线ocb.efghefabghab又因ghcd故abcd(垂直于同一直线的两直线平行)图（4）这与已知ab和cd相交矛盾。所以ef与gh不平行，即ef与gh必相交评注：本题应用结论：(1)垂直于同一条直线的两直线平行。(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例6平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个

7、交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；则n条直线共有交点个数：1+2+3+(n-1)=12n(n-1)评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例76个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有33=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条

8、数为：1+2+3+(n-1)=例810条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？12n(n-1)推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+1解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域1n(n+1)=(n2+n+2)块不同22.的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少

9、块不同的区域？例9平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于1800n证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角n(n-1)22n(n-1)对，即2n(n-1)个角平面上任取一点o，将这n条直线均平行移动过点o，成为交于一点o的n条直线，这n条直线将以o为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：a1、a2、a3、a2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条ol3l2ln若这2n个角均大于，则a1+a2+a3+a2n2n=360,故a1、a2、a3、a2n中至少有一个小于，直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。18001

10、800nn而a1+a2+a3+a2n=360,产生矛盾1800n即原来的2n(n-1)中至少有一个角不小于1800n评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例10（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：（a）在平面上任取一点a。过a作两直线m1与n1。在n1上取两点b，c，在m1上取两点d，g。过b作m2m1，过c作m3m1，过adgm1d作n2n1，过g作n3n1，这

11、时m2、m3、n2、n3交得e、f、h、i四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，behm21n2n所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得nfcim33其中每条直线都恰与另外3条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有3721个交点，但每个交点分属两条直线，被重复.计数一次，所以这7条直线交点总数为21210.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的7条直线是画不出

12、来的。三、巩固练习1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条a6b7c8d92平面上三条直线相互间的交点个数是（）a3b1或3c1或2或3d不一定是1，2，33平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）a36条b33条c24条d21条4已知平面中有n个点a,b,c三个点在一条直线上，a,d,f,e四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（）（a）9（b）10（c）11（d）125若平行直线ab、cd与相交直线ef、gh相交成如图示的图形，则

13、共得同旁内角（）a4对b8对c12对d16对6如图，已知fdbe，则1+2-3=()a90b135c150d180ega3a1eabfg1cdcbcdh第5题f2b第6题ef2第7题d7如图，已知abcd，1=2，则e与f的大小关系；8平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有交点9平面上3条直线最多可分平面为个部分。10如图，已知abcdef，psgh于p，frg=110，gapb则psq。cqd11已知a、b是直线l外的两点，则线段ab的垂直平分线与直线的交点个数是。selfr第10题h12平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13已知：

14、如图，decb，求证：aed=a+b14已知：如图，abcd，求证：b+d+f=e+g.abaefdegcbc第13题第14题15如图，已知cbab，ce平分bcd，de平分cda，dedc+ecd=90，求证：daab16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？ade18一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多b少条不同直线？第15题c19平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。20平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？画出图

15、形。答案15个点中任取2点，可以作4+3+2+110条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+13条，共可作10-3+18（条）故选c2平面上3条直线可能平行或重合。故选d3对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选d4由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出n(n-1)条直线，若a,b,c三点不在一条2直线上，可以画出3条直线，若a,d,e,f四点不在一条直线上，可以画出6条直线，n(n-1)2-3-6+2=38

16、.整理得n2-n-90=0,(n-10)(n+90)=0.n+90n=10,选b。5直线ef、gh分别“截”平行直线ab、cd，各得2对同旁内角，共4对；直线ab、cd分别“截”相交直线ef、gh，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+616对.aegba31a1efgcdccdbh第5题f2b第6题ef2d6fdbe2=agfagc=1-31+2-3=agc+agf=180选b7解：abcd（已知）bad=cda（两直线平行，内错角相等）1=2（已知）bad+1=cda+2（等式性质）即ead=fdaaefdef8解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直

17、线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+16个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉56=30个交点，所以有交点的个数应为45-3015个9可分7个部分10解abcdefapqdqg=frg=110gapb同理psq=apspsq=apq-spq=dqg-spqcsqd=110-90=20110个、1个或无数个elfr第10题h1）若线段ab的垂直平分线就是l，则公共点的个数应是无数个；2）若abl，但l不是ab的垂直平分线，则此时ab的垂直平分线与l是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共

18、点个数为0个；3）若ab与l不垂直，那么ab的垂直平分线与直线l一定相交，所以此时公共点的个数为1个124条直线两两相交最多有1+2+36个交点13证明：过e作efba2=a（两直线平行，内错角相等）decb，efba1=b（两个角的两边分别平行，这两个角相等）1+2=b+a（等式性质）fadecb即aed=a+b14证明：分别过点e、f、g作ab的平行线eh、pf、gq，则abehpfgq（平行公理）ababeheh.pcgfqdabebeh（两直线平行，内错角相等）同理：hefefppfgfgqqgdgdcabe+efp+pfg+gdcbeh+hef+fgq+qgd（等式性质）即b+d+e

19、fg=bef+gfd15证明：de平分cdace平分bcdedc=adeecd=bce(角平分线定义)adcda+bcd=edc+ade+ecd+bce=2（edc+ecd）180edacb又cbabdaabbc第15题16两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：2+43+3=1717（1）2个圆相交有交点211个，第3个圆与前两个圆相交最多增加224个交点，这时共有交点2+226个第4个圆与前3个圆相交最多增加236个交点，这时共有交点2+22+2312个第5个圆与前4个圆相交最多增加248个交点5个圆两两相交最多交点个数为：2+22+23+2420（2）2个圆相交将平面分成2个区域3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有224