岩羊生长问题

1、岩羊生长问题1、摘要本文建立了某地区岩羊增长的预测模型，对2005年的岩羊数量做出了预测，最后提出了有关岩羊的控制与管理的措施。对数据进行分析，决定分段建立模型。模型一：第一阶段岩羊生长环境资源充足，岩羊数量随时间增长较快，建立马尔萨斯人口模型，用matlab拟合数据，得到参数；模型二：第二阶段岩羊的数量急剧减少，考虑到人为捕猎和环境恶化的因素，建立相应的logistic人口阻滞增长模型；第三阶段虽然数据趋势不同，也属于阻滞增长模型（logistic模型），由于人为的控制了捕杀行为，岩羊数呈增长趋势，环境资源限制作用逐渐增强。最后，分别对模型与模型进行优缺点评价与推广。2、问题重述 某地区在某

2、地区岩羊的数量在近二十年的统计数量(单位:十万)如下：年份197819811984198719901993199619992002岩羊数(十万)2.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.58171 分析该数据，得出该地区岩羊的生长规律； 2 指出在哪些年内岩羊的增长有异常现象，你认为可能是哪些原因造成的，并提出相关的资源合理利用的建议；3 预测2005年时岩羊的数量。3、符号说明1、t: 记第一阶段1978年为t=0时刻; 记第二阶段1987年为t=0时刻; 记第三阶段1996年为t=0时刻;2、：t=0时岩羊数为x0,时

3、刻t的岩羊数量为；3、r：为固有岩羊增长率，r1为第一阶段的岩羊增增长率，r2为第二阶段的岩羊增长率，r3为第三阶段的岩羊增长率；4、：自然资源和环境条件年容纳的岩羊最大容量5、：表示在外界影响下随岩羊种群数量变化的实际增长率6、：常数 7、：岩羊种群数量8、：为随时间变化的岩羊数量 4、模型假设1、假设岩羊增长在各个阶段是相互独立的；2、假设岩羊增长率在各个阶段时常数，分别为r1, r2, r3，(或各阶段内岩羊的单位增长率与当时的岩羊数量成正比)；5、问题分析首先，对数据进行拟合，再具体分析。在1978-1984年，数据的是呈增长状态的，而1987-1993年是呈下降趋势的，而1996-2

4、002年继续增长状态。但从曲线的状态来看，岩羊的数量不可能永远直线上升。所以，将岩羊的生长分段考虑。考虑到最初的资源以及对岩羊的生长的影响因素较小，第一阶段符合指数增长模型（马尔萨斯人口模型），第二阶段19871993年岩羊数量明显降低，可能是由于人类的过度捕猎，或是生态环境恶劣造成食物链破坏。岩羊人为生存条件变恶劣，属于负增长。第三阶段，人为的猎捕行为得到了限制，岩羊的生存环境得到平衡，生物属于阻滞模型。5、模型的建立和求解5.1问题一：我们将岩羊的生长规律分为三个阶段来考虑分析5.1.1第一阶段：1由于量大，并且在第一阶段内呈持续增长状态，符合马尔萨斯人口模型（指数增长模型），可视为连续、

5、可微函数，t到时间内岩羊的增量为：于是满足微分方程： （1.1）2模型求解：解微分方程（1.1）得： （1.2） 3模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预测岩羊的数量，必须对其中的参数r进行估计，这可以通过表中的数据1978-1984年的数据通过拟合得到：r=0.16784模型检验：将r=0.1678,t=0,3,6带入公式，求出用指数增长模型预测的1978-1984年的岩羊数量，见表1表1 岩羊在第一阶段实际数量与按指数增长模型计算的数量比较t年实际岩羊数量（十万）指数增长模型预测数量（十万）误差（%）019782.31969319814.508534.22526.28619846.905

6、686.98991.225.1.2第二阶段：1可以从图中看出，19871993年岩羊数量明显降低，可以看出这段时间人类猎杀岩羊程度很高。可以把这段时间看成岩羊生存条件变恶劣，该阶段岩羊的增长是属于负增长的，平衡点下降,减函数。阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数。则它应是减函数。假定：设为的线性函数,最简单假定： （线性函数） 2建立模型：当x=时，增长率应为0，即r()=0,于是代入得： （2.1）解得模型为： ( 2.

7、2 )3模型求解： 解方程组（2.2）得 （2.3） 根据方程（2.3）作出 曲线图，见图1-1，由该图可看出岩羊增长率随岩羊数量的变化规律.根据结果（5）作出xt曲线，见图1-2，由该图可看出岩羊数量随时间的变化规律. o待添加的隐藏文字内容2x图1-1 曲线图 xto图1-2 xt曲线图4 模型的参数估计：利用表中1987-1993的数据对r和拟合得：r2= 0.1667, =5. 5 模型检验：将r2= 0.1667, =5代入公式（2.3），求出用指数增长模型预测的1987-1993的岩羊数量，无误差，也可将方程（2.2）离散化，得 t=0,1,2, (2.4)5.1.3 第三阶段1可

8、以从图中看出，19962002年岩羊数量又开始回升，可以看出这段时间人类对岩羊进行了保护，并且得到了一定成效。它当成自然环境中生物增长的“s”型增长规律，符合阻滞增长模型（logistic模型）。和第二阶段相比，该阶段的岩羊数量是正常上升的。2模型： ( 3 )将1996，1999，2002年的数据进行拟合得到：r3= 0.3333 =10模型检验:将将1996，1999，2002年的数据代入检验，无误差。5.2问题二：从图形中看，很明显，第二阶段岩羊的数量急剧下降，有一场现象。5.2.1 异常：由于1984以后岩羊的数量反而减少，知道1993年才继续上升，所以，1984-1993年之间是岩羊

9、数量的异常阶段。分析：1、 可能是人类不分时节的大肆捕杀，造成了岩羊的数量急剧下降，无法维持继续增长；2、 可能是环境的恶化，造成资源匮乏，竞争激烈；3、 也可能是外来物种的入侵，造成食物链动荡，竞争激烈化。4、从各阶段固有增长率数据=0.1678，=0.1667，=0.3333，可以看出第三阶段的固有增长率明显增高，可能是人类建立了自然保护区，对其进行了有效保护。如何让资源合理利用，就要在捕杀情况下不造成灭绝危机，保持岩羊的增长率，即为时设第三段为以后的岩羊生长情况，且不改变当=5时 要使得每年岩羊数量维持在，即5（万只），每年捕猎的数量将保持在小于或等于（5.8256-5=0.8256）（

10、万只），使得既能保持岩羊的数量又能保证捕猎的数量。5.3问题三预测2005年的岩羊数量可通过第三阶段得出的公式即 得出：=9.8419（万只）6、讨论优缺点优点：将岩羊的生长情况分段进行考虑，并且建立了指数增长模型和阻滞模型，用matlab进行了拟合，减少误差缺点：数据太少，导致得出的结论任然会存在一定的误差，可以进行插值或是回归模型减少因为数据少而存在的误差。7、模型改进 由于考虑问题的复杂性，我们忽略了竞争者以及天敌的因素，以及岩羊的年龄、出生率、死亡率、夭折情况。附录：第一阶段的数据拟合general model: f(x) = x0*exp(r*(x-1978)coefficients (with 95% confidence bounds): r = 0.1678 (-0.1195, 0.4552) x0 = 2.554 (-1.203, 6.311)第二阶段的数据拟合：general model: f(x) = xm./(1+(xm./6.00512-1)*exp(-r*(x-1987)coefficients (with 95% confidence bounds): r = 0.1667 (0.1667, 0.1667) x