高考数学备考复习 易错题十六：坐标系与参数方程(选修4-4)

1、2020 高考数学备考复习 易错题十六：坐标系与参数方程（选修 4-4） 一.单选题（共 10 题；共 20 分）1.在极坐标方程中，曲线 c 的方程是 =4sin，过点（4， ）作曲线 c 的切线，切线长为（ ） a. 4 b. 7 c. 2 d. 322.在极坐标系中，曲线 c：=2sin 上的两点 a，b 对应的极角分别为, ， 则弦长|ab|等于（ ）a. 1 b. c. d. 23.原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为(-2,2)的点的极坐标是（ ）a. （4， ）b. （4， ）c. （4，）d. （4， ）4.在直角坐标平面内，以坐标原点 o 为极点，x 轴的非负

2、半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同）已知曲线 c 的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）若点 p 在曲线 c 上，且 p 到直线 l 的距离为 1，则满足这样条件的点 p 的个数为（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 45.（2013安徽）在极坐标系中圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）a. =0（r）和 cos=2 b. =（r）和 cos=2c. =（r）和 cos=1 d. =0（r）和 cos=16.（2014安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是

3、 线 l 被圆 c 截得的弦长为（ ）（t 为参数），圆 c 的极坐标方程是 =4cos，则直a. b. 2 c. d. 27.将点 m 的直角坐标（，1）化成极坐标（ ）a. （2，）b. （2，）c. （2， ）d. （2， ）8.极坐标系中，圆 =1 上的点到直线 cos+sin=2 的距离最大值为（ ）a. b. +1 c. -1 d. 29.若 p（2，）是极坐标系中的一点，则 q（2， ）、r（2， ）、m（2，）、n（2，2k）（kz）四点中与 p 重合的点有（ ）个第 1 页 共 12 页2 22 2a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 10.曲线 （ 为参数）的对称中心（

4、）a. 在直线 y=2x 上b. 在直线 y=2x 上c. 在直线 y=x1 上d. 在直线 y=x+1 上二.填空题（共 3 题；共 3 分）11. 椭圆 （ 为参数）的焦距为_12. 在极坐标系中，曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为_13. 在以 o 为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于 a、b 两点， aob 是等边三角形， 则 a 的值为_三.综合题（共 7 题；共 70 分）14.（2016全国）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线 c 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正1半轴为极轴，建

5、立极坐标系，曲线 c 的极坐标方程为 sin（+2）=2(1)写出 c 的普通方程和 c 的直角坐标方程；1 2(2)设点 p 在 c 上，点 q 在 c 上，求|pq|的最小值及此时 p 的直角坐标1 215.（2016全国）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线 c 的参数方程为1（ 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 c 的极坐标方程为 sin2（+）=2(1)写出 c 的普通方程和 c 的直角坐标方程；1 2(2)设点 p 在 c 上，点 q 在 c 上，求|pq|的最小值及此时 p 的直角坐标1 216.（2012辽宁）选修

6、 44：坐标系与参数方程在直角坐标 xoy 中，圆 c ：x +y =4，圆 c ：（x2） +y =41 2(1)在以 o 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 c ， c 的极坐标方程，并求出圆 c ，1 2 1c 的交点坐标（用极坐标表示）；2(2)求圆 c 与 c 的公共弦的参数方程1 217.（2013新课标）（选修 44：坐标系与参数方程）已知曲线 c 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 1坐标系，曲线 c 的极坐标方程为 =2sin2(1)把 c 的参数方程化为极坐标方程；1(2)求 c 与 c 交点的极坐标（0，02）1 2

7、18.（2014福建）已知直线 l 的参数方程为 为常数）（t 为参数），圆 c 的参数方程为 （第 2 页 共 12 页(1) 求直线 l 和圆 c 的普通方程；(2) 若直线 l 与圆 c 有公共点，求实数 a 的取值范围19.（2014新课标 i）已知曲线 c：+ =1，直线 l： （t 为参数）(1) 写出曲线 c 的参数方程，直线 l 的普通方程(2) 过曲线 c 上任意一点 p 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 a，求|pa|的最大值与最小值20.（2014新课标 ii）在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 c的极坐标方程为 =

8、2cos，0， (1)求 c 的参数方程；(2)设点 d 在半圆 c 上，半圆 c 在 d 处的切线与直线 l：y= 求直线 cd 的倾斜角及 d 的坐标x+2 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，第 3 页 共 12 页22 2222 2 2答案解析部分一.单选题1.【答案】c【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：由曲线 c 的方程 =4sin，可得 =4sin， x +y =4y，配方为 x +（y2） =4圆心 c（0，2），r=2点（4， ）化为直角坐标 p cp=2， 即 p切线长=故选：c【分析】由曲线 c 的方程 =4sin，可得 =4sin，化为 x +（y2） =4

9、圆心 c（0，2），r=2点（4，）化为直角坐标 p 利用切线长=即可得出2.【答案】c【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：a、b 两点的极坐标分别为化为直角坐标为故，故选 c【分析】直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可 3.【答案】b【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：x=2，y=2 =；=4；又 x=cos=2，cos=且 为第三象限角，= ，=；第 4 页 共 12 页2 2 2 2 22 2 22 2该点的极坐标为（4，）故选：b【分析】根据极坐标公式，求出 、 即可4.【答案】c【考点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】解：曲线 c 的极

10、坐标方程为 =4cos，即 =4cos，化为 x +y =4x，化为（x2） +y =4， 可得圆心 c（2，0），半径 r=2直线 l 的参数方程为 （t 为参数）化为 4=0则圆心 c 到直线 l 的距离 d= =1若点 p 在曲线 c 上，且 p 到直线 l 的距离为 1，则满足这样条件的点 p 的个数为 3故选：c【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到 直线的距离即可判断出结论5.【答案】b【考点】圆的切线方程，简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆 =2cos 是以（1，0）为圆心，1 为半径的圆故圆的两

11、条切线方程分别为 故选 b（r），cos=2【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出6.【答案】d【考点】直线与圆的位置关系，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程【解析】【解答】解：直线 l 的参数方程是 （t 为参数），化为普通方程为 xy4=0； 圆 c 的极坐标方程是 =4cos，即 =4cos，化为直角坐标方程为 x +y =4x，即 （x2） +y =4，表示以（2，0）为圆心、半径 r 等于 2 的圆弦心距 d= =r，弦长为 2 =2 =2，第 5 页 共 12 页2 2故选：d【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长

12、 7.【答案】b【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解： ，m 的直角坐标（ ，1）， ， ，点 m 在 四象限， 点 m 的极坐标为（2，）故选 b【分析】本题直接利用直角坐标与极坐标的关系，求出点的极坐标8.【答案】c【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：圆 =1 上的点到直线 cos+sin=2 分别化为直角坐标方程：x +y =1，x+y2=0圆心（0，0）到直线的距离 d= =，因此圆 =1 上的点到直线 cos+sin=2 的距离最大值为+1故选：c【分析】把极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 d，即可得出要求的最大值 9.【答案】d【考点】简单

13、曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：p（2，）是极坐标系中的一点，可以化为：p（2，）则 q（2， ）、r（2，因此与点 p 重合的点有 4 个 故选：d）、m（2， ）、n（2，2k ）（kz）四点都与 p 重合，【分析】p（2，）是极坐标系中的一点，可以化为：p（2， ）利用极坐标的意义即可得出答案10.【答案】b【考点】圆的参数方程【解析】【解答】解：曲线 （ 为参数）表示圆，圆心为（1，2），在直线 y=2x 上，第 6 页 共 12 页2 2 22 2 2 22 2故选：b【分析】曲线二.填空题11.【答案】6【考点】椭圆的参数方程（ 为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论【解析】

14、【解答】解：消去参数 得：，所以，c= =3，所以，焦距为 2c=6 故答案为 6【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距12.【答案】5+12【考点】两点间的距离公式，点的极坐标和直角坐标的互化【解析】【解答】解：由 =cos+1 得，cos=1，代入 cos=1 得 （1）=1，解得 = 5+12 或 =（舍），所以曲线 =cos+1 与 cos=1 的公共点到极点的距离为 5+12 ，故答案为： 5+12 【分析】联立 =cos+1 与 cos=1 消掉 即可求得 ，即为答案13.【答案】3【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】【解答】解：直线 sin=a 即 y=a，（a0），曲线

15、 =4sin， 即 =4sin，即 x +（y2） =4， 表示以 c（0，2）为圆心，以 2 为半径的圆，aob 是等边三角形，b（ 33 a，a），代入 x +（y2） =4，可得（ 33 a） +（a2） =4，a0，a=3故答案为：3【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出 b 的坐标的值，代入 x +（y2） =4，可得 a 的值 三.综合题第 7 页 共 12 页22222 22 222 2 2214.【答案】（1）解：曲线 c 的参数方程为1（ 为参数），移项后两边平方可得+y=cos +sin =1，即有椭圆 c ：+y =1；1曲线 c 的极坐标方程为 sin（+ 2）=2

16、，即有 （sin+ cos）=2,由 x=cos，y=sin，可得 x+y4=0，即有 c 的直角坐标方程为直线 x+y4=02（2）解：由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时， |pq|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，联立可得 4x +6tx+3t 3=0，由直线与椭圆相切，可 =36t 16（3t 3）=0， 解得 t=2，显然 t=2 时，|pq|取得最小值，即有|pq|= =，此时 4x 12x+9=0，解得 x=，即为 p（ ， ）【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可

17、得到 c 的普通方程，运用 x=cos，y=sin，1以及两角和的正弦公式，化简可得 c 的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆2相切时，|pq|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0， 求得 t，再由平行线的距离公式，可得|pq|的最小值，解方程可得 p 的直角坐标；本题考查参数方程和 普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整 理的运算能力，属于中档题15.【答案】（1）解：曲线 c 的参数方程为1（ 为参数），移项后两边平方可得+y =cos +sin

18、=1，即有椭圆 c ： 1+y=1；曲线 c 的极坐标方程为 sin（+ 2）=2，第 8 页 共 12 页2 22 222 2 2即有 （sin+ cos）=2由 x=cos，y=sin，可得 x+y4=0，即有 c 的直角坐标方程为直线 x+y4=02（2）解：由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时， |pq|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，联立可得 4x +6tx+3t 3=0，由直线与椭圆相切，可 =36t 16（3t 3）=0， 解得 t=2，显然 t=2 时，|pq|取得最小值，即有|pq|= =，此时 4x 12x+9=0，解得 x

19、=，即为 p（ ， ）【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 c 的普通方程，运用 x=cos，y=sin，1以及两角和的正弦公式，化简可得 c 的直角坐标方程；2（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|pq|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直 线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|pq|的最小值， 解方程可得 p 的直角坐标本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要 是相切，考查化简整理的

20、运算能力，属于中档题16.【答案】（1）解：由，x +y = ，可知圆，的极坐标方程为 =2，圆解，即得：=2， ，的极坐标方程为 =4cos，故圆 c ， c 的交点坐标（2， 1 2），（2， ）（2）解法一：由得圆 c ， c 的交点的直角坐标（1， 1 2），（1，-）故圆 c ， c 的公共弦的参数方程为 1 2（或圆 c ， c 的公共弦的参数方程为 1 2）第 9 页 共 12 页2 2 22 22 222 22 22 2解法二：将 x=1 代入得 cos=1从而于是圆 c ， c 的公共弦的参数方程为1 2【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程【解析】【分析】（1）利用，

21、以及 x +y = ， 直接写出圆 c ， c 的极坐标方程，求出1 2圆 c ， c 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（2）解法一：求出两个圆的直角坐标， 1 2直接写出圆 c 与 c 的公共弦的参数方程1 2解法二：利用直角坐标与极坐标的关系求出 ，然后求出圆 c 与 c 的公共弦的参数方程1 217.【答案】（1）解：曲线 c 的参数方程式1（t 为参数），得（x4） +（y5） =25 即为圆 c 的普通方程，1即 x +y 8x10y+16=0将 x=cos，y=sin 代入上式，得 8cos10sin+16=0，此即为 c 的极坐标方程；1（2）解：曲线 c 的极坐标

22、方程为 =2sin 化为直角坐标方程为：x +y 2y=0，2由 ，解得或 c 与 c 交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ）1 2【考点】极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）对于曲线 c 利用三角函数的平方关系式 sin t+cos t=1 即可得到圆 c 的普通方程；1 1再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 c 的极坐标方程；（2）先求出曲线 c 的极坐标方程；再将1 2两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出 c 与 c 交点的极坐1 2标18.【答案】（1）解：直线 l 的参数方程为 ，消去 t 可得 2xy2a=0；圆 c 的参数方程为，两式平方相加可得 x +y =16（2）解：圆心 c（0，0），半径 r=4由点到直线的距离公式可得圆心 c（0，0）到直线 l 的距离 d=直线 l 与圆 c 有公共点，d4，即4，解得2 a2第 10 页 共 12 页22 2【考点】直线的参数方程，圆的参数方程【解析】【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离 d， 再根据直线 l 与圆 c 有公共点 dr