天体力学：第三章 万有引力

1、第三章 万有引力,天体力学,第一节 速度和加速度分量,二维极坐标 三维球坐标 符号说明： 字母上加“”表示矢量，加“”表示单位矢量，加“.”表示对时间的一阶导数，加“.”表示对时间的二阶导数。,二维极坐标,P点的极坐标为(r, ) P点沿着曲线运动,径向、横向单位矢量,径向单位矢量对时间的导数,横向单位矢量对时间的导数,单位矢量的变化率,单位矢量的大小不随时间变化，只是方向发生改变。,P点的速度与加速度,P点的位置矢量：,P点的速度：,P点的加速度：,三维球坐标,球坐标单位矢量,球坐标单位矢量对时间的导数,球坐标单位矢量对时间的导数,球坐标单位矢量对时间的导数,球坐标单位矢量的变化率,单位矢量

2、的大小不随时间变化，只是方向发生改变。,P点的速度与加速度,P点的位置矢量：,P点的速度：,P点的速度与加速度,P点的加速度：,第二节 万有引力定律的建立,本节主要介绍如何利用力学原理从开普勒三大定律推导出牛顿万有引力定律,开普勒三大定律的数学描述,（1）开普勒第一定律 行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。,（1）开普勒第一定律,第一定律描述了天体运动轨道的形状，由于椭圆是一平面曲线，所以它说明了天体的运动轨道面是通过太阳的一个平面。用数学公式表示为：,（2）开普勒第二定律,行星在椭圆轨道上运动时，向径所扫过的面积与经过的时间成正比。 用数学语言可描述为：单位时间内向径扫过

3、的面积为常数，即,（3）开普勒第三定律,行星绕太阳公转周期的平方与行星轨道椭圆半长径的立方成正比。 第三定律说明行星沿着椭圆轨道绕太阳运行一周所需时间只与椭圆轨道半长径有关。,（3）开普勒第三定律,数学描述为：,T：行星的公转周期 a：椭圆轨道半长径 k：对所有行星为同一常数,万有引力定律的推导,牛顿万有引力定律： 宇宙中任何两个质点都以一种力相互吸引，这个力与它们的质量成正比，而与它们之间相互距离的平方成反比。 推导思路：根据行星的运动反求行星所受的力。,（1）行星的加速度,（2）行星所受的力,（2）行星所受的力,（3）证明G对所有行星为同一常数,注意：,在推导过程中只考虑了行星受太阳引力，

4、实际上太阳也受到行星同样大小方向相反的引力，故太阳也存在相应运动。当考虑相对运动时，开普勒第三定律中的常数k与行星质量有关。,第三节 万有引力,万有引力是质量与质量之间的一种相互吸引力，简称为引力。 质点的引力 质点组的引力 质体的引力,（1）质点的引力,两质点M和P，质量分别为 m和m，坐标分别为(x,y,z) 和(a,b,c)，则,相对位置矢量：,两点之间距离：,（1）质点的引力,M对P的引力：,三个分量：,（2）质点组的引力,（3）质体的引力,（3）质体的引力,三个分量：,第四节 引力位,场和力位的概念,如果某一空间区域中的每一点都有唯一的一个数量或矢量与之对应，则我们说在这个空间区域中

5、给定了一个数量场或矢量场。例如温度给出了一个数量场，力、磁场强度等给出了一个矢量场。 与引力相关的场叫做引力场，任意质量都产生一个引力场，当将其它的质量置于这个引力场时，就会受到引力的作用。,场和力位的概念,质点、质点组和质体的引力位,（1）质点的引力位,质点、质点组和质体的引力位,（2）质点组的引力位,质点、质点组和质体的引力位,（3）质体的引力位,引力位的性质,在物体外部及边界上，引力位函数及其一阶偏导数是单值、有界并连续的 引力位是无穷远处的正则函数 引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程 引力位在质体内部满足泊松方程,正则性：若吸引质量占据有限空间，则引力位是一个在无穷远处的正则函数，并

6、满足如下等式,调和性：质体引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯(Laplace)方程，即,拉普拉斯(Laplace, Pierre-Simon,marquisde；1749-1827),法国著名数学家和天文学家，天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。 证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名的拉普拉斯定理；发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，最有代表性的专著有天体力学、宇宙体系论和概率分析理论。 补充说明：拉普拉斯曾任拿破仑的老师；拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物，墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他

7、把无穷小量的精神带到内阁里。,泊松方程（或布阿桑或Poisson）：质体引力位在质体内部满足泊松方程，即,泊松（Poisson, Simeon-Denis; 17811840）,法国数学家，1781 年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇；1798年入巴黎综合工科学校深造，1800 年毕业后留校任教， 1802 年任副教授,1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授，1808年任法国经度局天文学家，1809年任巴黎理学院力学教授，1812年当选为巴黎科学院院士；在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等，主要著作还有毛细管作用新理论和热学的数学理论等。,第五节 球对称体的引力位,天体中有许多可以近似看成是球对称的，如气壳、近球状天体等。本节主要介绍几个球对称体的引力位。,圆环中心轴线上的引力与引力位,（1）均质球壳,（1）均质球壳,（1）均质球壳,r+R,r-R,（1）均质球壳,由以上讨论可知：,均质球壳的引力位是连续的，而引力在经过球面时不连续； 另外，均质球壳对其外部一质点的引力位及引力相当于球壳质量集中在球心处的质