多元统计：第四章 正交试验设计

1、正交试验设计,化工产品转化率提高问题,为了提高某化工产品的转化率，需要进行试验，根据以往的经验可知，影响转化率的主要因素有三个：反应温度、反应时间和催化剂。试验的目的是在这三个因子的下述三个水平的各种不同搭配中找出是转化率最高的生产条件。,初三男生50m跑教学方案的优选实验研究,50 m 跑成绩的好坏取决于绝对速度、加速能力、速度力量和速度耐力的强弱。因此, 确定它们为实验的4个因素, 而每个因素根据现有的客观条件选取3 个水平。实验的目的是通过正交实验设计优选出最佳教学方案。,应用正交实验进行教学效果归因研究,研究目的是找到影响教学效果的因素, 确定主要和次要因素, 确定这些因素是独立影响教

2、学效果或可以互相影响, 以便更好利用这些因素提高教学效果。,什么是试验设计,方差分析方法是根据已取得的数据资料有效地分析一个或两个因子对所研究对象的指标的影响程度 试验设计是研究如何科学地安排各种试验因素，使我们能够严格控制试验误差，用较小的人力、物力和时间，最大限度获得丰富而可靠的资料,试验设计与方差分析,完全随机化设计,“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计 “处理”是指可控制的因素的各个水平 “试验单元(experiment unit)”是接受“处理”的对象或实体 在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的，因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使得数据可以按照因素如何影响变量来获取

3、对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析,完全随机化设计-例题分析,【例】一家种业开发股份公司研究出三个新的小麦品种：品种1、品种2、品种3。为研究不同品种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地块种上不同的品种，然后获得产量数据进行分析。这一过程就是试验设计的过程 这里的“小麦品种”就是试验因子或因素，品种1、品种2、品种3就是因子的三个不同水平，称为处理 假定选取3个面积相同的地块，这里的“地块”就是接受处理的对象或实体，称为试验单元 将每个品种随机地指派给其中的一个地块，这一过程就是随机化设计过程,完全随机化设计的“可重复性”原则 每个试验条件下试验可重复进行 如，在上面例子中，由于只抽

4、取3个地块，只能获得3个产量的数据，也就是对应于每个处理的样本容量为1；为获得每个品种的更多数据，必须重复基本试验步骤。假定不是抽取3个地块，而是12个地块，然后将每个品种之一随机地指派给其中的4个地块，这就相当于重复做了4次试验。,完全随机化设计-例题分析,试验数据：,随机化区组设计,先按一定规则将试验单元划分为若干同质组，称为“区组（block） ” 再将各种处理随机地指派给各个区组 比如在上面的例子中，首先根据土壤的好坏分成几个区组，假定分成四个区组：区组1、区组2、区组3、区组4，每个区组中有三个地块 在每个区组内的三个地块以抽签方式决定所种的小麦品种 分组后再将每个品种（处理）随机地

5、指派给每一个区组的设计就是随机化区组设计 试验数据采用无交互作用的方差分析,随机化区组设计-例题分析,试验数据：,因子设计,感兴趣的因素有两个 如：小麦品种和施肥方式 假定有甲、乙两种施肥方式，这样三个小麦品种和两种施肥方式的搭配共有32=6种。如果我们选择30个地块进行实验，每一种搭配可以做5次试验，也就是每个品种(处理)的样本容量为5，即相当于每个品种(处理)重复做了5次试验 考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配试验设计称为因子设计 该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对试验结果的影响 试验数据采用有交互作用的方差分析,因子设计-例题分析,试验数据：,正交试验设计,多个因素多水平的因子

6、的研究，会遇到试验次数太多的具体困难 如，三个四水平的因子，则全部不同水平的搭配共有64（43）个，需做64次试验，成本较高。有时全因子试验甚至无法实施。 问题：能否从全部搭配中挑几个组合来做试验？若能的话，从全部搭配中具体挑选哪几个组合来做试验？ 正交试验设计能既方便，又有效地解决多个多水平的因子的试验设计问题,什么是正交试验设计,研究多因素多水平的又一种设计方法，并进一步分析对所研究对象的指标的影响程度 它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验 是一种高效率、快速、经济的实验设计方法，并可以得到基本令人满意的结果 应用场合：改进产品质量、采用新工艺、试验新产品、改进技术管理

7、,正交试验设计的特点,用正交表安排试验 正交表是一整套规则的设计表格 利用正交表的特点对试验结果进行分析 正交试验设计所具有的“均匀分散性”和“综合可比性”是使试验次数减少，试验效果完美的两个特点 有可能从众多的处理组合中选出最优的处理组合,例：L9(34),L:正交表记号 9:该表有9行，可以做九个不同条件的试验 4:该表有4列，最多只能考虑四个因子 3:这张表的主体中仅有三个不同的数字，每个因子取三个水平,L9(34)正交表安排三因子三水平试验选点示意图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A1,A3,A2,C1,C2,B2,B3,C3,B1,正交表的特点,每个因素的每个水平与另一个因素各

8、水平各碰一次，这就是正交性 每一列中，不同数字出现的次数相等-均匀分散性 任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等-综合可比性 将正交表中的任两行交换，或任两列交换，仍然还是正交表 将某一列中的各数码作对换或轮换，结果仍然是正交表,可以考察两个因子间交互作用的正交表,二水平正交表: L4(23) ， L8(27) L16(215) ，L32(231) 三水平正交表: L9(34) ， L27(313) 四水平正交表: L16(45)， L64(421) 五水平正交表: L25(56),这类正交表的一般代号：Ln(m k )，且满足：,正交表的自由度=n-1 每一列

9、的自由度 =m-1 正交表的自由度= 各列自由度之和,不能考察两个因子间交互作用的正交表,二水平正交表: L12(211)， L20(219) 三水平正交表: L18(37) ， L36(313) 混合水平正交表: L18(237) ， L36(23313),这类正交表的自由度不一定等于各列自由度之和或试验次数n不是水平数的幂次,正交表的表头设计原则,选定正交表后，把因子放到正交表的列上去，称为表头设计 一列只能放一个因子或者一组交互作用,试验设计与实施,明确试验目的，确定因子及其水平 根据因子、水平数选用合适的正交表 进行表头设计，不能有混杂现象 列出试验计划，并按试验计划进行试验，取得试验

10、结果,正交试验的统计分析,明确对指标有显著影响的因子 找出最优生产条件，即最佳的因子水平的组合 最优生产条件下指标的点估计和区间估计,无交互作用的试验设计,【例4.1】三因子三水平无交互作用正交试验 为了提高某化工产品的转化率，需要进行试验，根据以往的经验可知，影响转化率的主要因素有三个：反应温度、反应时间和催化剂。试验的目的是在这三个因子的下述三个水平的各种不同搭配中找出使转化率最高的生产条件。,问题： 1. 用正交表安排试验 2. 根据正交表设计的试验得到的结果，找出三个因子的三个水平的各种不同搭配中使转化率为最高的生产条件,选用正交表: L9(34) 表头设计,SPSS,DATA,Ort

11、hogonal Design,Generate,正交表的计算机实现:,正交表L9(34),试验计划表及试验结果,数据分析,数学模型:,为一般平均 a i ,b j ,c k 分别为A i ,B j ,C k 水平的效应 y为试验结果,要检验假设 H01: a1 = a2 =a3= 0 H02: b1 = b2 =b3= 0 H03: c1 = c2 =c3= 0是否成立 讨论各因子的不同水平的效应是否可以忽略不计的问题,检验 由偏差平方和的分解: 构成F统计量，进行F检验 当 时，拒绝原假设，检验显著。,偏差平方和的计算,正交表每一列的自由度,利用正交表进行方差分析的关键是计算每列的偏差平方和

12、！,其中,S1是由因子A的不同水平及随机误差引起，所以，SA=S1 同理， S2是由因子B的不同水平及随机误差引起， SB=S2 S3是由因子C的不同水平及随机误差引起， SC=S3,S4纯粹是由试验的随机误差引起，所以，S4=Se,不难证明,方差分析表,SPSS,ANALYZE,General Linear Model,Univariate,方差分析表,进入到Options对话框，以计算各因子不同水平对应的均值,Estimated Marginal Means,最优生产条件是: A 3 B 1 C 2,结论,选择最优生产条件，对于无交互作用的正交试验，要根据对重要因素优先确定最优水平，对于不

13、重要因素，则根据提高效率、节约、方便等选择适当水平的原则 最优生产条件是 A 3 B 1 C 2 此最优生产不在9次试验中，这正是正交试验设计的优越性，即通过9次试验数据可以分析三个三水平的27种搭配情况。,最优条件下指标平均值的估计,点估计的原理（方差分析的模型） 由于因子B不显著，故可认为一切效应bj=0 ( j =1,2,3) 一般平均及效应的估计为 最优条件下指标平均值的点估计为,的置信水平为1-的置信区间为 其中,单因子方差分析中的最优条件下指标均值的估计,假设最优条件为水平Ai，则点估计为 一般平均及效应的估计为 最优条件下指标平均值的点估计,的置信水平为1-的置信区间为 其中 m

14、i为水平Ai下的试验次数,有交互作用的试验设计与数据分析,【例4.2】(四因子二水平有交互作用正交试验) 为了提高某农药的收率，须进行试验设计与分析。根据以往的生产经验，发现影响农药的收率的因子有4个，每个因子取2水平， 具体如表所示：,又根据经验，因子A与B之间可能存在交互作用，因而 希望通过试验结果一起分析一下交互作用是否对收率 有影响。,选用正交表: L8(27) 表头设计 先安排有交互作用的两个因子 借助于两列间的交互作用列表找出交互作用所在列 然后再将其它因子放在剩下的几列上,正交表: L8(27),L8(27)两列间的交互作用列表,若将因子A和B安排在第一、二列，则A和B的交互作用

15、应安排在第三列；若将因子A和B安排在第二、三列，则A和B的交互作用应安排在第一列。,思考：若将A、B分别安排在第三列、五列，则A和B的交互作用应安排在哪一列,试验计划表及试验结果,数据分析,数学模型: 为一般平均 a i ，b j ，c k , d h ，(ab)ij ,分别为A i ，B j , C k ，D h ，(AB)ij 水平的效应 y为试验结果,要检验假设 H01: a1 = a2 = 0 H02: b1 = b2 = 0 H03: c1 = c2 = 0 H04: d1 = d2 = 0 H05: (ab)11=(ab)12=(ab)21=(ab)22=0 是否成立 讨论各因子的

16、不同水平的效应以及交互作用效应是否可以忽略不计的问题,F检验 由偏差平方和的分解: 构成F统计量，进行F检验,正交表: L8(27),方差分析表,AB搭配表,最优生产条件是A 2 B 1 C 2,C的边际均值,最优条件下指标平均值的估计,点估计 一般平均及效应的估计为 最优条件下指标平均值的点估计为 对于例4.2，有,SPSS的输出结果,有交互作用的表头设计,【例4.3】考虑四个二水平因子A，B，C，D，且考察交互作用A B，A C。 由于 正交表的自由度至少为6，选L8(27) 表头设计为：,【例4.4】考虑四个二水平因子A，B，C，D，且考察交互作用 A B， C D. 由于 正交表的自由

17、度至少为6，若选L8(27)安排试验时，总要发生混杂，因而需选用更大一些的正交表，用L16(215) 。 利用附表中L16(215)的二列间的交互作用列表，可作如下表头设计 ：,【例4.5】考虑四个三水平因子A，B，C，D，且考察交互作用 A B， A C. 由于 正交表的自由度至少为16，故选用L27(313)安排试验。 利用附表中L27(313)的二列间的交互作用列表，可作如下表头设计 ：,注意,如果考察的交互作用越多，试验次数也就越多，所以如果根据经验可以不考虑的交互作用，应尽量不予考虑，当然可能存在的交互作用也不能忽略，否则会导致数据分析得出错误结论。 在对因子和因子交互作用进行F检验

18、时，关键是计算正交表中每一列的偏差平方和，因为无论是因子的偏差平方和还是两个因子的交互作用的偏差平方和都可以用正交表中列的偏差平方和计算,一般情况,正交表的自由度因子及两个因子交互作用自由度的总和 对一般正交表Ln(ql) ，Sj的计算公式为：,其中，n/q为同一水平下的重复次数,重复试验,重复试验是指对同一个试验条件重复进行m次试验，从而取得m个数据，这m个数据的差异反映了试验误差的影响 用正交表安排试验时，通常不做重复试验，因为按已做过的方案重复试验，不如用次数较多的更大的正交表安排试验，那样可以得到更多的信息。但有时试验误差较大，为了提高统计分析的可靠性，在可能的条件下，也可以做重复试验，另外，当用正交表安排试验而没有空白列时，为了进行方差分析，就必须做重复试验,【例4.6】据经验，影响混炼胶的抗拉强度的可能有四个因子A，B，C，D，每个因子取三水平，用L9(34)安排试验，表头设计如表所示：,由于没有空白列，不能进行F检验，如用L27(313) ，试验次数要增加两倍，因而考虑在每一个条件下重复进行两次试验,数学模型,检验假设,重复取样,重复取样是指在一个试验做好后，从中取m个样品测定其指标，而这时m个数据的差异主要是反映产品的不均匀、测试的误差，而不是试验误差 重复试验与重复取样数