北京市东城区高 三第一学期期末教学统一检测理科数学试题及答案

1、东城区东城区 2013-20142013-2014 学年第一学期期末教学学年第一学期期末教学 统一检测统一检测 高三数学高三数学（理科）（理科） 学校学校_班级班级_姓名姓名_ 考号考号_ 本试卷共本试卷共 5 5 页，共页，共 150150 分。考试时长分。考试时长 120120 分钟。考生务必将答分钟。考生务必将答 案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答 题卡一并交回。题卡一并交回。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 4040 分）分） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分

2、，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个分。在每小题列出的四个 选项中，选出符合题目要求的一项。选项中，选出符合题目要求的一项。 （1 1）已知集合）已知集合 |02axx， |(1)(1)0bxxx，则，则ab （a a）(0,1) （b b） (1,2) （c c）(, 1)(0,) （d d） (, 1)(1,) （2 2）在复平面内，复数）在复平面内，复数 2i i 的对应点位于的对应点位于 （a a）第一象限）第一象限 （b b）第二象限）第二象限 （c c）第三象限）第三象限 （d d）第四象限）第四象限 （3 3）设设ar，则则“1a ”是是“直线直线10axy 与直线与直线

3、50 xay平平 行行”的的 （a a）充分而不必要条件充分而不必要条件 （b b）必要而不充分条件必要而不充分条件 （c c）充分必要条件充分必要条件 （d d）既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 a =a+2 否 开始 s=1 是 a=3 s=sa s 100? 输出a 结束 （4 4）执行右图所示的程序框图，输出的）执行右图所示的程序框图，输出的a a的值为的值为 （a a）3（b b）5 （c c）7（d d）9 （5 5）在）在abc中，中，15a ，10b ，60a ，则，则cosb （a a） 1 3 （b b） 3 3 （c c） 6 3 （d d） 2 2 3 （主视图

4、） （侧视图） （俯视图） 1 2 1 1 （6 6）已知直线）已知直线3ykx与圆与圆 22 (2)(3)4xy相交于相交于m，n两点，若两点，若 2 3mn ，则，则k的取值范围为的取值范围为 （a a） 33 , 33 （b b） 1 1 , 3 3 （c c） 3 (, 3 （d d） 3 ,) 3 （7 7）在直角梯形）在直角梯形abcd中，中，90a ， ，30b ， ，2 3ab , ,2bc ， 点点e在线段在线段cd 上，若上，若aeadab ，则，则的取值范围是的取值范围是 （a a）0,1 （b b）0, 3 （c c） 1 0, 2 （d d） 1 ,2 2 （8 8）

5、定义）定义 , max , , a ab a b b ab 设实数设实数, x y满足约束条件满足约束条件 2, 2, x y 则则 max4,3zxyxy 的取值范围是的取值范围是 （a a） 6,10 （b b） 7,10 （c c） 6,8 （d d） 7,8 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 （9 9）若函数）若函数( )f x为奇函数，当为奇函数，当0 x 时，时， 2 ( )f xxx，则，则( 2)f 的值为的值为 （1010）一个几何体的三视图

6、如图所示，）一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体则该几何体 的体积为的体积为 x y a o p （1111）若点）若点(4,4)p为抛物线为抛物线 2 2ypx上一点，则抛物线焦点坐标为上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点；点p到抛物线的准线的距离为到抛物线的准线的距离为 （1212）函数）函数1yxx的最大值为的最大值为 （1313）如图，已知点）如图，已知点 1 (0, ) 4 a, ,点点 000 (,)(0)p xyx 在曲线在曲线 2 yx 上，若阴影部分面积与上，若阴影部分面积与oap面积相等时，面积相等时， 则则 0 x （1414）设等差数列）设等差数列 n a满足：公差满足

7、：公差 * d n， * n a n，且，且 n a中任意两项中任意两项 之和也是该数列中的一项之和也是该数列中的一项. . 若若 1 1a ，则，则d ； 若若 5 1 2a ， 则则d的所有可能取值之和为的所有可能取值之和为 . . 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或分。解答应写出文字说明，演算步骤或 证明过程。证明过程。 （1515） （本小题共（本小题共 1313 分）分） 已知函数已知函数 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx （）求）求() 12 f 的值；的值； （）求）求( )f x在区间在区间0,

8、2 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 （1616） （本小题共（本小题共 1313 分）分） 已知已知 n a是一个公差大于是一个公差大于 0 0 的等差数列，且满足的等差数列，且满足 35 45a a , , 26 14aa. . （）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （）若数列）若数列 n b满足：满足： 12 2 1 222 n n n bbb a(*)nn，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和. . （1717） （本小题共（本小题共 1414 分）分） 如图，在三棱柱如图，在三棱柱 111 abcabc中，中， 1 b b 平面平面 111 abc 1 2acc

9、bcc，90acb ， ， d，e分别是分别是 11 ab， 1 cc的中点的中点 （）求证：）求证： 1 c d平面平面 1 abe； （）求证：平面）求证：平面 1 abe 平面平面 11 aab b； （）求直线）求直线 1 bc与平面与平面 1 abe所成角的正弦值所成角的正弦值 （1818） （本小题共（本小题共 1313 分）分） b a c a a d a e a a1 b1 2a c1 已知已知ar，函数，函数 1 ( )lnf xxax x （）当）当0a 时，求时，求( )f x的最小值；的最小值； （）若）若( )f x在区间在区间2,)上是单调函数，求上是单调函数，求a

10、的取值范围的取值范围 （1919） （本小题共（本小题共 1313 分）分） 已知椭圆已知椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab上的点到其两焦点距离之和为上的点到其两焦点距离之和为4， 且过点且过点(0,1) （）求椭圆方程；）求椭圆方程； （）o为坐标原点，斜率为为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆 交于点交于点 11 ( ,)a x y， 22 (,)b xy，若，若 1212 22 0 x xy y ab ，求，求aob的面积的面积. . （2020）本小题共）本小题共 1414 分）分） 若无穷数列若无穷数列 n a满足：满足：对任意对

11、任意*nn， 2 1 2 nn n aa a ；存在存在 常数常数m，对任意，对任意*nn， n am，则称数列，则称数列 n a为为“t数列数列”.”. （）若数列）若数列 n a的通项为的通项为82n n a (*)nn，证明：数列，证明：数列 n a为为 “t数列数列” ； （）若数列）若数列 n a的各项均为正整数，且数列的各项均为正整数，且数列 n a为为“t数列数列” ， 证明：对任意证明：对任意*nn， 1nn aa ； （）若数列）若数列 n a的各项均为正整数，且数列的各项均为正整数，且数列 n a为为“t数列数列” ， 证明：存在证明：存在 0 *n n，数列，数列 0 n

12、n a 为等差数列为等差数列. . 东城区东城区 2013-20142013-2014 学年第一学期期末教学统一检测学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 （理科）（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） （1 1）c c （2 2）d d （3 3）a a （4 4）c c （5 5）c c （6 6）a a （7 7）c c （8 8）b b 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） （9 9）6 （1010）

13、 3 2 （1111） (1,0) ，5 （1212）2 （1313） 6 4 （ （1414）1, 63 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分） （1515） （共（共 1313 分）分） 解：（解：（）由）由 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx 3sin2 coscos2xxx， 得得( )2sin(2) 6 f xx 所以所以()2sin3 123 f 88 分分 （）因为）因为0 2 x ， 所以所以2 666 x 当当2 62 x ，即，即 6 x 时，时， 函数函数( )f x在区间在区间0, 2 上的最大值为上的最大值为2 当

14、当2 66 x ，即，即 2 x 时，时， 函数函数( )f x在在0, 2 上的最小值为上的最小值为11313 分分 （1616） （共（共 1313 分）分） 解：（解：（）设等差数列）设等差数列 n a的公差为的公差为d，则依题设，则依题设0d 由由 26 14aa, ,可得可得 4 7a 由由 35 45a a ，得，得(7)(7)45dd，可得，可得2d 所以所以 1 731ad 可得可得21 n an66 分分 （）设）设 2 n n n b c ，则，则 12 1 nn ccca. . 即即 12 2 n cccn， 可得可得 1 2c ，且，且 121 2(1) nn cccc

15、n 所以所以 1 2 n c ，可知，可知2 n c (*)nn 所以所以 1 2n n b ， 所以数列所以数列 n b是首项为是首项为4，公比为，公比为2的等比数列的等比数列 所以前所以前n项和项和 2 4(1 2 ) 24 1 2 n n n s 1313 分分 （1717） （共（共 1414 分）分） 证明：（证明：（）取）取ab的中点的中点f，连结，连结df，交，交 1 ab于点于点m，可知，可知m为为 df中点，中点， 连结连结em，易知四边形，易知四边形 1 c dme为平行四边形，为平行四边形， 所以所以 1 c dem 又又 1 c d 平面平面 1 abe，em 平面平面

16、 1 abe， 所以所以 1 c d平面平面 1 abe44 分分 证明：（证明：（）因为）因为 1111 acc b，且，且d是是 11 ab的中点，的中点， 所以所以 111 c dab 因为因为 1 bb 平面平面 111 abc，所以，所以 11 bbc d 所以所以 1 c d 平面平面 11 aab b 又又 1 c dem，所以，所以em 平面平面 11 aab b 又又em 平面平面 1 abe， 所以平面所以平面 1 abe 平面平面 11 aab b分分 解：（解：（）如图建立空间直角坐标系）如图建立空间直角坐标系cxyz， 则则(0,2,0)b， 1(0,0,2) c,

17、, (0,0,1)e， 1(2,0,2) a 1 (0, 2,2)bc ， 1 (2,0,1)ea ，(0,2, 1)eb 设平面设平面 1 abe的法向量为的法向量为( , , )x y zn. . 则则 1 0, 0. ea eb n n 所以所以 20, 20. xz yz 令令1x . . 则则(1, 1, 2) n. . 设向量设向量n与与 1 bc 的夹角为的夹角为， 则则 1 1 3 cos 6 bc bc n n . . 所以直线所以直线 1 bc与平面与平面 1 abe所成角的正弦值为所成角的正弦值为 3 6 . . 1414 分分 b a c a a d a e a a1

18、b1 2a c1 f a m a x a y a z a （1818） （共（共 1313 分）分） 解：（解：（）当）当0a 时，时， 1 ( )lnf xx x （0 x ） ， 22 111 ( ) x fx xxx 所以，当所以，当01x时，时，( )0fx ；当；当1x 时，时，( )0fx 所以，当所以，当1x 时，函数有最小值时，函数有最小值(1)1f 分分 （） 2 22 111 ( ) axx fxa xxx 当当0a 时，时，1 2 xax在在2,)x上恒大于零，即上恒大于零，即0)( x f，符，符 合要求合要求 当当0a 时，要使时，要使( )f x在区间在区间2,)上

19、是单调函数，上是单调函数， 当且仅当当且仅当2,)x时，时， 2 10axx 恒成立恒成立 即即 2 1x a x 恒成立恒成立 设设 2 1 ( ) x g x x ， 则则 3 2 ( ) x g x x ， 又又2,)x，所以，所以( )0g x ，即，即( )g x在区间在区间2,)上为增函上为增函 数，数， ( )g x的最小值为的最小值为 1 (2) 4 g ，所以，所以 1 4 a 综上，综上， a的取值范围是的取值范围是 1 4 a ，或，或0a 1313 分分 （1919） （共（共 1313 分）分） 解（解（）依题意有）依题意有2a ， 1b 故椭圆方程为故椭圆方程为 2

20、 2 1 4 x y 分分 （）因为直线）因为直线ab过右焦点过右焦点( 3,0)，设直线，设直线ab的方程为的方程为 (3)yk x. . 联立方程组联立方程组 2 2 1 4 (3). x y yk x ， 消去消去y并整理得并整理得 2222 (41)8 31240kxk xk （* *） 故故 2 12 2 8 3 41 k xx k ， 2 12 2 124 41 k x x k 2 1212 2 (3)(3) 41 k y yk xk x k 又又 1212 22 0 x xy y ab ，即，即 12 12 0 4 x x y y 所以所以 22 22 31 0 4141 kk

21、kk ，可得，可得 2 1 2 k ，即，即 2 2 k 方程（方程（* *）可化为）可化为 2 34 320 xx， 由由 2 12 1abkxx，可得，可得2ab 原点原点o到直线到直线ab的距离的距离 2 3 1 1 k d k . . 所以所以 1 1 2 aob sab d 1313 分分 （2020） （共（共 1414 分）分） （）证明：由）证明：由82n n a ，可得，可得 2 2 82n n a ， 1 1 82n n a ， 所以所以 21 21 282822(82)20 nnnn nnn aaa ， 所以对任意所以对任意*nn， 2 1 2 nn n aa a 又数列又数列 n a为递减数列，所以对任意为递减数列，所以对任意*nn， 1 6 n aa 所以数列所以数列 n a为为“t数列数列” 55 分分 （）证明：假设存在正整数）证明：假设存在正整数k，使得，使得 1kk aa 由数列由数列 n a