22微观粒子的波动性和状态描述习题解答

1、第二十二章微观粒子的波动性和状态描述一 选择题1如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的A.动量相同B.能量相同C.速度相同D.动能相同( A)2关于不确定关系DxDpx3有以下几种理解，其中正确的是：( C)2（ 1） 粒子的动量不可能确定（ 2） 粒子的坐标不可能确定（ 3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定（ 4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子A.（ 1），（ 2） B.（ 2），（ 4）C.（ 3），（ 4） D.（ 4），（ 1）3.将波函数在空间各点的振幅同时增大2倍，则粒子在空间的分布概率密度将( D)A. 增大 2 倍B.增大 2倍C.增大

2、4 倍D.不变二填空题1运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm。质量-1-20为 M=1g ，以速度 v =1cms 运动的小球的德布罗意波长是6.63 10 nm。（氢原子质量H =1.67 10-27 kg ）m2当电子受到 1.0MV 的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7 10-13m 。（提示：须考虑相对论效应）3如果电子被限制在边界x 与 x + Dx 之间， Dx =0.05nm, ，则电子动量x 分量的不确定量近似为 _ 1.3 10-23_kgm/s。4.如果系统的激发态能级宽度为1.1eV ，此态的寿命是5.99 10 16 s 。5设

3、描述微观粒子运动的波函数为Y( r , t ) ， 则 YY*表示粒子在 t时刻在 （x , y ,z）处出现的概率密度；Y ( r ,t ) 须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是 2 dxdydz = 1 。三计算题1若不考虑相对论效应，则波长为550nm的电子的动能是多少e V ？解：非相对论动能Ek12p22mv，而 p = mv，所以 Ek。又根据德布罗意关系有2 mp=h / l代入上式，则Ekh24.9810 6eV2m 22假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2 倍时，其德布罗意波长为多少？解：若电子的动量是它的静止能量的两倍，则：m c2-e

4、2= 2ec2m cm故：= 3mem由相对论公式mme1v 2 c2有3meme1v2c2解得v8c 3德布罗意波长为h mvh8mec8.5810 13 m3. 同时确定能量为1KeV的电子的位置与动量时， 若位置的不确定值在0.1nm 以内，则动量不确定值的相对比值p /p 至少为多少？解： 1KeV的电子的动量（按非相对论计算）为p2mEk1 21.7110 23 kgm s 1根据不确定关系式xp，得到px1.0610 24 kg m s 1故 p / p 0.062 。（若按 xp / 2 估计，p / p0.031）4如果原子某激发态的平均寿命为10 8s，该激发态的能级宽度约是

5、多少？解：根据关系式E t，激发态的能级宽度E1.0510341.051026 Jt10 85. 如果一个质量为的粒子被限制在x=0 到x=L的直线段上作自由运动，试计算m系统处于最低能态时的能量。（提示：粒子的德布罗意波满足驻波条件）解：依题意，粒子德布罗意波的定态波函数不为零的区域为0xL， x=0 和 x=L处相当于固定反射端，因此德布罗意波必满足驻波条件。粒子在0xL 区域形成稳定的驻波，其波长满足Ln2n1,2,3,粒子的动量hnhp2 L自由粒子的能量就是它的动能，因此Enp 2n2 h22m28mL当 n=1 时，系统处于最低能态，其能量为E1h22 。8mL6. 一个粒子沿 x 方向运动，其波函数为( x)c1(x)ix1试求：（1）归一化常数c；（ 2）发现粒子概率密度最大的位置；（3）在 x=0 到 x=1 之间粒子出现的概率。解：（ 1）由波函数的归一化条件( x)21dV运动为一维粒子时，有c22c2 c2112 dx2xc1（ 2）概率密度121w21( x)1ix(1x)2而dw12 xdx(1x) 2令上式为零，得到x=0。因此发现粒子概率密度最大的位置是在x=0 处。（ 3）在 x=0 到 x=1 之间粒子出现的概率为P111dx1 (arc