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文档简介

1、11.7 多元函数的极值与最值,11.7.1 多元函数的极值 11.7.2 多元函数的最小值和 最大值 11.7.3 条件极值与拉格朗日 乘数法,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益, 即求二元函数的最大值.,问题的提出,11.7.1 多元函数的极值,1.二元函数极值的定义,(1),(2),(3),例1,例,例,例题,证,2. 多元函数取得极值的条件,仿照一元函数，凡

2、能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,（偏导数存在）,注意:,解,例4,若有极值，再由A的符号，判断是极大还是极小。,3.具有二阶连续偏导数的二元函数求极值的步骤:,说明： 类似于一元函数，偏导数不存在的点也有可能是极值点。即驻点和至少有一个偏导数不存在的点都有可能是极值点。称驻点和至少有一个偏导数不存在的点为临界点.,例5.,解:,得驻点:,例6.,解:,得驻点:,（化为一元函数）,求最值的一般方法： 将函数在D 内的所有临界点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与

3、一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,11.7.2 多元函数的最大值和最小值,解:,如图,（1）,例7.,（2）,解:,由,例8.,解:,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,条件极值：对自变量有附加条件的极值,实际问题中,若函数只有一个驻点,则可以直接断定在该点处函数取得最大值或最小值.,例9.要用铁板做一个体积为常数V的无盖长方体水箱, 问水箱各边的尺寸为多少时,用料最省?,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,11.7.3 条件极值拉格朗日乘数法,条件极值问题的解决方法：,解:,则,例10.,解:,例11.,可得,即,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,（3，2）,大,36,分析：一般条件极值说明要求的是极大或极小值。,本题先化为无

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