旋转矢量法第16章 机械振动

1、1,16.1.3 旋转矢量法,2,描述简谐运动的方法： 1）解析法 2）几何法（旋转矢量表示法） 3）曲线法,主要内容： 一）什么是旋转矢量表示法； 二）旋转矢量表示法的优点； 三）旋转矢量表示法的应用。,3,t = 0 时刻，矢量与Ox 轴的夹角等于初相 。,矢量 以角速度 逆时针作匀速圆周运动，,在平面上作一坐标轴 O x，由原点 O 作一长度等于振幅的矢量,任一时刻，该矢量与O x轴的夹角为 ，恰等于谐振动在该时刻的位相。,端点M在 x 轴上投影点的位移：,结论： M点在 x 轴上投影点的运动，为简谐运动。,一）什么是旋转矢量表示法,4,5,6,7,这种以一个匀速旋转的矢量 在 ox 轴

2、上的投影，来表示简谐运动的方法，称为旋转矢量法。,注意：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量端点在 x 轴上的投影点在作简谐运动。,8,1、直观地表达简谐运动的各个特征量； 2、便于解题， 特别是确定初相位； 3、为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。,1、求初相位； 2、作振动图； 3、可以用来求速度和加速度； 4、振动的合成。,二）旋转矢量方法的优点：,三）旋转矢量法的应用：,9,1、用旋转矢量法确定初位相,2）质点在 x = A/2 处，向正x方向运动，,1）质点在 x = A/2处， 向负x方向运动，,4）质点在 x = - A/2 处，向正x方向运动，,3）质点在 x = -

3、A/2 处，向负x方向运动，,初始时刻：,10,由x、v 的符号确定 所在的象限：,用旋转矢量法确定初位相,11,例：求简谐运动质点的初相 。,(1) t = 0 时，xo= -A, =,。,(2) t = 0 时，质点经过平衡位置正向x轴正方向运动， 则： =,3/2（或 - /2）。,(3) t = 0 时， xo=A/2，质点正向x轴负方向运动， 则： =,(4) t = 0 时， 质点正向x 轴正方向运动, 则： =,/3。,5/4。,xo =Acos,12,（旋转矢量旋转一周所需的时间）,用旋转矢量图画简谐运动的 图,2、,13,3、求速度和加速度,14,相位差：表示两个相位之差。,

4、1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。,15,2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异。（解决振动合成问题）,16, 0 2 超前1, 0 2 落后1,由于位相差的周期是2 ，所以：,此时，通常不说振动2超前振动1 而是说振动2落后振动1,17,例：两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 = A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一个质点 2 在 x2 = 0 处，向x 轴负方向运动。求：这两质点振动的相位差。,解：,质点 的振动超前质点 的振动,18,比较一下简谐运动的位移、速度、加速度的相位关系。,速度的相位比位移的相位超

5、前/2 ，加速度的相位比位移的相位超前/2 。,19,例：一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅 A = 0.12m，周期 T = 2s，当 t = 0 时，x0 = 0.06m，此时质点向 x 轴正向运动。求： （1）此简谐振动的表达式； （2）从初始时刻开始第一次通过平衡位置所需时间。 （3）=T/4时质点的位置、速度和加速度； （4）从 x = - 0.06m 向 x 轴负向运动，第一次回到平衡位置所需的时间（思考？）。,20,求：（1）此简谐振动的表达式；,解：,取平衡位置为坐标原点，,由旋转矢量法得：,设,21,由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置时，振幅矢量转过的角度为：,求：（2）从初始时刻开始第一次通过平衡 位置所需时间。,解：,22,求：（3）= T/4 时刻质点的位置、速度和加速度；,解：,将 t= T/4 = 0.5 s 代入可得：,23,（3）如果求：在 x = - 0.06m，且向 x 轴负方向运动时刻的速度和加速度：,将相位代入得：,= - 0.3