高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标45 立体几何中的向量方法(二)—求空间角和距离 理(2021年最新整理)

1、2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标45 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离 理2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标45 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离 理 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时达标45 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离 理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文

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3、到三个面sab,sac，sbc的距离分别为，1，则ps的长度为（d)a9b cd3解析：由条件可分别以sa，sb，sc为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系sxyz，则点s的坐标为(0，0，0)，点p的坐标为(，1，），由两点之间的距离公式可得ps3。2在直三棱柱abc。a1b1c1中，若bac90，abacaa1,则异面直线ba1与ac1所成的角等于（c)a30b45c60d90解析：不妨设abacaa11，建立空间直角坐标系如图所示，则b(0，1，0),a1（0,0,1）,a（0，0,0)，c1（1,0，1)，所以(0,1,1)，（1，0，1),所以cos60,所以异面直线ba1与ac1所成

4、的角等于60.3在正方体abcd。a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为(b)abcd解析：以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1，0)，所以(0，1，1）,。设平面a1ed的一个法向量为n1（1，y，z）,则所以所以n1（1,2,2）因为平面abcd的一个法向量为n2（0,0，1),所以cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为。4若直线l的方向向量为a（1，0,2），平面的法向量为u(2，0，4）,则（b)alblcldl与斜交解析：u2a，ua，则l。5已知三棱柱abc.a1

5、b1c1的侧棱与底面垂直,体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为(b）abcd解析：如图所示，由棱柱的体积为，底面正三角形的边长为,可求得棱柱的高为。设p在平面abc上射影为o，则可求得ao长为1，故ap的长为2。故pao,即pa与平面abc所成的角为.6已知三棱锥sabc中，底面abc是边长等于2的等边三角形，sa底面abc,sa3，那么直线ab与平面sbc所成角的正弦值为(d）abcd解析：如图所示，过点a作adbc于点d,连接sd；作agsd于点g，连接gb.sa底面abc，abc为等边三角形，bcsa，bcad.bc平面sad。又a

6、g平面sad，agbc又agsd,ag平面sbcabg即为直线ab与平面sbc所成的角ab2，sa3,ad,sd2。在rtsad中，ag,sinabg.二、填空题7(2016云南检测)在正三棱柱abc。a1b1c1中,ab1，点d在棱bb1上，若bd1，则ad与平面aa1c1c所成角的正切值为。解析：如图，设ad与平面aa1c1c所成的角为，e为ac的中点，连接be,则beac，所以be平面aa1c1c,可得（)1cos (为与的夹角），所以cos sin ,所以所求角的正切值为tan 。8如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abc。a1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹

7、角的余弦值为.解析：不妨令cb1，则cacc12，可得o(0，0,0）,b（0，0,1)，c1（0，2,0)，a(2,0，0），b1（0,2，1），所以（0,2，1），（2,2，1），所以cos,0.所以与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角,所以直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.9正方体abcd。a1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cd的中点,则点f到平面a1d1e的距离为。解析：以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示则a1(0，0,1）,e，f，d1(0，1，1)，（0，1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x,y

8、，z）,则即令z2，则x1。n（1，0,2)又，点f到平面a1d1e的距离为d.三、解答题10如图,直三棱柱abc。a1b1c1的各条棱长均为a，d是侧棱cc1的中点（1）求证：平面ab1d平面abb1a1;（2）求异面直线ab1与bc所成角的余弦值；(3）求平面ab1d与平面abc所成二面角（锐角)的大小解析：(1)证明:取ab1的中点e，ab的中点f,连接de，ef，cf.e，f分别是ab1，ab的中点，efbb1，且efbb1。三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，d是cc1的中点,cdef，且cdef，四边形cdef为平行四边形，decf.abc是正三角形，cfab。三棱柱abc。a1b

9、1c1是直三棱柱，bb1cf，而bb1abb,cf平面abb1a1。decf，de平面abb1a1.de平面ab1d，平面ab1d平面abb1a1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则a，c（0，a，0)，d,b1(0,0,a），b（0,0，0)，（0，a,0),设异面直线ab1与bc所成角为，则cos ,故异面直线ab1与bc所成角的余弦值为。(3)由(2)得，。设n(1,y，z)为平面ab1d的一个法向量由得即n。显然平面abc的一个法向量为m(0,0，1）则cos。即所求二面角的大小为.11如图，在三棱锥pabq中，pb平面abq，babpbq，d，c，e，f分别是aq，bq,ap,b

10、p的中点,aq2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连接gh。（1）求证：abgh;（2）求平面pab与平面pcd所成角的正弦值解析：(1）证明：连接ef。d，c,e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点,efab，dcab，efdc又dc平面pcd，ef平面pcd,又ef平面efq,且平面efq平面pcdgh，efgh。又efab,abgh.（2)在abq中，aq2bd，addq，abq90，即abbq。又pb平面abq，ba，bq，bp两两垂直以b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设babqbp2，则b(0,0,0），a（

11、2，0，0)，q（0,2,0),d(1,1,0)，c(0，1，0），p(0,0,2)，(1,1，2),(0，1，2)设平面pcd的法向量为n(x，y，z)，由得取z1，得n（0，2,1）又(0,2，0)为平面pab的一个法向量，cosn,平面pab与平面pcd所成角的正弦值为.12如图，在长方体abcd。a1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd的中点（1)求证：b1ead1。(2）在棱aa1上是否存在一点p,使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长;若不存在，说明理由(3)若二面角a。b1e。a1的大小为30，求ab的长解析：（1)证明:如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，设aba，则a（0,0，0),d（0,1，0），d1(0,1，1)，e，b1（a，0,1），(0,1,1)，,(a,0，1)，011（1）10，故b1ead1.(2）假设在棱aa1上存在一点p(0,0,t)，使得dp平面b1ae，则（0，1，t)设平面b1ae的一个法向量为n(x,y,z），则有即取x1,可得n。要使