圆锥曲线中的最值和范围问题(高二

1、_【问题呈现】x 2y 21 上一动点 M 满足： F1MF 2 为钝角，则 M 点横坐标的取值范围_1椭圆492已知点 A(3,0) ， P 是抛物线 y24x 上一动点，则PA 的最小值为 _ 2x2y21上一动点 P，则 P 到直线 l : xy4 0 的距离最小值为： _3椭圆44已知双曲线x2y21,(a0, b0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2，点 P 在双曲线的右a2b2支上，且 |PF 1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为 _ 斜率为1的直线l 与椭圆 x2y21交于A,B两不同点，则线段AB中点M的轨迹方54程为 _【方法小结】求解范围问题的一般方法：（

2、 1）结合定义，利用图形找出几何量的有界性；（ 2）构造一个二次方程，利用判别式0；（ 3）函数法是探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视（ 4）利用代数基本不等式代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（ 5）结合参数方程，利用三角函数的有界性直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形

3、公式来帮助求解诸如最值、范围等问题【典题剖析】例 1 已知圆 C : ( x1)2y28 ， C( 1, 0) 动圆与 C 相切且过定点B(1, 0) ；（ 1）求动圆圆心的轨迹E 方程；（ 2）过点 D (0, t ) ，1t1 倾斜角为 45 的直线 l 与轨迹 E 交于 M , N 两点，求 B, C, M , N四点围成的四边形面积的最大值。1例 2 已知定点F(0,1)和直线 l 1：y 1，过定点F 与直线 l 1 相切的动圆圆心为点C.（ 1）求动点 C 的轨迹方程；（ 2）过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点P、 Q，交直线 l1 于点 R，求 RPRQ的最小值2课后练习1已知

4、 F1 ( c,0), F2 (c,0) 为椭圆x 2y 21 的两个焦点， 点 P 在椭圆上且 PF1 PF 2c 2 ，a 2b 2则此椭圆离心率的取值范围是（）A 3,1)B 1,1C3,2 D(0,2 3323222. 已知点 P 在圆 x 2( y2) 21 上，点 Q 在椭圆 x 2y 21 上，则 PQ max =_。93已知点 A, B 在抛物线 y 24x 上，且 A, B 满足 AB8 ，则线段 AB 的中点到 y 轴距离的最小值为：_。4. 已知直线 l ：y kx 2 与抛物线 C： x2 2py(p0) 交于 A， B 两点， O 为坐标原点，OA OB ( 4， 1

5、2)（ 1）求直线 l 和抛物线 C 的方程；（ 2）抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求 ABP 面积的最大值35. （ 2010 浙江） (21) （本题满分 15 分）已知 m1，直线 l : x mym20 ，2椭圆 C : x2y2 1， F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点m2（）当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，AF1F2 ， BF1F2 的重心分别为 G , H 若原点O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围4答案例 1（）解：设动圆圆心为P，则 PBPC22 ，所以动圆圆心是以B

6、, C 为焦点的椭圆，方程为 x 2y21 。2（）设 l : yx t ，代入 x2y21得： 3x 24tx 2t22 0，设 M (x1 , y1 ) ，N ( x2 , y2 )2y16t212(2t 22)0M则 x1 x24t，解得： t 2332t 22CBxx1 x23O（1）若1t1 ，则SMANB1y2x1x2NAB y12( x1x 2 )24 x1 x2 ，(4t)242t 222 62t 226 （ t0 取等号。）3333（ 2）若 1 t3 或3 t1 则SMANB11) y1(t1) y2M(t12t) (t 1)( x2t)N(t 1)( x12C1x 2 )

7、( x1x 22t)t( x1222t 2 (6 2t 2 )t23 2 66323322t 2 (6 2t 2 )t23 2 663233B, C , M , N 四点围成的四边形面积的最大值为26 。3例 2解 (1) 由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l 1 的距离，点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l 1 为准线的抛物线所求轨迹的方程为 x2 4y.(2)由题意直线l 2 的方程为y kx 1，yOBx5与抛物线方程联立消去y，得 x2 4kx 4 0.记 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 4k， x1x2 4.直线 PQ 的斜率 k0，易得点R 的坐标为

8、 (2， 1)，k ( x 2， y 1) (x 2， y 1)RPRQ1k12k22 2 (x1 k)(x2 k) (kx1 2)(kx2 2) (1 k224 4)x1x2 ( 2k)(x1 x2)2kk22421 4(1k) 4k( k 2k)k2 4 4(kk2) 8， k2 122，当且仅当 k21 时取到等号 k RPRQ 428 16，即 RPRQ的最小值为 16.练习 4分析(1)根据根与系数关系和OA OB ( 4， 12)列方程组，利用待定系数法求解；(2) 线段 AB 的长度为定值，只要求点P 到直线 AB 的最大值即可y kx 2，得 x2 2pkx 4p 0.解析 (

9、1) 由x2 2py，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 2pk， y1 y2 k(x1 x2)4 2pk2 4. x2， y1 y2) ( 2pk ， 2pk24)(4，12)，所以因 为 OA OB (x1 2pk 4，解得p 1，k 2. 2pk2 4 12.所以直线 l 的方程为 y 2x 2，抛物线 C 的方程为 x2 2y.(2)解法一：设 P(x0，y0)，依题意，抛物线过点 P 的切线与 l 平行时， ABP 的面积最大， y x，所以 x0 2? x0 2， y0 1x02 2，所以 P( 2， 2)2此时点 P 到直线 l 的距离 d() ()2|

10、 4 4 5，由y 2x 2，x2 2y，得 x24x 4 0，22 ()255|AB|221 k ( x1 x2) 4x1x2 1 22( 4)2(4) 410.45 ABP 的面积最大值为4 1058 2.2解法二：由y2x 2，得 x2 4x4 0，x2 2y，|AB|1 k2 ( x1 x2)2 4x1x2122( 4)2( 4)4 10，设 P(t， 1t2)( 2 2 2 t 2 2 2)， 2因为AB 为定值，当点P 到直线l 的距离d 最大时，ABP 的面积最大，d6121(t 2)2|2tt 2| 4|22 2()2 25，因为 2 2 2t 2 22，所以当 t 2 时，

11、d 4 5，此时 P( 2， 2)max545 ABP 的面积最大值为4 1052.2 8练习 5解：（）由题设知 | EF1 |EF2 |22| F1F2 |,根据椭圆的定义，E 的轨迹是焦点为F1 ， F2 ，长轴长为 22 的椭圆，设其方程为x2y21( ab0 )a2b2则 c1， a2 ， b1，所以 C 的方程为 x2y21. 5分2（ II）依题设直线 l 的方程为 yk( x1) . 将 yk( x1) 代入 x2y21并整理得，2(2k 21)x24k 2 x2k 220 .8k 280 . 6分设 M (x1, y1 ) ， N (x2 , y2 ) ，则 x14k22kx221，x1 x22k2k2221 7 分2k 2， yQk( xQ1)k设 MN 的中点为 Q ， 则 xQ22k 21，即2k1Q ( 2k 21,k) .