合工大高等数学A上习题册

1、班级姓名学号习题1-1函数的概念 具有某种特性的函数初等函数 两个常用不等式2 + x, x 0,?1设函数 f (x) = ? x，求（ 1） f (- 1)， f (0) ， f (1) ；?2, x 0,（ 2） f (x) - f (0) ， f (-x) - f (0) （ x 0）xx2已知 f (1) = x + 1 + x2 ，求 f (x) x3证明：f (x) = 2 x + sin x 在 (- , +) 内是严格递增函数1班级姓名学号4设f ( x)在 - a, a上是奇函数，证明：若f ( x)在 0 , a上递增， 则f ( x) 在 - a,0 上也递增5利用均值

2、不等式证明： (1+ 1 )n (1+1 ) n+1 （ n = 1,2,）nn + 16求证： (1+1)n 3 （ n = 1,2,）n2班级姓名学号习题 2-1数列的极限 函数的极限 极限的性质(- 2)n + 3n；1 求下列极限： (1)limn (- 2)n +1 + 3n +1(2) lim(1 - 12 )(1 -12 ) ?(1-12)；n23nn(3) lim(1 + r )(1+ r 2 )(1 + r 2 )( r 0,?,x?确定正数 a 的值，使得 limf (x) 存在2设 f ( x) = ?a + x - a - x?x0- 1x 0,?x cos,3设 f

3、( x) = ?x要使 f ( x) 在 (- ,+)内连续，确定常数 a ?2x 0,? a + x ,?4讨论f ( x) = ?2(?sin x ,x 0x9班级姓名学号5求下列极限：(1)lim ln(1+ x) (为常数）；x 0x(2) lim sin x - sin a ；x ax - a(3)lim ex - ex (, 为常数）x0x6设函数f (x) 在 0,2上连续，且f (0) = f (2) ，证明在 0,上至少存在一点，使得 f () = f (+ ) 10班级姓名学号习题3-1导数的概念1求曲线1?13?y = x -在点 ?, -2?处的切线方程与法线方程x?2

4、?2若函数 f (x) 可导，求 lim n f ( x + a) -f (x - b ) (a,b 0) nnn3讨论函数f ( x) = sin x 在点 x = 0 处的连续性与可导性11班级姓名学号习题 3 - 2求导的运算法则1求下列函数的导数：(1)y = ln x - 2lg x + 3log 2 x ；(2) y = 2x (x sin x + cos x) ；(3) y = x - 1 ；x 2 + 1(4) y =secx；1 + tan x(5) y = lna - x ；a + x12班级姓名学号sin 2 1(6) y = ex ；(7) y = xx2 - a2 -

5、 a2ln( x + x2 - a2 ) ；22(8) y = arctanxa2 - x2a +x2； (2) y = 1+ xf (x) 2设 f ( x) 可导，求下列函数的导数： (1)y =f (x)x13班级姓名学号3设f ( x)满足13 ，求f (x) + 2 f ( ) =xf ( x)x4已知2dydyy = sin( x ) ，求 dx , dx 2 ,dy dx314班级姓名学号习题 3- 3高阶导数1设 y = ln secx ，求 y2设f ( x) = g ( x)，其中g是二阶可导函数，试求f (x)yd 2 y3设 y = 1 + xe ，求2dxx =015

6、班级姓名学号4求下列函数的n 阶导数 y( n) ： (1)y = eax(为常数）；(2) y = x21；- 3x + 2(3) y = sin2 x 16班级姓名学号习题3-4隐函数与参变量函数的求导方法dy：(1)x+ y；1求下列函数的导数xy = edx(2)x y = yx 2证明：双曲线 xy = a2 上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于2a2 17班级姓名学号?2yx = f (t ),其中 f (t) 二阶可导，求d3设 ?2? y = tf (t ) - f (t ),dx?22y?x = ln 1+ t , 求d4设 ?2? y = arc tan t

7、,dx?x + t (1- t ) = 0,在对应于 t = 0 的点处的切线方程5求曲线 ? y? te + y +1 = 018班级姓名学号习题 4 - 1 微分中值定理1证明： arctan x + arccot x =2设函数f (x) 在 a, b上连续，在 (a,b)内可导证明：至少存在一点(a,b ) ，使得bf (b) - af (a)= f () + f () 19班级姓名学号3若 f ( x) 在 a, b上二阶可导，且f ( x1 ) = f ( x2 ) = f ( x3 ) ，其中 a x1 x2 x3 0,b 0) ；x0ln(tan bx)21班级姓名学号11(5

8、) lim x(a x- b x )(a 0, b 0) ；x (6)lim( ax + bx ) 2x (a 0, b 0) x 022若f (0) = 0，在点 x = 0 的某邻域内连续，且0，试求 lim x f ( x) f (x)f (0)x 0+22班级姓名学号习题 4 - 3 Taylor21写出f ( x) = x中值定理 ln x 在 x0= 1处的四阶泰勒展开式2写出f ( x) = xe- x 的 n 阶麦克劳林公式23班级姓名学号习题 4 - 4函数的单调性与极值1求函数 ? (x) = xx (1- x)(1- x) 在 0 x 1 内的极值2求函数f (x) =

9、( x - 5) ?3 x2 在 - 1, 4 上的最大值和最小值24班级姓名学号3过点 M (1,4) 引一条直线，使其在两坐标轴上的截距均为正，且它们之和为最小，求此直线方程4在半径为R 的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高、底半径应是多少？25班级姓名学号习题 4 - 5 曲线的凹凸性及曲线的拐点1讨论曲线y = x + x2x的凹凸性及拐点- 12求过 y = xe- x 上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于x = 0 的直线方程26班级姓名学号习题 4 - 6 曲线整体形状的研究21求曲线y = 1 + e- x 的水平与铅直渐近线21 - e- x2x2的图形2描绘函

10、数 y =(1- x)227班级姓名学号习题 4 - 7 导数在不等式证明中的应用1证明：当0 x 2x 22设 a b 0， n 1，证明： nbn- 1 (a - b) an - bn 1 ）29班级姓名学号习题 5 - 1定积分的概念与性质1利用定积分的几何意义计算下列定积分：211- x2 dx (1) xdx ； (2)002比较下列积分的大小：(1)2ln xdx 与2(ln x)2 dx ； (2)- 1e- x3dx 与- 1ex3dx 11- 2- 23设 f ( x) 为连续函数，且 f ( x) = x + 22f (x)dx ，求 f ( x) 030班级姓名学号习题

11、5 - 2微积分学基本公式x1求函数 (x) = xe- xdx 的极值0x cost 2dt1e- t 2dt0cosx2 求下列极限： (1)lim ； (2)lim 2x0xx 0x?cos x,?3设 f ( x) = ?1,0 x ,2x- , + 内的表达式求函数 f (t) dt在( x) =()x ,0231班级姓名学号4计算下列定积分：3(1) x2 - 4x + 4dx ；1(2) sin x - sin3 xdx ；03x - 1(3) 设 f ( x) = 2，计算2dx 2x+ 101 + f( x)32班级姓名学号习题 5 - 3 不定积分的概念与性质求下列不定积分

12、：1.tan2 xdx 2x42.dx 1+ x213.sin 2 x ?cos2 xdx 1- cos x4.dx 1- cos2x33班级姓名学号习题 5 - 4换元积分法1 求下列不定积分：2(1) xe- x dx ；dx(2) x(4 - x) ；dx(3)；x 1+ ln x(4)x3dx ；1 + x234班级姓名学号tan x(5) cosx dx ；(6) 1 x dx ；1+ e11(7) 2 sindx ；xxdx(8) ex + e- x ；dx(9)；(2 - x)1- x35班级姓名学号dx(10) ；223(a- x )(11) ex - 1dx ；(12) dx

13、2xx - 141dx ；2计算下列定积分： (1)11+x3dx(2) 12；)3(1+ x36班级姓名学号?xe- x2,x 0,4?(3) f ( x - 2)dx ，其中 f ( x) = ?11?,- 1 x 0)分成面22积相等的两部分，求a 的值2求双纽线r 2 = cos2围成平面图形的面积3求圆 x2 + ( y - 2) 2 = 1围成的区域绕x 轴旋转而成的旋转体的体积42班级姓名学号4圆柱形水桶高10 米，底面半径为3 米，桶内盛满了水，问要把桶内的水全部抽完需做多少功？（取重力加速度g = 10 ）5求心形线r = a(1 + cos) 的周长6一底为 b ，高为 h

14、 的对称抛物线拱形闸门，其底平行于水面，距水面为齐）。闸门垂直放在水中，求闸门所受的压力。若底与高之和为常数，即常数），问高和底各为多少时，闸所受的压力最大？h（即顶与水面b + h = l （为43班级姓名学号参考答案习题1- 11（ 1） 1， 2 ， 2 ； (2 ） 2 x - 2 ， - 1 2 1 + 1+ x2xxx习题2-11 (1)1 ；(2) 1；(3) 1 ； (4)1 ； (5)1 2 a = 4 ， b = 4 321- r23 1， - 1，不存在习题2-21 (1)1；(2)2；(3)1 2 13824习题2-31 (1) 1 ； (2) 1 ； (3)e- 2

15、； (4)e2 2324习题2-41 x = 1 是跳跃间断点；x = 0 是无穷间断点? x,x 1,?4 f ( x) 在 (- , +) 上连续5 (1)； (2) cosa ； (3)-习题3-11切线方程：5x - y - 4 = 0；法线方程：x + 5y + 7 = 02 (a + b) f ( x)3连续，不可导习题3-21(1)1 -2+3； (2)2 x ln 2(xsin x + cosx) + 2x x cosx ；xx ln10x ln 21+ 2x - x2secx(tan x - 1)sin x - cos x(5)a(3)22；(4)(1+ tan x)2或1+

16、 sin 2x；x2- a2；(x+1)44班级姓名学号2 11sinx2- a2(6) - 12 sin 2 ex ； (7)； (8)xx2a2 - x22(1)2xf ( x) -2f(2) xf (x) + 2x231x(x) ；f (x) - 1 f f ( x) 22xx( x) = 2 + x24 2xcos(x2 ) ， cos(x2 ) ， 2cos(x2 ) 3x习题3 - 32 2xg ( x) - g ( x) 31 y = 2sec x ?tan x 24xx2e4 (1)aneax ； (2)( - 1)n n!1n +1-1 n+ 1 ；(x - 2)(x - 1)(3)2 n - 1 sin(2 x + n - 1) 或 - 2n - 1 cos(2x + n ) 22习题3-4y(1-x)； (2)xy ln y -y 211 + t 25 x - ey - e = 0 1(1)xy ln x -2 3f 4-3x( y - 1)x(t)t习题4-21(1)1 ；(2) ；(3)1；(4)1 ；(5) ln a -ln b ； (6) ab 2 163