新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案

1、第21章 一元二次方程 教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容 教学目标 1知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题 2过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析

2、，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0，即（m-4）2+10 不论m取何值，该方程都是一元二次方程【练习】27 1 2 进一步巩固一元二次方程的基本概念四、自主总结 拓展新知1、a0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要

3、条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业 p28 1 2 5 6 7 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第2课时 一元二次方程（2）学 习目 标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一元二次方程解的探索。学习难点一元二次方程近似解的探索。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。【

4、问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？x2+4x+=0 x2+3x2= x2x22xy3=0 a x2+bx+c=0复习巩固一元二次方程的相关概念。二、自主交流 探究新知【探究】猜测方程的解是什么？【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根【问题4】

5、认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。x2-16=0 (x+3)(x-2)=0 (x-2)2=49 x2-2x+1=25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题解：x2-16=0 (x+3)(x-2)=0x2=16 x+3=0或x-2=0x=4 x=-3或x=2(x-2)2=49 x2-2x+1=25x-2=7 (x-1)2=25x=9或x=-5 x-1=5 x=6或x=-4探究一元二次方程根的概念以及作用进一步巩固方程的根的含义方程的根可以起到检验的作用检验一个数是否是方程的根三、自主应用 巩固新知【例1

6、】若x2是方程的一个根，你能求出a的值吗？【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可解：x2是方程的一个根 ，解之得： a【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。解：x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 a+b+c=0 2007(a+b+c)=0【练习】28 1 2 方程的根的另一个作用代入

7、方程使等号成立四、自主总结 拓展新知1、一元二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根五、课堂作业 p28 3 4 8 （课堂内外对应练习）【补充练习】1、方程x（x-1）=2的两根为【 】 ax1=0，x2=1 bx1=0，x2= -1 cx1=1，x2=2 dx1=-1，x2=22、方程x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c=

8、 。5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值教学理念/教学反思第3课时 解一元二次方程配方法（1）学 习目 标1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握直接开平方法解一元二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：106x2=

9、1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=5即x1=5，x2=-5可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解二、自主交流 探究新知【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=，x2

10、=。在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x+3=2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成或的形式，那么可得或鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”把二次降为一次，进而解一元一次方程即可三、自主应用 巩固新知【例1】解下列方程：2y2=8 2(x-8)2=50 (2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0

11、 【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式，若能，则可运用直接开平方法解。解：2y2=8 2(x-8)2=50 y2=4 (x-8)2=25 y=2 x-8=5 y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5 x1= 13，x2= -3(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 (2 x-1)2=-40 当 b2-4ac0时， 0 x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=（b2-4ac0）就

12、可求出方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。式子b2-4ac0是公式的一部分。解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方。配方到这一步，两边要进行开平方运算。被开方数必须是非负数。所以，要对进行分析。通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式三、自主应用 巩固新知【例】用公式法解下列方程（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2

13、-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0【分析】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解解： 【说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入x=（b2-4ac0）中，可求得方程的两个根；（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根【练习】37 1 主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式四、自主总结 拓展新知1、求根公式的推导过程；2、用公式法解一元二次方程

14、的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解五、课堂作业 p42 5 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第7课时 解一元二次方程公式法（2）学 习目 标使学生能用=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。学习重点使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。学习难点从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？2x2-3x=03x2-2x+1=0 4x2+x+1=0二、自主交流 探究新知【探究】根

15、据问题填写下表：方程b2-4ac的值b2-4ac的符号x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）2x2-3x=090不相等3x2-2x+1=00=0相等4x2+x+1=0-150（0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。当= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2=。当=b2-4ac0的解集（用含a的式子表示）【分析】要

16、求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范围解：关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根 （-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80 a0即ax-3 x-所求不等式的解集为x0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实根；=b2-4ac =0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实根；=b2-4ac 0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根及其应用。五、课

17、堂作业 p42 4 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第8课时 解一元二次方程因式分解法学 习目 标1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。学习重点用因式分解法一元二次方程。学习难点理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：m）为10x-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（

18、精确到0.01s）？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x-4.9x2=0【思考】除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？【分析】方程的右边为0，左边可以因式分解得：x(10-4.9x)=0于是得x=0或10-4.9x=0x1=0x2=上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容二、自主交流 探究新知【探究】解下列方程，从中你能发现什么新的方法？（1）2x2-4x0； （2）x2-40【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，

19、再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解法叫做因式分解法在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据三、自主应用 巩固新知【例1】解方程：x2-3x-10=0x2-11x+28=0(x+3)(x-1)=5 5x2-2x-=x2-2x+【说明】用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式。解：【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。 将方

20、程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。 对两个一元一次方程分别求解。【例2】解方程：x(x-2)+x-2=03x(x+2)=5(x+2)(3x+1)2-5=0x2-6x+9=（5-2x）2【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。解：【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。【练习】40 1 2 应用提高、拓展

21、创新，培养学生的应用意识和创新能力四、自主总结 拓展新知1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。2、正确的因式分解是解题的关键。五、课堂作业 p43 6 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第9课时 一元二次方程的根与系数的关系（1）学 习目 标1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。学习重点一元二次方程的根与系数的关系及运用。

22、学习难点定理的发现及运用。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1+x2x1x2 +6x-16=0-2x-5=02-3x+1=05+4x-1=0通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。二、自主交流 探究新知【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2bxc0

23、的求根公式知x1=，x2=，能得出以下结果：x1x2=，即：两根之和等于 x1x2=，即：两根之积等于 特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1x2= -p x1x2= q 如果把方程ax2bxc0(a0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2x0(a0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+x2）xx1x20(a0)让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。三、自主应用 巩固新知【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4（3）=4 （4）2=3x（5）-(k

24、+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）【例2】已知方程5x2kx-60的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么 x1= 又x1+2= k= 【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x-10的两个根的（1）平方和 （2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= （1） （x1+x2）2= x12+2 +x22 x12+x22=（x1+x2）2-2 = （2） 【练习】42 练习让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。进一步巩固根与系

25、数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。四、自主总结 拓展新知不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。1、先化成一般形式，再确定a,b,c.2、当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和比前面有负号，两个根的积比前面没有负号。五、课堂作业 p43 7 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第10课时 一元二次方程的根与系数的关系（2）学 习目 标1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题3、提高学生综合运用基础

26、知识分析解决较复杂问题的能力学习重点一元二次方程根与系数关系的应用学习难点某些代数式的变形教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =_；x1 x2 =_.【问题2】关于的方程的一个根是2，则方程的另一根是 ； 。【问题3】甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为27，乙抄错了常数项，得两根为3-10。则p= ，q= 。【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是 。通过巩固练习,及时巩固定理，再次体会一元二次方程的根与系数的关系，培养思维的灵活性。二、自主交流 探究新知【例1】、是方程

27、的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） （3）解：（1） （2） （3）原式【例2】若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。【例3】已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值解：方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为5【例4】已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k1）x + k21 = 0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力解：（1）= 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80，解得 k1，即实数k的取值范围是 k1（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k1） 0 + k21 = 0，解得 k =1 或 k = 1（舍去）即当 k =1时，0就为原方程的一个根此时，原方程变为 x24x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4 考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。根据一元二次方程两