第二章知识点总结高等代数新编

1、第 二 章 行 列 式 知 识 点 总 结一行列式定义a a a11 12 1n1、n 级行列式aij na a a21 22 2n（1）等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积a a an1 n2 nna a a （2）的代数和，这里1 j 2 j njn1 2j j j 是一个 n 级排列。当 j1 j2 jn 是偶排列时，该项前面带1 2 n正号；当 j1 j2 jn 是奇排列时，该项前面带负号，即：a a a11 12 1na a a21 22 2n ( j j j )a ( 1) a a a1 2 nij 1j 2 j njn1 2 nj j j1 2 na a an1 n2 n

2、n。2、等价定义( i i i )a ( 1) a a a 和1 2 nij n i i i n1 21 2 ni i i1 2 n(i i i ) ( j j j )a a a a( 1) 1 2 n 1 2 nij n i j i j i j1 1 2 2 n ni i i 和j j j1 2 n 1 2 n3、由 n 级排列的性质可知， n 级行列式共有 n!项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式2）副对角方向的行列式3）范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。2、互换行列式的两行（列），行

3、列式变号。3、行列式中某一行 （列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行 （列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。三、行列式的按行（列）展开1、子式1）余子式：在 n 级行列式 D aij 中，去掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后，余下的 n-1 级行列式称为 aij 的余子式，记

4、作 M ij 。i j2）代数余子式： A ( 1) M 称为 aij 的代数余子式。ij ij3）k 级子式：在 n 级行列式D a 中，任意选定 k 行和 k 列(1 k n) ，位于这些行列交叉处的ijk2个元素，按原来顺序构成一个 k 级行列式 M ，称为 D 的一个 k 级子式。当 (k n) 时，在 D 中划去这 k行和 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级行列式 M 称为 k 级子式 M 的余子式。2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即按第 i 行展开D a1 A1 a 2 A 2 a A (i 1,2, ,

5、n);i i i i in in按第 j 列展开 D a1j A1j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2, ,n);2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即a1A 1 a 2A 2 a A 0(i j); 或a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0,( i j).i j i j in jn3、按 k 行（ k 列）展开拉普拉斯定理：在 n 级行列式中，任意取定 k 个行（ k 列） (1 k n 1) ，由这 k 行（ k 列）元素组成的所有的 k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质1）设 A为

6、n 阶方阵，则 A A ；2）设 A为 n 阶方阵，则nkA k A ；3）设 A, B 为 n 阶方阵，则 AB A B ，但 A B A B ；4）设 A为 m 阶方阵，设 B 为 n 阶方阵，则A A 00 B BA B，但 A B A B 。5）行列式的乘法定理：两个 n 级行列式乘积等于 n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法： 定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。 用直接递推法的关键是找出一个关于 Dn 1 的代数式来表示 Dn ，依次从

7、D1 D2 D3 D4 Dn ，逐级递推便可以求出 Dn 的值。方法二：数学归纳法。 第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到 Dn关于 Dn 1 和 Dn 2 的递推关系式。方法三：加边法。 加边法是将所要计算的 n 级行列式适当地添加一行一列（或 m 行 m 列）得到一个新的 n+1（或 m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的 n+1 （或 m+1 ）级行列式较易计算。其一般做法如下：a a11 1n10a a1 na a11 1n或a a11 1n1 0 0b a a1 11 1na an1 n10a an1 n1a an1 n1b a a1 n1

8、n1特殊情况取 a1 a2 an 1或 b1 b2 bn 1。方法四：拆行（列）法。 将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。方法五：析因子法。 如果行列式 D 中有一些元素是变数 x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式 D 当作一个多项式 f (x) ，然后对行列式 f (x) 实行某些变换，求出 f (x) 的互素的一次因式，使得f (x) 与这些因式的乘积 g( x) 只相差一个常数因子 c，根据多项

9、式相等的定义，比较 f (x) 与的 g (x)某一项系数，求出 c 值，便可求得 D cg( x) 。2、行列式计算中常用的类型 ：类型一：“两条线”型行列式 （非零元分布在两条线上，例如 ， 等等）。注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。类型二：“三条线”行列式 （非零元分布在三条线上）。（1）“三对角”行列式 （ , ）。注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。首先得到一个一般的递推公式D pD qD ，然后可以用以下两种方法之一求出 Dn 的表达n n 1 n 2式：先计算 D1,D2, D3 等

10、，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于 Dn 和 Dn 1 的方程组，从而消去 Dn 1 就可解得 Dn 。（2）“爪型”行列式 （ ）。注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。（3）Hessenerg 型行列式 （ ）。类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。类型六：其他形式行列式。五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有 n 个未知量的 n 个方程的线性方程组a x a x a x b11 1 12 2 1n n 1a x a x a x b21 1 22 2 2n n 2的系数行列式不等于零，即Da a11 1n0，a x a x a x bn1 1 n2 2 nn n na an1 n1则方程组有唯一解：其中 D ( j 1,2, n) 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方