高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案（含解析）新人教A版选修2-2(2021年最新整理)

1、高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案（含解析）新人教a版选修2-2高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案（含解析）新人教a版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案（含解析）新人教a版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高中数学 第二章

2、 推理与证明章末复习学案（含解析）新人教a版选修2-2的全部内容。9第二章 推理与证明1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般,部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想，推理的结论不一定为真,有待进一步证明2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方

3、法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法4数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时,它的两个步骤缺一不可它的第一步(归纳奠基）nn0时结论成立第二步（归纳递推)假设nk时，结论成立,推得nk1时结论也成立数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤（两步)证明出无限的命题成立5归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题,它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论

4、，然后再对归纳、猜想的结论进行证明。题型一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明尽管如此,合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证例1观察下列各式：ab1，a2b23,a3b34，a4b47，a5b511，,则a10b10（）a28 b76 c123 d199答案c解析记anbnf（n），则f(3）f（1)f（2)13

5、4；f(4)f（2）f(3）347;f（5）f（3)f(4)11。通过观察不难发现f（n)f（n1)f（n2)(nn*，n3），则f（6）f（4）f(5)18;f(7)f(5)f(6）29；f（8)f(6）f（7)47;f（9）f（7)f（8)76；f(10）f(8)f(9）123。所以a10b10123。跟踪演练1自然数按下表的规律排列则上起第2 007行,左起第2 008列的数为()a2 0072 b2 0082c2 0062 007 d2 0072 008答案d解析经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2;第一

6、行第n个数为(n1)21；第n行从第1个数至第n个数依次递减1；第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行,左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为（2 0081）212 0062 0072 008.题型二直接证明由近三年的高考题可以看出,直接证明的考查中，各种题型均有体现,尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步,分

7、析法就可以帮助我们克服这种困难,在实际证明问题时,应当把分析法和综合法结合起来使用例2已知a0，求证：a2。证明要证a2，只需证2a.a0，故只需证22，即a244a2222，从而只需证2,只要证42，即a22,而上述不等式显然成立,故原不等式成立跟踪演练2如图，在四面体bacd中，cbcd，adbd,且e，f分别是ab，bd的中点，求证：(1）直线ef平面acd；（2)平面efc平面bcd。证明(1）要证直线ef平面acd，只需证efad且ef平面acd.因为e，f分别是ab，bd的中点,所以ef是abd的中位线，所以efad，所以直线ef平面acd。(2)要证平面efc平面bcd，只需证b

8、d平面efc,只需证因为所以efbd。又因为cbcd，f为bd的中点，所以cfbd。所以平面efc平面bcd。题型三反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现,它所反映出的“正难则反的解决问题的思想方法更为重要反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题;几何问题例3如图所示,已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内，m，n分别为ab、df的中点（1)若平面abcd平面dcef，求直线mn与平面dcef所成角的正弦值

9、;(2）用反证法证明:直线me与bn是两条异面直线（1）解法一图(1）如图(1）所示，取cd的中点g，连接mg，ng，设正方形abcd，dcef的边长为2，则mgcd，mg2，ng，平面abcd平面dcef，mg平面dcef，mng是mn与平面dcef所成的角mn，sinmng，直线mn与平面dcef所成角的正弦值为.图（2)法二设正方形abcd,dcef的边长为2，以d为坐标原点，分别以射线dc，df，da为x，y,z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2）所示则m(1,0,2），n（0,1，0），（1,1，2)又（0,0,2）为平面dcef的法向量，cos，mn与平面dcef所成角的正弦值为

10、cos，。(2）证明假设直线me与bn共面，则ab平面mben，且平面mben与平面dcef交于en,两正方形不共面,ab平面dcef.又abcd，所以ab平面dcef,而en为平面mben与平面dcef的交线，aben.又abcdef,enef，这与enefe矛盾，故假设不成立me与bn不共面，即它们是异面直线跟踪演练3若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z,cz22x.求证:a，b，c中至少有一个大于0。证明假设a，b，c都不大于0,即a0，b0，c0，则abc0，而abcx22yy22zz22x（x1）2(y1)2(z1)23。30，且（x1）2（y1)2(z1)20，abc0,

11、这与abc0矛盾,因此假设不成立，a，b，c中至少有一个大于0.题型四数学归纳法1数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换2探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论,需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是:从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论,然后再对归纳，猜想的结论进行证明例4等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点（n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b,r均为常数）的图象上(1）求r的

12、值；（2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn），证明:对任意的nn*，不等式成立(1）解由题意：snbnr，当n2时，sn1bn1r，所以ansnsn1bn1（b1),由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1），b，即b，解得r1。(2）证明当b2时,由(1)知an2n1,因此bn2n(nn），所证不等式为.当n1时，左式，右式。左式右式,所以结论成立假设nk(kn*）时结论成立，即,则当nk1时，.要证当nk1时结论成立，只需证成立，只需证：4k212k94k212k8成立,显然成立,当nk1时,成立,综合可知不等式成立跟踪演练4数列an满足：a

13、11，an1an1。（1)写出a2，a3,a4。(2)求数列an的通项公式解(1）因为a11，an1an1,所以a2a111，a3a211，a4a311.(2)法一猜想an,下面用数学归纳法证明证明(1)当n1时，a11，满足上式，显然成立;（2)假设当nk时ak，那么当nk1时，ak1ak111满足上式,即当nk1时猜想也成立由(1）（2）可知，对于nn都有an。法二因为an1an1，所以an12an12，即an12（an2)，设bnan2，则bn1bn，即bn是以1为首项，为公比的等比数列，所以bnb1qn1，所以anbn2.1合情推理主要包括归纳推理和类比推理（1）归纳推理的基本模式：a，b，cm且a，b，c具有某属性，结论：dm，d也具有某属性(2)类比推理的基本模式：a具有属性a，b，c，d；b具有属性a，b,c；结论：b具有属性d.(a，b，c,d与a,b，c，d相似或相同）2使用反证法证明问题时,常见的“结论词”与“反设词”列表如下:原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成