弹塑性力学作业(含答案)(1)

1、第二章 应力理论和应变理论23试求图示单元体斜截面上的 30 和 30（应力单位为 MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。T4n解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知2 x = -10y = -4 xy = -2 3030（以上应力符号均按材力的规定）y30代入材力有关公式得：10Ox10x代入弹性力学的有关公式得：己知 x = -10 yxy= -4 xy = +2由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力y的正负值不同，但都反映了同一客观实事。26. 悬挂的等直杆在自重W 作用下

2、（如图所题1-3 图示）。材料比重为弹性模量为E，横截面面积为 A 。试求离固定端 z 处一点 C的应变 z 与杆的总伸长量l。解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为 z 处的 c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力： Nz= A z ；c 截面上的应力： zNzA zAz ；A所以离下端为 z 处的任意一点 c 的线应变 z 为：zzz ；EE则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：Vl zoz dlzzzzz2oz d zoEdzE o zdy2E ；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：Vlol d ll 2A l lW l ；（ W

3、= Al ）2E2EA2EA50030080029.己知物体内一点的应力张量为：ij =300030080030011002。应力单位为 kgcm试确定外法线为 ni1 ，1 ，1（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截333v面上的总应力 Pn 、正应力 n 及剪应力 n 。v解：首先求出该斜截面上全应力Pn 在 x、y、z 三个方向的三个分量： n=nx=ny=nz1Px=xxyxzPy=yxyyzn=53810 2103n =303102103Pz=zxyzzn=8所以知， 斜截面上的全 力Pn =n = n = 031110 2103vPn 及正 力 n 、剪 力 n 均 零，也即：215

4、.如 所示三角形截面水 材料的比重 ，水的比重 1。己求得 力解 ： x= ax+by ，y=cx+dy- y ， xy=-dx-ay ； 根据直 及斜 上的 界条件，确定常数、 、 、xOa b cd。解：首先列出 OA 、OB 两 的 力 界条件：OA ： l 1=-1 ； l2=0 ；Tx= 1y ； Ty=0则 x=-1y ； xy=0n代入： x=ax+by ； xy=-dx-ay并 注意 此 时 ：x=01y得 ： b=- 1； a=0；OB ： l1=cos ；l2=-sin，Tx=Ty=0则：x cosxy sin0yx cosy sin0BAy（ a）将己知条件： x= -

5、1y ； xy=-dx； y=cx+dy- y 代入（ a）式得：化 （ b）式得： d =1ctg2；3化 （ c）式得： c = 1ctgctg -21260217.己知一点 的 力 量 6100103 Pa000 求 点的最大主 力及其主方向。解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知： x=12103 y=10 103 xy=6103，且 点的主 力可由下式求得： 然：117.083103 Pa24.917103 Pa30 1 与 x 正向的 角 ：（按材力公式 算） 然 2 第象限角： 2=arctg（+6）=+80.5376 ： =+40.2688B 40 16或（ -13944）22

6、19.己知 力分量 ： x= y= z= xy=0， zy=a， zx=b， 算出主 力 1、 2、 3 并求出 2 的主方向。解：由 2 11 算 果知 的三个主 力分 ：1a2b2 ；20 ；3a2b2 ；设 2 与三个坐 x、 y、 z 的方向余弦 ： l21、l 22、l23，于是将方向余弦和 2 代入下式即可求出 2 的主方向来。以及： l 212l222l 2321L L L4由（ 1）（ 2）得： l 23=0由（ 3）得： l21a ； l 22b ；l22b l 21a将以上 果代入（ 4）式分 得：l2111a；l222b2a2b211al 21l 2211b；2a2a2b

7、21l 211l 22bl 21a l22l22bab2b同理 l21ab2baa2a2b2a2于是主 力 2的一 方向余弦 ：（a， mb，0）；a2b2a2b2 3 的一 方向余弦 （2b，2a，2）；b22 a222 a2b2220. 明下列等式：（ 1）：J2=I 2+1 2；（ ）：I 21I13231 明（ 1）：等式的右端 ：2I 23I 11 2故左端 =右端 明（ 3）： I 21ii kkikik2iikkikik；1223313123右端 = 1ii kkik ik2u a0a1 x a2 y a3 z228： 一物体的各点 生如下的位移。v b0b1 x b2 y b3

8、 zw c0c1 x c2 y c3 z式中 a0、 a1 c1、c2 均 常数， 各点的 分量 常数。3证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：xyzua1；v； zw；uva2 ；xyb2c3xyb1yzyxvwb3 ；uw；zc2zxya3 c1yx229：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。u3x22010 2在（ 0， 2）点处；（ 1）：4 yx 10 2vu6x21510 2（ 2）： w3z22xy10 2在（ 1，3，4）点处v8zy 10 2解（ 1）： ux6x 10 2vy4x 10 2xyuv0 4 y 10 2xyyx在（ 0，2）点处，该点的应变分量为 :

9、xy0 ； xy810 2 ；040写成张量形式则为：ij40010 2 ；000解（ 2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（ 1，3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。xu12x10 21210 2 ；yv8z10 232 10 2xyzw6z10 22410 2 ；xyuv0zyxzxwu2 y 0 10 26 10 2 ；x z用张量形式表示则为：232：试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c 均为常数）cx2y2cxy0(1): ijcxycy200004(2):(3):axy201ax2by22ij0ax2 y1az2by2112a

10、x2by2az2by2022cx2y2 zcxyz0ijcxyzcy 2 z0000解（ 1）：由 量 ij 知： xz =yz = zx= zy =z=0 而 x、 y、 xy 及yx 又都是 x、y 坐 的函数，所以 是一个平面 。将 x、 y、 xy 代入二 情况下， 分量所 足的 形 条件知：222cc知 足。xyxyy2x2x y也即： 2 +0=2所以 ， 状 是可能的。解（ 2）：将己知各 分量代入空 所 足的 形 方程得：222xyxyy2x2xy222yyzzz2y2yz222zxzxx2z2z xxyyz2（ 1）zx2xxyzxy z2xyyzzx2yyzxyz xyzx

11、y2zx2zzxyzyx52ax2ay0000得：000不 足，因此 状 是不可能的。0 02b 00 0解（ 3）：将己知 分量代入上（1）式得：2cz02cz00000不 足，因此 点的 状 是不可能的。2cy2cy2cx0第三章： 性 形及其本构方程3-5 依据物体三向受拉，体 不会 小的体 律，来 明泊松比 V 的上下限 0 V 1 ；2 明：当材料 于各向等 的均匀拉伸 力状 下 ，其 力分量 ：11 22 33 12 23 31=p=0如果我 定 材料的体 性模量 k， 然： k= p ， e 体 。e将上述 力分量的 代入广 胡克定律：ij2G ij ij e得：p2G 1ep

12、2G p 2G23e三式相加得： 3p32G ee将 p=ke 代入上式得： k1G2 G （1）3233由 性 能 u0 的正定性（也就是 在任何非零的 力 作用下，材料 形 ，其 性 能 是正的。 ）知 k 0， E 0，G0。因： u0 uor uod1 I 121 J21 ke2Geij eij18k2G2我 知道体 形e 与形状 化部分， 两部分可看成是相互独立的，因此由 uo 的正定性可推知：k0，G 0。而又知：9kG所以： E 0。EG3k我 将（ 1）式 化 ：2G 1V （ 2）3 12V6由（ 2）式及 k 0， G 0 ，E 0 知： 1+V 0， 1-2V 0。解得：

13、 -1 V 1 。2但是由于到目前为止， 还没有发现有 V0 的材料，而只发现有 V 值接近于其极限值 1 的材料（例如：橡胶、石腊）和V 值几乎等于零的材料（例如：软2木）。因此，一般认为泊松比 V 的上、下限值为 1 和 0，所以得： 0 V 1或：0V 1 ；2223-10直径为 D=40mm 的铝圆柱体，紧密地放入厚度为2mm 的钢套中，圆柱受轴向压力 P=40KN 。若铝的弹性常数据E1=70Gpa .V1=0.35,钢的弹性常数E=210G pa 。试求筒内的周向应力。解：设铝块受压qP12而 34010310014210 44则周向应变Qq=2.8MN /m2铝钢DS1 = 2=

14、qqD钢套28MN / m2rqv2tqrQ；0；Zrtz2trE1 ；14-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体P积应变，并由纯剪状态说明v=0。11=2证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。并且可将一点的应力张量 ij 和应变张量 ij 分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：(1) 式中： e 为体积应变 e x y z 1 23I1由（ 1）式

15、可知，物体的体积应变是由平均正力m 确定，由 eij 中的三个正应力之和为令，以及（ 2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力 m 作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起7的。由单位体积的应变比能公式：uouovuod3m m1sij eij ；也可说明物体22的体变只能是由球应力分量引起的。当 某 一 单 元 体 处 于 纯 剪 切 应 力 状 态 时 ： 其 弹 性 应 变 比 能 为 ：uouov uod 012G2xy1 vE2xy由 uo 的正定性知： E0，1+v0.得： v-

16、1。由于到目前为止还没有 v0。3-16给定单向拉伸曲线如图所示， s、E、E均为已知，当知道 B 点的应变为 时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的 曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于 B 点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为： B=e+ p 故： p= -eE；s1E3-19已知藻壁圆筒承受拉应力zs 及扭矩的作用，若使用Mises 条件，试2求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为： （采用柱坐标表示）0 ， r0 ， zs ； r0 ， z； zr0 ；2于是据

17、 miess 屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）及扭矩 M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：解出 得：s；2 就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量 m 为： mrzs36应 力 偏 量 为 ：sms； srrms；66szzmsss ；263s rsrzrrz0 ； szzs ；2由增量理论知： d ijpsij d于是得： dpdss d； d rpd srs d； dzpdszs d ；663dpd s r0 ；pd srz0 ； d zpd szs drd rz2所以此时的塑性应变增量的比值为：8dp ： d rp ：d zp ：

18、d pr ：d rzp ：d zps：s：s ：0：0： s6632也即： dp ： d rp ： d zp ： d pr ： d rzp ： d zp（-1）：（ -1）：2：0：0：6；3-20一藻壁圆筒平均半径为 r，壁厚为 t，承受内压力 p 作用，且材料是不可压缩的， v 1 ；讨论下列三种情况：2（ 1）：管的两端是自由的；（ 2）：管的两端是固定的；（ 3）：管的两端是封闭的；分别用 mises 和 Tresca 两种屈服条件讨论 p 多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验 r 值。解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时， r 0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态

19、：（ 1）：pr1； rt（ 2）：pr1； rt（ 3）：pr1； rt0z23003； zvvprpr2；t2tpr03； z2；2t显然知，若采用 Tresca 条件讨论时，（ 1）、（ 2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：maxk s132prs ；st ；22t2解出得： pr若采用 mises 屈服条件讨论时，则（2）（ 3）两种情况所得结论一样。于是得：（ 1）： 2 s2222122331解出得： pst ；r22prprt2t（ 2）、（3）： 2 s2pr2pr22pr00prt2t2tt解出得： p2st ；3r3-22给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（ 1

20、）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压 q，平均半径为 r ，壁厚为 t，材料为理想弹塑性。（ 2）：受拉力 p 和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积 bh，材料为理想弹塑性。9解（ 1）：由于是藻壁圆管且t 1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为r平面应力状态，即r=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：qr1；r03 ； zqr2；t2t若采用Tresca 屈服条件，则有：maxss13rqr；2222t故得： sqr ；或：sqr ；t2t若采用 mises 屈服条件，则有：222qrqrqrqr3q2 r2；t2t2tt2t 2故得：s3qr ； 或： s qr ；2t2t解

21、（ 2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）h且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知y2得： 1xP6M；230bh2bh若采用 Tresca 屈服条件，则有：maxss13P6M1 ；22bhbh22故得：16M； 或：1P6M；sPhshbh2bh若采用 mises 屈服条件，则有：故得： s16M；或：Phsbh16M；Ph3bh一般以 s 为准（拉伸讨验）第五章平面问题直角坐标解答5-2：给出axy ；（1）：捡查是否可作为应力函数。（2）：如以为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示）解：将

22、axy 代入40 式y22yz =-a得：0满足。hxy =-a2oxh2l10故知axy 可作为应力函数。求出相应的应力分量为：222xy20 ； yx20 ； xya ；x y上述应力分量xy0 ； xya 在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。5-4：试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。3Fxyxy3q 2；ad4c3c2y2cP2x解：首先将函数式代入0 式知，满足。故该函c数可做为应力函数求得应力分量为：Fbc223F22x y q q3F3xy ； y22 0 ；ylxy4cc2cxxy23F1 y 212Fh2y2Fh2y2；x

23、 y4cc22h342J z4显然上述应力分量在 ad 边界及 bc 边界上对应的面力分量均为零，而在ad 边界上则切向面力分量呈对称于原点o 的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷 q。显然法向均布载荷 q 在该面上可合成为一轴向拉力p 且 p=2cq；而切向面力分量在该面上则可合成为一切向集中力：而 cd 边界则为位移边界条件要求，u=0，v=0，w=0 以及转角条件。由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图示） ，可解决在自由端受轴向拉伸 （拉力为 p=2cq）和横向集中力 F 作用下的弯曲问题。（如图示）5-6：已求得三角形坝体的应力为：、 、其中为坝体的

24、材料容重，1为水的容重，试据边界条件求出常数a bc、 d 的值。解：据图示列出水坝 OA 边界和 OB 边界面上的应力边界条件：OB 边： x=0 ,l=cos(180 )=-1， m=0 , Tx= y , Ty=0故得：xTx1 yL L L L L aTy0L L L L L L bxyOA 边： x=ytg ， l=cos , m=cos (90+)=-sin , Tx=Ty=0故有：x cosxy sin0L LL L L Lcyx cosy sin0L LL L L Ld11将 x x0ax by by 代入（ a）式得： b1；将： xyx 0ay 代入（ b）式得：ay0得

25、a=0；将 x 、 xy 代入（ c）式得： d1ctg 2；将 y 、 yx 代入（ d）式得： cctg21ctg3；5-7：很长的直角六面体，在均匀压力q 的作用下，放置在绝对刚性和光滑和基础上，不计体力。试确定其应力分量和位移分量。解：由题意知，该问题为一平面应变问题。由于不计体力所以平面应力与平面应变的变形协调方程是一样的，故可取一单位长度的直角六面体来研究其应力状态。当求知应力分量函数后，再由平面应变的本构关系求得应变分量，进一步积分再利用有关位移边界条件确定积分常数后求得位移分量。这里我们采用逆解法，首先据题目设应力函数ay2 显然式满足双调和方程式40。相应应力分量为：x 2a

26、 ， y0 ， xy 0显然直角六面体左右两面的应力边界条件自动满足。对于项边： y=h , l=1,m= 0,Txy则可定出：aq；=-q , T =02对于底边： y=0 , l=-1,m=0,Txy同样定出：aq；=q , T =02因此满足该问题所有应力边界条件的解为：xq ， y0 ， xyyx0应这分量为：x1 v2x v21 q ， y1v v q ， xy0EEEuv21 qxf yAE积分得： v1v vf1xBqyw0E利用位移边界条件确定积分常数：（1） 当 x=0 , y=0 时， u=0 则： A=0（2） 当 x=0 , y=0 时， v=0 则： B=0（3） 当

27、 x=0 时， u=0 则： f (y)=0（4） 当 y=0 时， v=0 则： f1(x)=0因此知该问题的位移分量为：21v vuv 1qx ；w 0vqy ；EE125-10: 中的三角形 臂梁只受重力作用。而梁的比重 p， 用 三次式：ax3bx2 y cxy2dy3 的 力函数求解 力分量 ?解 : 然式 足20 式 ,可做 力函数 ,相 的 力分量 :x2cx6by2ypy6ax2bypy（ a）x2xy2bx2cyx y 界条件：ox ： y=0 , l=0 ,m=-1, F x=Fy=0 ： 2bx=0得： b=0-6ax=0得： a=0oa ： yxtg,lcos 90os

28、in; mcos;Fx Fy 0 ：2cx 6dxtgsin2cxtgcos0L L LL La2cxtgsinpxtgcos0L L L L L L Lb由（ c） 式得： cp ctg；2代入 (b)式得： dp ctg2；所以（ a）式 ：3第六章平面 的极坐 解6-3:在极坐 中取A ln rCr 2 , 式中 A与 C 都是常数。（i）： 是否可作 力函数？（ ii ）：写出 力分量表达式？（ iii ）：在 r=a和 r=b 的 界上 着怎 的 界条件？解：首先将式代入40 式，其中：A 11A2A2r2Cr ;r2C ;r 22C ;0,0.rrr 2r 2222故：411A2A

29、200;rrrr 22r 2Cr 2C故：式可作 力函数。 力分量 ： 于右 所示 ，上述 力分量 着如下 界条件：当 r=a （内 ）：（ l=-1, m=0.）当 r= b （外 ）：（l=1，m=0.）136-5：试确定应力函数cr 2 cos2cos 2中的常数 c 值。使满足题 6-5图中的条件（：1）在面上 ,0rs;（2）在面上 ,0rs;并证明楔顶不有集中力与力偶作用。4解：首先将式代入0 式，知其满足 ,故可做为应力函数。相应的应力分量为：边界条件：当时，0. rs; 则： 2c cos2cos20得 00.自动满足2c sin2s. 得 : cs;时.0, rs;当2c cos2cos20.2sin 2s因 coscos ,则00,2c sin 22c sin 2s 得 c; 故2 sin 2得：由（ e）式可知，该应力函数在r=0处并不适用 ，所以（f ）式也不反映 o 点处的Ry应力状态。如果我们以 a 为半径截取一部分物体为研究对象（见右图示） ，并假设在 oRxo点处存在集中力 Rx、 Ry、 及集中力偶 M o,那M o么这部分物体在 Rx、 y、 o、以及 、r 和yR Msr 这一力系的作用下应保持