高中数学 第一章 坐标系单元质量评估（含解析）新人教A版选修4-4(2021年最新整理)

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2、为2017年高中数学 第一章 坐标系单元质量评估（含解析）新人教a版选修4-4的全部内容。- 9 -第一章 坐标系单元质量评估（90分钟120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.以直角坐标系的o为极点，x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的点p的极坐标为(3,4），则p在()a。第一象限b。第二象限c。第三象限d。第四象限【解析】选c。平面内的点p的极坐标为（3，4）,由于40，0,2),曲线x2=4y焦点的极坐标可以为_。【解析】方程x2=4y的曲线为抛物线，其中p=2，焦点为（0，1)，对称轴为y

3、轴,开口向上，所以抛物线的焦点的极坐标为1,2.答案：1,210.在极坐标系中，点f(1，0)到直线=4(r）的距离是_。【解析】直线=4（r）的直角坐标方程为y=x,故点f(1，0)到直线的距离为|1-0|2=22.答案:2211。在极坐标系中，直线（3cos-sin）=2与圆=4sin的交点的极坐标为_.【解析】直线(3cos-sin）=2,即3xy-2=0，圆=4sin即x2+（y2）2=4,表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆，由3x-y-2=0,x2+(y-2)2=4,求得x=3,y=1,故直线和圆的交点坐标为（3,1）,故它的极坐标为2,6.答案:2,612.（2016邢台高二检

4、测）在以o为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于a，b两点,若aob是等边三角形,则a的值为_.【解析】由=4sin可得2=4sin,所以x2+y2=4y。所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为c(0,2），半径r=2;由sin=a，得直线的直角坐标方程为y=a，由于aob是等边三角形,所以圆心c是等边aob的中心，若设ab的中点为d（如图）。则cd=cbsin30=212=1，即a2=1，所以a=3。答案：3三、解答题(本大题共6小题，共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x=2x,y=2y后，

5、曲线c变为曲线(x5）2+(y+6）2=1,求曲线c的方程,并判断其形状。【解析】将x=2x,y=2y代入（x-5)2+(y+6）2=1,得（2x5)2+（2y+6）2=1,即x-522+（y+3)2=14,故曲线c是以52,-3为圆心，半径为12的圆。14。(10分)(2016衡水高二检测）极坐标系中,圆c的极坐标方程为2-8sin-3+13=0，c点为圆心，已知a1,32，b3,32,求abc的面积.【解析】圆c的直角坐标方程为x2+y2+43x-4y+13=0,即(x+23)2+（y-2）2=3.又a(0，-1）,b(0,3），所以ab=2。c到直线ab的距离为23,所以cab的面积=2

6、3.15。(10分)在极坐标系中,曲线c:=2sin上的两点a，b对应的极角分别为23， 3,求弦长ab的值.【解析】a，b两点的极坐标分别为3,23，3,3,化为直角坐标为-32,32，32,32,故ab|=32+322+32-322=3。16.(10分)已知曲线c1的极坐标方程为cos-3=1，曲线c2的极坐标方程为=22cos-4,判断两曲线的位置关系。【解析】将曲线c1，c2化为直角坐标方程,得c1：x+3y+2=0，c2:x2+y2-2x2y=0,即c2:(x1）2+(y1）2=2,圆心到直线的距离d=|1+3+2|12+(3)2=3+322,所以曲线c1与c2相离。17.(10分)

7、（2015全国卷)在直角坐标系xoy中。直线c1：x=-2,圆c2：(x-1）2+(y2）2=1，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求c1,c2的极坐标方程.（2）若直线c3的极坐标方程为=4r，设c2与c3的交点为m,n,求c2mn的面积。【解析】(1）因为x=cos,y=sin，所以c1的极坐标方程为cos=-2，c2的极坐标方程为2-2cos4sin+4=0。（2）将=4代入2-2cos4sin+4=0,得2-32+4=0,解得1=22，2=2.故1-2=2,即mn|=2.由于圆c2的半径为1,所以c2mn的面积为12。18。(10分)在极坐标系中，从极点o作直线与

8、另一直线l:cos=4相交于点m,在om上取一点p,使omop=12。（1)求点p的轨迹方程。（2）设r为l上任意一点，试求rp的最小值。【解析】方法一：(1)设动点p的极坐标为(，),则点m为（0，).因为omop=12,所以0=12,得0=12。因为m在直线cos=4上,所以0cos=4。即12cos=4,于是=3cos(0)为所求的点p的轨迹方程.（2）由于点p的轨迹方程为=3cos=232cos,所以点p的轨迹是圆心为32,0,半径为32的圆。又直线l:cos=4过点(4，0）且垂直于极轴,点r在直线l上，由此可知rp的最小值为1.方法二：(1)直线l:cos=4的直角坐标方程为x=4，设点p(x，y）为轨迹上任意一点,点m（4,y0）,由opom，得y0=4yx(x0）。又omop=12,则om2op2=144.所以(x2+y2)16+16y2x2=144,整理得x2+y2=3x（x0），这就是点p的轨迹的普通方程.（2)由上述可知，点p的轨迹是圆心为32,0，半径为32的圆(去掉原点）。又点r在直线l:x=4上,由此可知rp的最小值为1。【拓展延伸】求曲线的轨迹方程常用方法(1）在直角坐