人教版高中数学必修一《集合与函数概念》主要知识点归纳及同步练习

1、第一章集合与函数概念主要知识点归纳一、集合对于以下几个问题，你弄清楚了吗？1、集合中的元素有什么特征？（确定性、互异性、无序性）2、符号“”与“”有什么区别？分别怎么用？4、集合的表示方法主要有哪几类？你能用描述法正确表示集合了吗？5、集合之间的关系主要有几种？他们分别怎么表示？各个关系怎么理解？6、下面几个集合中的重要性质，你知道了吗？（1）AAB,ABA,ABAB.（2）ABABB;ABABA.7、空集特殊性你知道了吗？（空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. ）8、如何用图像法（韦恩图、数轴法）正确表示集合之间的包含关系？9、一个有限集有多少个子集？有多少个真子集？10、对于

2、集合AB, AB,C A 的含义，你能正确理解吗？( 交集：ABx | xA,且xB；并集：ABx | xA, 或xB；补集：若BU ,则CU Bx | xU ,且xB； )11、对有关含参数问题，你能正确运用分类讨论解题了吗？你能正确进行分类吗？书写格式清楚吗？（二）主要方法：1解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3抓住集合中元素的3 个性质， 对互异性要注意检验；4正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化5求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用，正确运用数形结合解题。6含 参数的问题，要有讨论的意识，集合子集分类讨论时

3、要防止在空集上出问题；7集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键8在集合运算过程中应力求做到“三化”：（ 1） 意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？（ 2） 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式（ 3）直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题二、函数的概念对于以下几个问题，你弄清楚了吗？1、如何从集合与对应的角度来定义函数的概念？函数的三要素分别是什么？如何判断两个函数

4、相同？2、求函数的定义域是指什么？3、求函数的值域是指什么？主要有哪些常用的求法？（观察法、分离常数法、配方法（二次型函数）、反表示法、换元法、图像法、单调性法）4、什么叫做映射？映射与函数有什么关系？你会判断一个对应具有映射关系？5、你会求两个集合之间可以建立多少个映射吗？（如课本第10 页习题 A 组第 10 题）6、函数表示法具体有哪些？7、什么叫分段函数？它的表达式有什么特征？如何求它的定义域和值域？如何求它的单调区间？如何判断它的奇偶性？（图像法）8、哪些集合可以用区间表示？（一些连续自然数的集合）9、增（减）函数的图像有什么特征？他们的定义如何？如何利用单调性的可逆性解题？10、什

5、么叫函数的单调区间？常用方法有哪些？11、函数单调性的等价含义设 x1 , x2fx1fx20fx 在是增函数；a, b ，x1x2fx1fx20fx 在是减函数。x1x212、 Af (x) 与 f (x) 以及 f (x)(0)与f ( x) 单调性之间的关系，你知道了吗？13、什么是函数的最大（小）值？如何利用单调性求函数的最值？14、不等式恒成立问题常用的处理办法是什么？它可以转化为怎样的等价问题？把不等式恒成立问题转化为最值问题解决，即已知函数yf ( x), xD，M 是实数（ 1）如果 f ( x)M 恒成立，那么 fmin ( x)M（ 2）如果 f ( x)M 恒成立，那么

6、fmax ( x)M15、什么叫做函数的奇偶性？它们的图像有什么特征？它们的定义域有什么特殊要求？如何利用奇偶性的可逆性解题？定义法判断函数奇偶性的步骤，你知道了吗？16若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ，则 f (0)017、函数的奇偶性与单调性有什么联系？18、函数 f ( x) 关于直线 x a 对称f (a x)f ( a x)（二）主要方法：1对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系4定义域是函数的基础， 考虑函数问题必须先求函数的定义域。5图像法可以有效

7、处理许多函数问题，必须掌握函数图像的作图方法：描点法和图像变换法。6讨论函数 单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域。函数的单调区间是定义域的子集，且必须用区间来表示；7牢记单调函数的图象特征，有助于求函数的单调区，判断函数的奇偶性。8判断函数的单调性和奇偶性的方法有： （ 1）用定义；（ 2）图象法；（3）性质法；增+增=增增减 =增减+减=减奇 +奇 =奇，奇奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 偶 =偶，奇偶 =奇9判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑fx与 fx 的关系。10判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x)f (x)0 ，f (

8、x)1f (x)11判断函数的的方法有：（ 1）用定义；（ 2）图象法；（ 3）性质法；第一章集合与函数的概念同步测试卷姓名：班级：学号：一、选择题：(本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分)1、已知MN ,则下列结论不正确的是（）AM一定是N 的真子集B M可能是空集C M可能等于ND MNN , MNM2、设全集UZ ，集合M1,2, P x | x |2, xZ，则 PCU M（）A 0B 1C 2, 1,0D1, x取有理数时3、著名的 Dirichlet 函数 D( x)，则 D (2 ) 的值是（）0, x取无理数时A 2B2C 0D 14、下列各组函数中，表示同一函数的是（

9、）A y 1, yxB yx 1x 1, yx21x y | x |, y( x ) 2x, y5x5DC y5、函数 yxx 的图象是（）xyyyy111-1OxO1xO -1xOx-1-1ABCD6、设集合 Ax 0x6 ，By 0y 2 。从 A 到 B 的对应法则 f不是映射的是 （）A f : xy1 xB f : xy1 x32C f : xy1D f : xy1xx467、已知函数 y1x的定义域为（）2 x23x 2A (,1B (,2C (,1 )(1 ,1D (, 1)(1 ,122228、函数 y(k2)x1在实数集上是增函数，则k 的范围是（）A k2B k2C k2D

10、 k29、函数 f(x) 在(a,b) 和 (c,d ) 都是增函数，若x1(a,b), x2(c, d ) ，且x1x2 那么（）A f ( x1 )f ( x2 )B f ( x1 )f (x2 )C f ( x1 )f (x2 )D无法确定10、已知集合A 1,2,3,k, B4,7,a4 ,a23a ，且 aN* , x A, y B ,使 B 中元素y 3x 1和 A 中的元素 x 对应，则 a, k 的值分别为（）A2,3B 3,4C 3,5D 2,511、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ， 例如解析式为 y 2x2 1，值域为 9 的

11、“孪生函数”三个：（ 1） y 2x2 1，x2 ； （ 2） y 2x2 1，x 2； （ 3） y2x2 1，x2,2 。那么函数解析式为y 2x21，值域为1 ，5 的“孪生函数”共有()A5个B4 个C3 个D2个12、若函数f (x)x 22axa 21(a0) 的图象是下列四个之一，则 f ( 1)（）A 1B 3C1D3二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题4 分，共16 分）13、已知函数 f ( x)x21( x0)，则 f f(3) =2x( x0)14、已知 f ( x)ax3bx4其中 a,b 为常数，若f ( 2) 2 ，则 f (2) =15、如果 f(xx 2

12、xa在 1,1上的最大值是 2，那么 f ( x) 在 1,1上的最小值是 _)16、函数 f ( x)( a2) x22(a2) x4 的定义域为 R ，值域为,0 ，则满足条件的实数a 组成的集合是三、解答题：（本大题共 6 小题， 17、18 每小题 10 分， 19、20 每小题 12 分，附加 21、 22 每题 15 分，共 74 分）17、已知集合 A x 2 x 3 , B y | y 2x 3,x A , C z | z x2 , x A , 求 B C 和 (CR B) (CRC)18、已知函数f ( x)x21 x2 ，（ 1）求 f ( x)f (1 ) ；（ 2）试求 f (1)f ( 2) f (1)f (3) f (1)f (10) f (1) 的值x231019、已知函数 yxaa 0 ，那么该函数在